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3D ठोस तत्वों के आकार फलन

यह अध्याय सातत्य विश्लेषण में FrontISTR द्वारा उपयोग किए जाने वाले त्रिविमीय ठोस तत्वों के लिए आकार फलन और परिमित तत्व सन्निकटन में प्रस्तुत आकार फलनों \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) की प्राकृतिक निर्देशांक प्रणालियों और स्पष्ट रूपों का सार देता है। छह तत्व प्रकार प्रथम-/द्वितीय-कोटि चतुष्फलक (341/342), प्रथम-/द्वितीय-कोटि त्रिकोणीय प्रिज़्म (351/352) और प्रथम-/द्वितीय-कोटि षट्फलक (361/362) हैं। HEC-MW मेश प्रारूप में नोड क्रम और फलक संख्याओं के लिए फ़ंक्शन संदर्भ में तत्व लाइब्रेरी देखें।

इन आकार फलनों और Jacobian निर्धारक से तत्व समाकलन बनाने की प्रक्रिया संख्यात्मक समाकलन के अनुसार है। 361 के B-bar, F-bar और असंगत निरूपण तथा बीम और शेल तत्वों के आकार फलन उन्नत तत्व सूत्रीकरण में दिए गए हैं।

प्राकृतिक निर्देशांक प्रणालियाँ और आंतरिक नोड क्रम

आकार फलन प्रत्येक तत्व के प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) पर परिभाषित होते हैं। त्रिविमीय ठोस तत्व तत्व-आकार के अनुसार निम्न तीन प्राकृतिक निर्देशांक प्रणालियों का उपयोग करते हैं।

  • षट्फलक (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\)।
  • चतुष्फलक (341/342): आयतन निर्देशांक \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), जहाँ \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) और \(L_i \ge 0\)। \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) को स्वतंत्र चर लेने पर \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\)।
  • त्रिकोणीय प्रिज़्म (351/352): आधार त्रिभुज के आयतन निर्देशांक \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) और अक्षीय निर्देशांक \(\zeta \in [-1, 1]\) को मिलाकर \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) बनता है। सहायक राशि \(a = 1 - \xi - \eta\) आधार पर तीसरे आयतन निर्देशांक के रूप में प्रयुक्त होती है।

प्रथम-कोटि तत्वों में तत्व-नोड क्रमांकन HEC-MW इनपुट प्रारूप और आंतरिक प्रारूप में समान है। द्वितीय-कोटि तत्वों में मध्य-भुजा नोडों के क्रम की परंपराएँ भिन्न हैं। FrontISTR इनपुट के रूप में HEC-MW प्रारूप स्वीकार करता है (पहले तत्व के चारों ओर कोने के नोड, उसके बाद भुजाओं 1-2, 2-3, … के क्रम में मध्य-भुजा नोड), जबकि तत्व लाइब्रेरी के आकार फलन एक अलग नोड क्रम मानकर कार्यान्वित हैं।

दोनों प्रारूपों का अंतर मेश इनपुट के तुरंत बाद बुलाए जाने वाले hecmw2fstr_mesh_conv द्वारा हल किया जाता है, जो प्रत्येक तत्व के नोडों को पुनः क्रमित करता है। त्रिविमीय ठोस तत्वों में निम्न दो प्रकारों का रूपांतरण किया जाता है।

तत्व प्रकार रूपांतरण तालिका विवरण
342 (द्वितीय-कोटि चतुष्फलक) Table342 10 नोडों को \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) में पुनः क्रमित करता है
352 (द्वितीय-कोटि त्रिकोणीय प्रिज़्म) Table352 15 नोडों को \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) में पुनः क्रमित करता है

चूँकि पुनःक्रमण सीधे तत्व संयोजकता संग्रहीत करने वाली सरणी पर किया जाता है, तत्व लाइब्रेरी की सभी बाद की कॉल FrontISTR के आंतरिक नोड क्रम का उपयोग करती हैं। द्वितीय-कोटि षट्फलकीय तत्व 362 के लिए कोई रूपांतरण तालिका नहीं है क्योंकि HEC-MW इनपुट और FrontISTR आंतरिक प्रारूप में मध्य-भुजा नोड क्रम समान है। परिणाम आउटपुट पर प्रतिलोम रूपांतरण fstr2hecmw_mesh_conv लिखने से पहले HEC-MW नोड क्रम बहाल करता है, इसलिए उपयोगकर्ताओं को इनपुट और आउटपुट दोनों के लिए केवल HEC-MW प्रारूप जानना आवश्यक है। नीचे के आकार फलनों में नोड संख्याएँ रूपांतरित FrontISTR आंतरिक प्रारूप का उपयोग करती हैं।

प्रथम-कोटि तत्वों के आकार फलन

प्रथम-कोटि चतुष्फलकीय तत्व (341) के लिए आकार फलन स्वयं आयतन निर्देशांक हैं:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

प्रथम-कोटि त्रिकोणीय-प्रिज़्म तत्व (351) के लिए आकार फलन आधार त्रिभुज के रैखिक आकार फलनों (\(a, \xi, \eta\)) और रैखिक अक्षीय आकार फलनों (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) के गुणनफल हैं:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

प्रथम-कोटि षट्फलकीय तत्व (361) के लिए आकार फलन तीन निर्देशांक दिशाओं के रैखिक आकार फलनों के टेन्सर गुणनफल हैं:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

यहाँ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) नोड \(\alpha\) के प्राकृतिक निर्देशांक मान हैं (प्रत्येक घटक \(\pm 1\) है)।

द्वितीय-कोटि तत्वों के आकार फलन

द्वितीय-कोटि चतुष्फलकीय तत्व (342) के आकार फलन चार कोने के नोडों और छह मध्य-भुजा नोडों में विभाजित हैं:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

मध्य-भुजा नोड 5–10 क्रमशः भुजाओं 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 और 3-4 के मध्यबिंदुओं के अनुरूप हैं।

द्वितीय-कोटि त्रिकोणीय-प्रिज़्म तत्व (352) में छह कोने के नोड, त्रिकोणीय फलकों पर छह मध्य-भुजा नोड और अक्षीय भुजाओं पर तीन मध्य-भुजा नोड होते हैं:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

मध्य-भुजा नोड 7–9 निचले त्रिभुज (\(\zeta = -1\)) की भुजाओं के मध्यबिंदुओं, नोड 10–12 ऊपरी त्रिभुज (\(\zeta = +1\)) की भुजाओं के मध्यबिंदुओं तथा नोड 13–15 अक्षीय भुजाओं के मध्यबिंदुओं के अनुरूप हैं।

द्वितीय-कोटि षट्फलकीय तत्व (362) Serendipity परिवार का 20-नोड तत्व है। नोड \(\alpha\) के प्राकृतिक निर्देशांक मान \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) मानें। कोने के नोडों (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), प्रत्येक घटक \(\pm 1\)) के लिए,

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

मध्य-भुजा नोडों (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), जहाँ तीन प्राकृतिक निर्देशांकों में से एक \(0\) और अन्य दो \(\pm 1\) हैं) में, \(\xi_\alpha = 0\) वाले नोडों (\(\xi\) दिशा में उन्मुख भुजाएँ) के लिए

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

प्राप्त होता है। जिन मध्य-भुजा नोडों की भुजा दिशा \(\eta\) या \(\zeta\) अक्ष है, उनके लिए समान रूप से संबंधित प्राकृतिक निर्देशांक को वर्ग पद से हटाकर रूप दिया जाता है।

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