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प्रत्यास्थ-प्लास्टिकता

यह अध्याय FrontISTR द्वारा अपनाए गए प्रत्यास्थ-प्लास्टिक संविधायी नियम का ढाँचा का वर्णन करता है। चयन और इनपुट विनिर्देशन के विवरण के लिए कार्य अनुभाग 03_material देखें।

परिघटना (प्लास्टिक विरूपण)

निर्धारित किया जाना है (अगले चरण में मुख्य पाठ लिखा जाएगा)।

संविधायी नियम का ढाँचा

FrontISTR संबद्ध प्रवाह नियम के अनुरूप प्रत्यास्थ-प्लास्टिक संविधायी समीकरण अपनाता है। यह संविधायी समीकरण Kirchhoff प्रतिबल की Jaumann दर और विरूपण-दर टेन्सर के बीच संबंध व्यक्त करता है, और विरूपण विश्लेषण में Updated Lagrange विधि लागू की जाती है।

मान लें कि प्रत्यास्थ-प्लास्टिक पदार्थ की पराभव शर्त निम्न प्रकार दी गई है।

प्रारंभिक पराभव शर्त:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

अनुवर्ती पराभव शर्त:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

जहाँ,

  • \(F\): पराभव फलन
  • \(\sigma_{y_0}\): प्रारंभिक पराभव प्रतिबल
  • \(\sigma_y\): अनुवर्ती पराभव प्रतिबल
  • \(\sigma\): प्रतिबल टेन्सर
  • \(e\): सूक्ष्म विकृति टेन्सर
  • \(e^p\): प्लास्टिक विकृति टेन्सर
  • \(\overline{e}^p\): समतुल्य प्लास्टिक विकृति

यह माना जाता है कि पराभव प्रतिबल-समतुल्य प्लास्टिक विकृति संबंध एकअक्षीय अवस्था में प्रतिबल-प्लास्टिक विकृति संबंध के अनुरूप है।

एकअक्षीय अवस्था में प्रतिबल-प्लास्टिक विकृति संबंध

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

जहाँ \(H'\) विकृति-कठोरीकरण गुणांक है।

समतुल्य प्रतिबल-समतुल्य प्लास्टिक विकृति संबंध

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

सामान्यतः अनुवर्ती पराभव फलन तापमान और प्लास्टिक-विकृति कार्य का फलन होता है, पर यहाँ सरलता के लिए इसे केवल समतुल्य प्लास्टिक विकृति \(\overline{e}^p\) का फलन माना जाता है। प्लास्टिक विरूपण की प्रगति के दौरान \(F = 0\) लगातार संतुष्ट रहना चाहिए, इसलिए निम्न समीकरण संतुष्ट होना आवश्यक है।

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

यहाँ \(\dot{F}\), \(F\) का समय अवकलज दर्शाता है। आगे किसी राशि \(A\) के समय अवकलज को \(\dot{A}\) से दर्शाया जाएगा।

यहाँ प्लास्टिक पोटेंशियल \(\Theta\) के अस्तित्व को मानते हुए प्लास्टिक विकृति दर को निम्न समीकरण से व्यक्त किया जाता है।

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

यहाँ \(\dot{\lambda}\) एक गुणांक है।

इसके अतिरिक्त, प्लास्टिक पोटेंशियल \(\Theta\) को पराभव फलन \(F\) के बराबर मानते हुए निम्न संबद्ध प्रवाह नियम माना जाता है।

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

इस समीकरण को संगतता शर्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर निम्न समीकरण प्राप्त होता है।

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

जहाँ \(D\) प्रत्यास्थता मैट्रिक्स है, और

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

प्रत्यास्थ-प्लास्टिक प्रतिबल-विकृति संबंध को निम्न रूप में लिखा जा सकता है।

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

यदि प्रत्यास्थ-प्लास्टिक पदार्थ का पराभव फलन \(F\) ज्ञात हो, तो इस समीकरण से उसका संविधायी समीकरण प्राप्त होता है।

पराभव फलन

नीचे FrontISTR द्वारा अपनाए गए प्रत्यास्थ-प्लास्टिक पराभव फलन सूचीबद्ध हैं।

Von Mises पराभव फलन

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

यहाँ \(J_2\) विचलित प्रतिबल टेन्सर का दूसरा अपरिवर्तक है।

Mohr-Coulomb पराभव फलन

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

यहाँ \(\sigma_1, \sigma_3\) क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम प्रधान प्रतिबल, \(c\) संसंजन, तथा \(\phi\) आंतरिक घर्षण कोण हैं।

Drucker-Prager पराभव फलन

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

यहाँ सामग्री नियतांक \(\alpha\) और \(\sigma_y\) सामग्री के संसंजन और घर्षण कोण से निम्न प्रकार गणना किए जाते हैं।

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

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