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क्रीप

यह अध्याय FrontISTR द्वारा अपनाए गए क्रीप संविधायी नियम का वर्णन करता है। चयन और इनपुट विनिर्देशन के विवरण के लिए कार्य अनुभाग 03_material देखें।

क्रीप परिघटना और विकृति का योगात्मक अपघटन

नियत प्रतिबल की अवस्था में समय-निर्भर विस्थापन को “क्रीप” कहा जाता है।

ऊपर वर्णित श्यानप्रत्यास्थ व्यवहार को भी एक प्रकार की रैखिक क्रीप परिघटना माना जा सकता है। यहाँ कुछ अरैखिक क्रीप व्यवहारों का वर्णन किया जाता है। आम तौर पर इस व्यवहार को तात्कालिक रूप से उत्पन्न विकृति में जोड़कर संविधायी संबंध बनाया जाता है, और किसी दिए गए नियत भार के जारी रहने के दौरान संचित विकृति को क्रीप विकृति \(\varepsilon^c\) माना जाता है। क्रीप सहित संविधायी संबंध में सामान्यतः क्रीप विकृति दर \(\dot{\varepsilon}^c\) का उपयोग होता है, जो प्रतिबल और कुल क्रीप विकृति का फलन होती है।

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

यदि तात्कालिक रूप से उत्पन्न विकृति प्रत्यास्थ विकृति \(\varepsilon^e\) हो, तो कुल विकृति क्रीप विकृति जोड़कर निम्न रूप में व्यक्त होती है।

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

जहाँ,

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

है (\(c\) प्रत्यास्थता टेन्सर है)।

Norton नियम

क्रीप संविधायी नियम के विशिष्ट रूप के रूप में FrontISTR निम्न Norton मॉडल अपनाता है। इस संविधायी नियम में समतुल्य क्रीप विकृति दर \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) को निम्न प्रकार von Mises प्रतिबल \(q\) और समय \(t\) के फलन के रूप में व्यक्त किया जाता है।

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

यहाँ \(A\), \(m\), \(n\) सामग्री नियतांक हैं।

समय समाकलन और प्रतिबल अद्यतन

प्लास्टिक सामग्री की तरह, क्रीप दर्शाने वाले संविधायी नियम के लिए संख्यात्मक विश्लेषण में समय-समाकलन विधि निर्दिष्ट करनी होती है। क्रीप को ध्यान में रखने पर संविधायी संबंध है,

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

जहाँ \(\beta_{n+\theta}\) है,

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

। साथ ही क्रीप विकृति वृद्धि \(\Delta \varepsilon^c\) को निम्न सरलीकृत अरैखिक समीकरण से परिभाषित किया जाता है

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

और इसे शून्य माना जाता है।

न्यूटन–रैफसन विधि की पुनरावृत्ति में प्रारंभिक प्रतिबल \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) तथा परिमित तत्व विधि से प्राप्त विकृति वृद्धि लेते हुए, पुनरावृत्त समाधान और वृद्धिशील समाधान निम्न हैं।

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

जहाँ,

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

माना जाता है। जब तक अवशिष्ट \(R\) \(\mathbf{0}\) न हो जाए तब तक पुनरावृत्ति करने पर प्रतिबल \(\sigma_{n+1}\) और स्पर्शी गुणांक

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

का उपयोग किया जाता है।

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