विषय पर बढ़ें

आकार फलनों के स्थानिक अवकलज

आकार फलन और परिमित तत्व सन्निकटन में प्रस्तुत आकार फलन \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) तत्व के स्थानीय निर्देशांकों, अर्थात् प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\), के फलन के रूप में दिए जाते हैं। दूसरी ओर, दुर्बल रूप के समाकल्य में विकृति-विस्थापन संबंध के माध्यम से भौतिक निर्देशांकों (संदर्भ विन्यास \(\boldsymbol{X}\) या वर्तमान विन्यास \(\boldsymbol{x}\)) के सापेक्ष आंशिक अवकलज \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) अथवा \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) आते हैं। इस अध्याय में इन आकार फलनों के स्थानिक अवकलजों को तत्व नोड निर्देशांकों और प्राकृतिक-निर्देशांक अवकलजों से निकालने की प्रक्रिया व्यवस्थित की गई है।

शृंखला नियम से स्थानिक अवकलज का निरूपण

अंतर्वेशन समीकरण \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (पिछला अध्याय) पर शृंखला नियम लागू करने पर, प्राकृतिक निर्देशांकों से भौतिक निर्देशांकों की मैपिंग के जैकोबियन मैट्रिक्स \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) का उपयोग करके

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

प्राप्त होता है। यहाँ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) और \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ऐसे \(n_e \times 3\) मैट्रिक्स हैं जिनकी पंक्ति \(\alpha\) नोड \(\alpha\) के आंशिक अवकलज सदिश को दर्शाती है।

जैकोबियन मैट्रिक्स का निर्माण

अंतर्वेशन समीकरण का \(\boldsymbol{r}\) के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

प्राप्त होता है; अतः इसे तत्व नोड निर्देशांक \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) और प्राकृतिक-निर्देशांक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) से सीधे बनाया जा सकता है। प्राकृतिक-निर्देशांक अवकलज आकार फलन के फलनात्मक रूप से निर्धारित होते हैं और प्रत्येक तत्व प्रकार के लिए पहले से कार्यान्वित रहते हैं।

जैकोबियन मैट्रिक्स का सारणिक \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) संख्यात्मक समाकलन में आयतन तत्व के रूपांतरण \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) के लिए उपयोग होता है। यदि सारणिक \(0\) हो जाए, तो तत्व अपह्रासित है और गणना विफल होती है।

गणना प्रवाह

उपरोक्त व्युत्पत्ति से स्थानिक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) की गणना को निम्न चार चरणों में बाँटा जा सकता है।

  1. प्राकृतिक-निर्देशांक अवकलज की गणना: तत्व प्रकार और मूल्यांकन बिंदु के प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) को इनपुट लेकर प्राकृतिक-निर्देशांक अवकलज मैट्रिक्स \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) की गणना करें। आकार फलनों का फलनात्मक रूप तत्व प्रकार के अनुसार बदलता है, इसलिए प्रक्रिया तत्व प्रकार के अनुसार शाखित होती है।
  2. जैकोबियन मैट्रिक्स की गणना: तत्व नोड निर्देशांक \(\boldsymbol{X}^e\) और \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) से पिछले खंड के समीकरण द्वारा जैकोबियन मैट्रिक्स \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) बनाएँ।
  3. व्युत्क्रम मैट्रिक्स और सारणिक की गणना: जैकोबियन मैट्रिक्स का व्युत्क्रम \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) और सारणिक निकालें। सारणिक का उपयोग संख्यात्मक समाकलन के भार में किया जाता है।
  4. स्थानिक अवकलज की गणना: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) और \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) के गुणनफल से स्थानिक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) प्राप्त करें।

ये चार चरण तत्व प्रकार और स्थानिक आयाम (2-आयामी या 3-आयामी) के अनुसार शाखित होते हैं, किंतु समग्र प्रवाह समान रहता है।

संदर्भ और वर्तमान विन्यास के लिए समान प्रक्रिया

उपरोक्त प्रक्रिया में केवल \(\boldsymbol{X}^e\) को वर्तमान विन्यास के नोड निर्देशांक \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) से बदलकर वर्तमान विन्यास के स्थानिक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) पर भी लागू किया जा सकता है। अतः Total Lagrange और Updated Lagrange विधियों में केवल इनपुट नोड निर्देशांक बदलकर यही प्रक्रिया साझा की जा सकती है।

संबंधित विषय