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संख्यात्मक समाकलन

आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण और बाह्य बलों का आभासी कार्य और वैश्विक समीकरणों की असेंबली से प्राप्त तत्व आंतरिक-बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) और तत्व कठोरता मैट्रिक्स \(\boldsymbol{K}^e\) तत्व क्षेत्र \(\Omega^e\) या \(\Omega^e_0\) पर समाकलों के रूप में होते हैं। FrontISTR इनका संख्यात्मक मूल्यांकन Gauss समाकलन सूत्र से करता है।

Gauss समाकलन सूत्र और चर परिवर्तन

Gauss समाकलन सूत्र संदर्भ क्षेत्र \(\Xi\) पर समाकल को समाकलन बिंदुओं \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) पर समाकल्य मानों और भार \(w_i\) के रैखिक संयोजन से सन्निकट करता है। तत्व क्षेत्र \(\Omega^e\) पर लागू करते समय मानचित्रण \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) द्वारा चर परिवर्तन होता है,

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

लिखा जा सकता है। \(n_q\) समाकलन बिंदुओं की संख्या है और \(J_{\xi_i}\) रूपांतरण जैकोबियन का सारणिक है। संदर्भ क्षेत्र \(\Xi\) प्रत्येक तत्व प्रकार के लिए निर्धारित है (षट्फलक के लिए \([-1,1]^3\), त्रिभुज/चतुष्फलक/वेज के लिए संबंधित संदर्भ आकृतियाँ) और समाकलन बिंदु \(\boldsymbol{\xi}_i\) तथा भार \(w_i\) संख्यात्मक तालिकाओं के रूप में दिए जाते हैं। सतह समाकल भी तत्व सतह को 2-आयामी संदर्भ क्षेत्र से मानचित्रित करके इसी रूप में संभाले जाते हैं।

FrontISTR द्वारा प्रयुक्त समाकलन बिंदुओं की प्रतिनिधि संख्याएँ नीचे दी गई हैं (तत्व प्रकारों से संबंध के लिए तत्व क्रमांकन योजना और आकार फलन लाइब्रेरी देखें)।

तत्व प्रकार समाकलन नियम समाकलन बिंदुओं की संख्या
4-नोड चतुष्फलक (tet4n) 1-बिंदु नियम 1
10-नोड चतुष्फलक (tet10n) 4-बिंदु नियम 4
6-नोड त्रिकोणीय प्रिज़्म (prism6n) 2-बिंदु नियम 2
15-नोड त्रिकोणीय प्रिज़्म (prism15n) 9-बिंदु नियम 9
8-नोड षट्फलक (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20-नोड षट्फलक (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4-नोड चतुर्भुज (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8-नोड चतुर्भुज (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3-नोड त्रिभुज (tri3n) 1-बिंदु नियम 1
6-नोड त्रिभुज (tri6n) 3-बिंदु नियम 3

षट्फलक, चतुर्भुज और रेखा तत्वों में प्रत्येक अक्ष दिशा के Gauss-Legendre नियमों का टेन्सर गुणनफल लिया जाता है। त्रिभुज, चतुष्फलक और त्रिकोणीय प्रिज़्म में सिंप्लेक्स आकृतियों के लिए उपयुक्त विशेष नियम (बिंदु विन्यास जो त्रिभुज पर बहुपदों का सटीक समाकल करते हैं) प्रयुक्त होते हैं।

तत्व समाकलन पर अनुप्रयोग

तत्व समाकलन में प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) को संदर्भ क्षेत्र के निर्देशांक माना जाता है (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) और भौतिक निर्देशांकों का मानचित्रण आकार फलनों द्वारा नोड निर्देशांक अंतर्वेशन से दिया जाता है। संदर्भ विन्यास के चयन (वृद्धिशील विश्लेषण की रूपरेखा) के अनुसार निम्न प्रकार उपयोग किया जाता है।

Total Lagrange विधि(संदर्भ विन्यास \(\Omega^e_0\) पर समाकल): मानचित्रण और जैकोबियन को

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

मानकर तत्व आंतरिक बल और कठोरता मैट्रिक्स को

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

से सन्निकट किया जाता है। \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) सभी का मूल्यांकन समाकलन बिंदु \(\boldsymbol{r}_i\) पर किया जाता है।

Updated Lagrange विधि(वर्तमान विन्यास \(\Omega^e\) पर समाकल): मानचित्रण और जैकोबियन को

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

मानकर,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

से सन्निकट किया जाता है।

दोनों सूत्रीकरणों में केवल 1 अंतर यह है कि मानचित्रण को दिए जाने वाले नोड निर्देशांक \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) हैं या \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); समाकलन बिंदु, भार और समाकलन-बिंदु लूप की संरचना समान है।

पूर्ण समाकलन और घटित समाकलन

जिस समाकलन में समाकल्य की बहुपद कोटि को सटीक समाकलित करने के लिए पर्याप्त समाकलन बिंदु लिए जाते हैं उसे पूर्ण समाकलन और उससे एक स्तर कम बिंदु वाला समाकलन घटित समाकलन कहलाता है। घटित समाकलन का उपयोग कर्तन और आयतन लॉकिंग को कम करने में होता है, लेकिन घंटाघर मोड जैसे कृत्रिम विरूपण मोडों का उपचार आवश्यक होता है। प्रत्येक तत्व प्रकार के समाकलन बिंदुओं की संख्या तथा पूर्ण/घटित समाकलन के चयन को तत्व क्रमांकन योजना और आकार फलन लाइब्रेरी और उसके बाद के अनुभागों तथा उन्नत तत्व सूत्रीकरण में वर्णित किया गया है।

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