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आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण

वृद्धिशील विश्लेषण की रूपरेखा में समय \(t + \Delta t\) पर दी गई आभासी-कार्य समीकरण, संदर्भ विन्यास के चयन के अनुसार Updated Lagrange और Total Lagrange, इन दो रूपों में विभाजित होती है। इस अध्याय में आकार फलन और परिमित तत्व सन्निकटन तथा आकार फलनों के स्थानिक अवकलज में प्रस्तुत परिमित तत्व सन्निकटन का उपयोग करके दोनों निरूपणों के आंतरिक आभासी कार्य का स्थानिक विविक्तीकरण किया जाता है और तत्व आंतरिक-बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e\) (UL विधि) तथा \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL विधि) प्राप्त किए जाते हैं।

तत्व \(e\) के संघटक नोडों को \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), उनके विस्थापनों को \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), और तत्व नोडीय विस्थापन सदिश को \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) के क्रम में रखा जाता है। आभासी विस्थापन \(\delta \boldsymbol{u}^e\) भी उसी क्रम में परिभाषित किया जाता है। तत्व के भीतर विस्थापन को आकार फलनों द्वारा \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) के रूप में इंटरपोलेट किया जाता है।

Updated Lagrange विधि का आंतरिक आभासी कार्य

Updated Lagrange विधि में समय \(t\) का वर्तमान विन्यास \({}^{t}\Omega\) संदर्भ विन्यास के रूप में लिया जाता है, और Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) तथा Almansi विकृति के रैखिक भाग \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) का उपयोग करके आंतरिक आभासी कार्य को

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

के रूप में लिखा जाता है। \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) के प्रत्येक घटक को वर्तमान-विन्यास निर्देशांक \(\boldsymbol{x}\) के सापेक्ष आकार फलन के अवकलज \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) और नोडीय आभासी विस्थापन \(\delta u^e_{i\alpha}\) के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। Voigt निरूपण में इसे

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

के रूप में समेटा जाता है। नोडीय ब्लॉक \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\), \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) को Voigt नियम के अनुसार व्यवस्थित करके बना \(6 \times 3\) मैट्रिक्स है, और \(\boldsymbol{B}_L\) UL विधि का विकृति-विस्थापन मैट्रिक्स है। इसे आंतरिक आभासी कार्य में प्रतिस्थापित करके \(\delta \boldsymbol{u}^e\) को अलग करने पर

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

प्राप्त होता है। \(\boldsymbol{q}^e\) का नोडीय ब्लॉक \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\), तत्व \(\Omega^e\) के संघटक नोड \(\alpha\) पर कार्य करने वाला आंतरिक बल है।

Total Lagrange विधि का आंतरिक आभासी कार्य

Total Lagrange विधि में प्रारंभिक विन्यास \(\Omega_0\) को संदर्भ विन्यास के रूप में लिया जाता है और द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) तथा Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) का उपयोग करके

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

लिखा जाता है। \(\delta \boldsymbol{E}\) को आभासी विस्थापन के प्रति रैखिक पद और वर्तमान विस्थापन प्रवणता \(\partial u_k/\partial X_j\) के साथ गुणन वाले अरैखिक पद में विभाजित किया जाता है:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

रैखिक पद को, UL विधि के समान क्रम-नियम को \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) पर लागू करके बने नोडीय ब्लॉक \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) द्वारा

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

के रूप में लिखा जा सकता है। संदर्भ विन्यास में अंतर के कारण केवल घटक अवकलज \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) से \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) में बदलते हैं; प्रतीक UL विधि के समान ही रखा जाता है। अरैखिक पद को वर्तमान विस्थापन प्रवणता \(\partial u_k/\partial X_j\) और \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) के गुणन को Voigt नियम के अनुसार व्यवस्थित करके बने नोडीय ब्लॉक \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) द्वारा

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

के रूप में लिखा जाता है। अतः \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) होता है, और \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL विधि का विकृति-विस्थापन मैट्रिक्स है। इसे आंतरिक आभासी कार्य में प्रतिस्थापित करने पर

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

प्राप्त होता है। नोडीय ब्लॉक \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\), तत्व \(\Omega^e_0\) के संघटक नोड \(\alpha\) पर कार्य करने वाला आंतरिक बल है।

UL/TL का अनुरूप संबंध और गणना प्रवाह

Updated Lagrange और Total Lagrange विधियों के तत्व आंतरिक-बल सदिशों का अनुरूप संबंध निम्न है।

मद Updated Lagrange विधि Total Lagrange विधि
संदर्भ विन्यास वर्तमान विन्यास \({}^{t}\Omega^e\) प्रारंभिक विन्यास \(\Omega^e_0\)
प्रतिबल टेन्सर Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) द्वितीय PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\)
विकृति परिवर्तन \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B मैट्रिक्स \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
तत्व आंतरिक बल \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

दोनों को समान प्रक्रिया से संभाला जा सकता है: आकार फलनों के स्थानिक अवकलजों से \(\boldsymbol{B}_L\) बनाना; TL विधि में वर्तमान विस्थापन प्रवणता से \(\boldsymbol{B}_{NL}\) बनाकर जोड़ना; संविधायी नियम के अनुसार प्रतिबल (\(\boldsymbol{\sigma}\) या \(\boldsymbol{S}\)) अद्यतन करना; और समाकलन बिंदुओं पर \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) या \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) का तत्व क्षेत्र पर संख्यात्मक समाकलन करना (संख्यात्मक समाकलन)। संदर्भ विन्यास बदलने (नोडीय निर्देशांक और \(\boldsymbol{B}\) मैट्रिक्स का निर्माण) और प्रतिबल टेन्सर बदलने के अतिरिक्त प्रक्रिया समान है, इसलिए FrontISTR में दोनों विधियों की आंतरिक-बल गणना साझा उपप्रोग्रामों से लागू की जाती है। तत्व आंतरिक-बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e\) और \(\boldsymbol{Q}^e\) को समग्र आंतरिक-बल सदिश में संयोजित करने की प्रक्रिया बाह्य बलों का आभासी कार्य और वैश्विक समीकरणों की असेंबली में दी गई है।

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