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बाह्य बलों का आभासी कार्य और वैश्विक समीकरणों की असेंबली

आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण में दुर्बल रूप के बाएँ पक्ष को तत्व आंतरिक-बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e\) (UL विधि) या \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL विधि) तक घटाया गया था। यह अध्याय बाह्य बलों के आभासी कार्य से तत्व नोडीय बाह्य-बल सदिश \(\boldsymbol{F}^e\) प्रस्तुत करता है, फिर वैश्विक नोड संख्या के अनुसार तत्व नोडीय राशियों को पुनः क्रमित और संचयित करने वाली असेंबली क्रिया लागू करता है और अंततः नोडीय विस्थापनों का वह अरैखिक समीकरण तंत्र प्राप्त करता है जिसे FrontISTR का अरैखिक संरचनात्मक विश्लेषण हल करता है।

बाह्य बलों के आभासी कार्य का तत्व विघटन

आभासी कार्य का सिद्धांत के दाएँ पक्ष को तत्व-दर-तत्व बाह्य बलों के आभासी कार्य में विघटित किया जा सकता है, जिसमें पिंड बल और यांत्रिक सीमाओं पर निर्दिष्ट पृष्ठीय बल शामिल हैं। आकार फलन और परिमित तत्व सन्निकटन में प्रस्तुत विस्थापन प्रक्षेप को मैट्रिक्स रूप में लिखने के लिए, नोड \(\alpha\) के आकार फलन \(N_\alpha^e\) को विकर्ण पर रखकर \(d \times d\) का ब्लॉक \(\boldsymbol{N}_\alpha\) परिभाषित करें और \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) बनाएँ, ताकि \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) हो। इसे संदर्भ विन्यास में लिखे बाह्य बलों के आभासी कार्य में प्रतिस्थापित करने पर

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

जहाँ तत्व नोडीय बाह्य-बल सदिश को \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) के रूप में व्यवस्थित किया गया है। इस प्रकार बाह्य बलों का आभासी कार्य आंतरिक-बल पक्ष के समान “तत्व नोडीय सदिश × परीक्षण फलन” रूप में घट जाता है (वर्तमान विन्यास में लिखने पर \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) और \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) प्रतिस्थापन से यही रूप मिलता है)।

तत्व नोडीय राशियों की असेंबली

प्रत्येक तत्व के लिए प्राप्त नोडीय राशियाँ \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) वैश्विक नोड संख्या के क्रम वाले वैश्विक सदिशों में संचयित की जाती हैं। तत्व \(\Omega^e\) की स्थानीय नोड संख्या \(\alpha\) के अनुरूप वैश्विक नोड संख्या को मानें

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

तब तत्व नोडीय राशि वैश्विक नोडीय राशि के संबंधित घटक के समान होती है (उदाहरण के लिए \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\))। चूँकि नोड \(i_g\) सामान्यतः कई तत्वों द्वारा साझा किया जाता है, उन युग्मों \((e, \alpha)\) के समुच्चय को जिनकी वैश्विक नोड संख्या \(i_g\) है, इस प्रकार परिभाषित करें

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

इस समुच्चय का उपयोग करके योग को \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) के रूप में पुनर्लिखने पर सभी \(n_g\) नोडों पर नोडीय आंतरिक बल और वैश्विक आंतरिक-बल सदिश प्राप्त होते हैं:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

यहाँ \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) नोड \(i_g\) पर कार्य करने वाले तत्व नोडीय आंतरिक बलों का परिणामी है और जब कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता तथा संतुलन संतुष्ट है, तब यह \(\boldsymbol{0}\) होता है। UL विधि में यही प्रक्रिया \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) देती है; क्योंकि इनके संख्यात्मक मान \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) को संतुष्ट करते हैं, जहाँ भेद आवश्यक न हो वहाँ आगे \(\boldsymbol{Q}\) संकेतन उपयोग किया जाता है। वैश्विक बाह्य-बल सदिश \(\boldsymbol{F}\) भी इसी संचयन से प्राप्त होता है।

कार्यान्वयन में समुच्चय \(\mathcal{E}(i_g)\) स्पष्ट रूप से नहीं बनाया जाता; इसके बजाय तत्व लूप के भीतर योगदान संबंधित घटकों में जोड़े जाते हैं।

वैश्विक आंतरिक-बल सदिश Q को 0 से आरंभ करें: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (तत्वों की संख्या)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

वैश्विक बाह्य-बल सदिश \(\boldsymbol{F}\) भी इसी प्रक्रिया से बनाया जाता है। वैश्विक नोड संख्या से क्रमांकित सदिशों और मैट्रिक्सों में तत्व नोडीय राशियों को जोड़ने और संग्रहीत करने की इस क्रिया को असेंबली कहते हैं। दो नोड संख्याओं से जुड़े द्वितीय-कोटि टेन्सरों (जैसे कठोरता मैट्रिक्स) के लिए इसी प्रकार की असेंबली समुच्चय \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) से प्राप्त होती है (विशिष्ट निर्माण के लिए स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स देखें)।

हल किए जाने वाले अरैखिक समीकरण

असेंबल किए गए आंतरिक और बाह्य बलों को आभासी कार्य का सिद्धांत में प्रतिस्थापित करके और इस तथ्य का उपयोग करके कि यह ज्यामितीय सीमा शर्तों को संतुष्ट करने वाले किसी भी परीक्षण फलन \(\delta\boldsymbol{u}^n\) के लिए मान्य है, प्राप्त होता है

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

वृद्धिशील विश्लेषण (वृद्धिशील विश्लेषण की रूपरेखा) के संदर्भ में समय उपलिपि \(_{n+1}\) पुनः स्थापित करें और वैश्विक नोडीय सदिश को दर्शाने वाला अधिलिपि \(^n\) हटा दें। तब हल किया जाने वाला समीकरण है

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

इस प्रकार समय \(t_{n+1}\) पर नोडीय विस्थापन \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) खोजने की विविक्त सीमा-मूल्य समस्या, ज्यामितीय सीमा शर्तों के साथ विस्थापन के इस अरैखिक समीकरण को हल करने तक घट जाती है। समीकरण का रैखिकीकरण और स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स का निर्माण स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स में तथा पुनरावृत्त समाधान विधि Newton-Raphson विधि में वर्णित है।

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