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अतिप्रत्यास्थता

यह अध्याय FrontISTR द्वारा समर्थित अतिप्रत्यास्थ संविधायी नियमों का वर्णन करता है। मॉडल चयन और इनपुट विनिर्देशों के विवरण के लिए फ़ंक्शन अनुभाग 03_material देखें।

परिघटना (प्रतिवर्ती बड़े-विरूपण की प्रतिक्रिया)

निर्धारित किया जाना है (अगले चरण में पूर्ण पाठ के रूप में विकसित किया जाएगा)।

संविधायी नियम का ढाँचा

समदैशिक अतिप्रत्यास्थ सामग्री के लिए, प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा प्रारंभिक प्रतिबल-रहित अवस्था से समदैशिक प्रतिक्रिया के आधार पर प्राप्त होती है और इसे दाएँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर \(C\) के मुख्य अपरिवर्तकों \((I_1, I_2, I_3)\) अथवा आयतन परिवर्तन हटाए गए विरूपण टेन्सर के मुख्य अपरिवर्तकों \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) के फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) या \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\)।

अतिप्रत्यास्थ सामग्री का संविधायी समीकरण द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल और Green-Lagrange विकृति के बीच संबंध से परिभाषित होता है, और उसके विरूपण विश्लेषण में Total Lagrange विधि लागू की जाती है।

प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा \(W\) ज्ञात होने पर, द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल और प्रतिबल-विकृति संबंध की गणना निम्न प्रकार की जा सकती है।

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

FrontISTR द्वारा अपनाए गए अतिप्रत्यास्थ मॉडलों की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा \(W\) नीचे दी गई है।

Neo-Hookean अतिप्रत्यास्थ मॉडल

Neo-Hookean अतिप्रत्यास्थ मॉडल समदैशिक रैखिक नियम (Hooke के नियम) का विस्तार करता है ताकि उसे बड़े-विरूपण समस्याओं पर लागू किया जा सके। इसकी प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा निम्न है।

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

यहाँ \(C_{10}\) और \(D\) सामग्री नियतांक हैं।

Mooney-Rivlin अतिप्रत्यास्थ मॉडल

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

यहाँ \(C_{10}\), \(C_{01}\) और \(D\) सामग्री नियतांक हैं।

Mooney-Rivlin विषमदैशिक अतिप्रत्यास्थ मॉडल

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

यहाँ \(C_{10}\), \(C_{01}\) और \(D\) समदैशिक मॉडल के सामान्य सामग्री नियतांक हैं, जबकि \(C_{42}\) और \(C_{43}\) विषमदैशिकता के विशिष्ट सामग्री नियतांक हैं।

Arruda-Boyce अतिप्रत्यास्थ मॉडल

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

यहाँ \(\mu_0\), \(\lambda_m\) और \(D\) सामग्री नियतांक हैं।

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