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आकार फलन और परिमित तत्व सन्निकटन

आभासी कार्य का सिद्धांत के दुर्बल रूप को संगणक पर संभालने के लिए पिंड के क्षेत्र को सीमित संख्या में तत्वों में विभाजित किया जाता है और प्रत्येक तत्व के भीतर पदार्थ-बिंदु निर्देशांक, विस्थापन और परीक्षण फलन को नोडीय मानों तथा आकार फलनों से अंतर्वेशित किया जाता है। आकार फलनों के स्थानिक अवकलज आकार फलनों के स्थानिक अवकलज में, दुर्बल रूप का विविक्तीकरण आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण में, और प्रत्येक तत्व प्रकार के आकार फलनों के विशिष्ट रूप तत्व क्रमांकन योजना और आकार फलन लाइब्रेरी तथा उसके बाद के अनुभागों में दिए गए हैं।

क्षेत्र विभाजन और तत्व-वार समाकलों का योग

संदर्भ विन्यास का क्षेत्र \(\Omega_0\) और वर्तमान विन्यास का क्षेत्र \(\Omega\) क्रमशः तत्वों \(\Omega^e_0\) तथा \(\Omega^e\) के संघ से सन्निकट किए जाते हैं:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) तत्व क्रमांक है और तत्व सीमाएँ आसन्न तत्वों द्वारा साझा की जाती हैं)। इससे आभासी कार्य का सिद्धांत के आयतन और क्षेत्रफल समाकल तत्व-वार समाकलों के योग में विभाजित हो जाते हैं:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(वर्तमान विन्यास के लिए भी \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) से प्रतिस्थापित करने पर यही लागू होता है)। इसके बाद दुर्बल रूप का मूल्यांकन तत्व-वार समाकलों के निर्माण तक सीमित हो जाता है।

नोडीय मानों और आकार फलनों से अंतर्वेशन (आइसोपैरामेट्रिक तत्व)

प्रत्येक तत्व \(\Omega^e_0\) को \(n_e\) नोड दिए जाते हैं। तत्व नोड \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) के संदर्भ-विन्यास निर्देशांक और नोडीय विस्थापन को \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) मानें। इन मानों को क्रम से रखकर बने तत्व नोडीय सदिश \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) और \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) समग्र नोडीय सदिश \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) कुल नोड संख्या है) से केवल उन नोडीय घटकों को निकालकर बनते हैं जो तत्व \(e\) का निर्माण करते हैं।

तत्व के स्थानीय निर्देशांक, अर्थात प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\), को पैरामीटर मानने वाले आकार फलन \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) से तत्व के भीतर पदार्थ निर्देशांक, विस्थापन और परीक्षण फलन समान आकार फलनों से अंतर्वेशित किए जाते हैं (आइसोपैरामेट्रिक तत्व/Galerkin विधि):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

आकार फलन निम्न 2 गुण पूरे करने के लिए बनाए जाते हैं और तत्व ज्यामिति इस प्रकार चुनी जाती है कि प्राकृतिक निर्देशांकों से पदार्थ निर्देशांकों का मानचित्रण \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) तत्व के भीतर 1-से-1 हो:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) नोड \(\alpha\) से संबंधित प्राकृतिक-निर्देशांक बिंदु है और \(\delta_{\alpha\beta}\) Kronecker डेल्टा है)। पहला समीकरण दृढ़-पिंड अनुवाद की पुनरुत्पादकता सुनिश्चित करता है और दूसरा सुनिश्चित करता है कि अंतर्वेशित मान नोड पर नोडीय मान के बराबर हो। प्रत्येक तत्व प्रकार के \(n_e\) और \(N_\alpha^e\) के विशिष्ट रूप तत्व क्रमांकन योजना और आकार फलन लाइब्रेरी तथा उसके बाद के अनुभागों में दिए गए हैं। संकेतन की जटिलता से बचने के लिए तत्व प्रकार पर निर्भरता को तत्व-वार ऊपरिलिखित \(e\) से दर्शाया जाता है।

ऊपर के अंतर्वेशन नियमों से दुर्बल रूप का समाकल्य केवल तत्व नोडीय मानों \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) और \(N_\alpha^e\) से व्यक्त किया जा सकता है। दूसरी ओर, विकृति अंतर्वेशित विस्थापन और विकृति-विस्थापन संबंध से तथा प्रतिबल उस विकृति और सामग्री संविधायी नियम से व्युत्पन्न होते हैं; इन परिमाणों को नोडीय मानों से सीधे अंतर्वेशित नहीं किया जाता। इनका मूल्यांकन तत्व के भीतर समाकलन बिंदुओं पर किया जाता है (संख्यात्मक समाकलन)।

समग्र नोडीय सदिश का क्रम नियम

नोडों को दी गई भौतिक राशियाँ समग्र नोडीय सदिश में नोड क्रमांक → स्वतंत्रता-कोटि के आरोही क्रम में व्यवस्थित की जाती हैं। यदि नोड \(\alpha\) पर स्वतंत्रता-कोटि \(i\) के घटक को \(u_{i\alpha}\) लिखें, तो 3 आयाम (\(i=1,2,3\)) और 2 आयाम (\(i=1,2\)) में क्रमशः

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

होता है। निर्देशांक \(\boldsymbol{X}^n\) और परीक्षण फलन \(\delta\boldsymbol{u}^n\) भी यही क्रम अपनाते हैं। इसके बाद मैट्रिक्स और सदिश रूप की व्युत्पत्तियाँ 3-आयामी मामले को प्रतिनिधि मानकर लिखी जाती हैं।

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