उन्नत तत्व सूत्रीकरण¶

3-आयामी ठोस तत्वों का सूत्रीकरण में प्रस्तुत मानक विस्थापन-आधारित सूत्रीकरण, लगभग असंपीड्य सामग्रियों या वंकन-प्रधान पतली संरचनाओं पर लागू होने पर लॉकिंग (आयतन लॉकिंग/कर्तन लॉकिंग) नामक अनुचित अतिरिक्त कठोरता दिखाता है। इसे टालने के लिए FrontISTR B मैट्रिक्स या विरूपण प्रवणता के केवल आयतन भाग को बदलने वाली B-bar और F-bar विधियाँ, आंतरिक स्वतंत्रता-कोटियाँ जोड़ने वाले असंगत तत्व, दाब को स्वतंत्र अज्ञात क्षेत्र मानने वाले u-p मिश्रित तत्व, तथा प्लेट और बीम संरचनाओं के लिए विशेष MITC शेल और बीम तत्व प्रदान करता है।

यह अध्याय इन उन्नत और संरचनात्मक तत्वों के सूत्रीकरणों को तत्व-वार व्यवस्थित करता है।

B-bar विधि¶

8-नोड रैखिक षट्फलकीय तत्व को लगभग असंपीड्य सामग्री में उपयोग करने पर 1 तत्व के भीतर विकृति क्षेत्र नियत-आयतन बंधन से असंगत हो सकता है, जिससे आयतन लॉकिंग नामक अतिरिक्त कठोरता उत्पन्न होती है। B-bar विधि B मैट्रिक्स के आयतन प्रसार में योगदान देने वाले घटकों को तत्व केंद्र पर मूल्यांकित मानों से बदलकर इस अतिबंधन को कम करती है [Hughes1980]।

तत्व केंद्र \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) पर आकार फलनों के स्थानिक अवकलजों से गणित B मैट्रिक्स को \(\bar{\boldsymbol{B}}\) और समाकलन बिंदु \(\boldsymbol{r}\) पर सामान्य B मैट्रिक्स को \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) मानें। नोड \(\alpha\) की स्वतंत्रता-कोटि \(i\) के विस्थापन-विकृति संबंध में आयतन विकृति घटकों \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) में

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

जोड़ा जाता है, जबकि कर्तन घटकों \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) के लिए सामान्य \(\boldsymbol{B}\) उपयोग होता है। प्राप्त B-bar मैट्रिक्स से तत्व कठोरता और आंतरिक-बल सदिश संयोजित किए जाते हैं।

FrontISTR यह सूत्रीकरण विशेष रूप से 8-नोड रैखिक षट्फलकीय तत्व (तत्व ID 361, तत्व क्रमांकन प्रणाली) के लिए प्रदान करता है और इसे लघु-विरूपण, Total Lagrange तथा Updated Lagrange सभी में लागू किया जा सकता है।

F-bar विधि¶

परिमित विरूपण में आयतन परिवर्तन विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) के माध्यम से अरैखिक रूप से प्रभाव डालता है; इसलिए B-bar विधि के समतुल्य आयतन-लॉकिंग उपचार को विरूपण-प्रवणता स्तर पर लागू करने वाली विधि F-bar [deSouzaNeto1996] है।

तत्व केंद्र \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) पर मूल्यांकित विरूपण प्रवणता का आयतन अनुपात \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) और समाकलन बिंदु पर आयतन अनुपात \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) मानकर, समाकलन बिंदु की विरूपण प्रवणता को

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

से प्रतिस्थापित किया जाता है। इससे \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) होता है और पूरे तत्व में आयतन अनुपात तत्व-केंद्र मान के बराबर होता है। प्रतिबल मूल्यांकन और विकृति-विस्थापन मैट्रिक्स के निर्माण में प्रतिस्थापित \(\bar{\boldsymbol{F}}\) का उपयोग होता है और तत्व कठोरता में इस प्रतिस्थापन से उत्पन्न अतिरिक्त पदों सहित स्पर्शी मैट्रिक्स संयोजित किया जाता है।

FrontISTR F-bar विधि को विशेष रूप से 8-नोड रैखिक षट्फलकीय तत्व के लिए कार्यान्वित करता है और इसे लघु-विरूपण तथा Total Lagrange / Updated Lagrange अरैखिक ज्यामिति दोनों पर लागू किया जा सकता है।

असंगत तत्व¶

8-नोड रैखिक षट्फलकीय तत्व में वंकन मोड के लिए आवश्यक विकृति स्वतंत्रता-कोटियाँ नहीं होतीं और वंकन-प्रधान समस्याओं में वंकन लॉकिंग दिखाई देती है। असंगत तत्व [Taylor1976] इस कमी की पूर्ति हेतु तत्व के भीतर अतिरिक्त विस्थापन मोड जोड़ते हैं।

तत्व नोडीय विस्थापन \(\boldsymbol{u}^e\) के अतिरिक्त, केवल तत्व के भीतर मौजूद असंगत-मोड स्वतंत्रता-कोटियाँ \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) प्रति 1 तत्व 3 दिशाएँ × 3 मोड के रूप में जोड़ी जाती हैं और विस्थापन क्षेत्र को

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

से सन्निकट किया जाता है। प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) के लिए असंगत आकार फलन \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) लिए जाते हैं। ये तत्व सीमाओं पर निरंतरता सुनिश्चित नहीं करते, किंतु वंकन मोड से संबंधित विकृतियाँ पुनरुत्पादित करने वाला आंतरिक स्थान जोड़ते हैं।

तत्व कठोरता पहले बाह्य स्वतंत्रता-कोटि–आंतरिक स्वतंत्रता-कोटि ब्लॉक रूप में

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

संयोजित करने के बाद आंतरिक स्वतंत्रता-कोटियों को \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) से हटाने हेतु स्थैतिक संघनन किया जाता है और केवल बाह्य स्वतंत्रता-कोटियों वाली तत्व कठोरता

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

समग्र संयोजन को दी जाती है।

FrontISTR असंगत तत्व को विशेष रूप से 8-नोड रैखिक षट्फलकीय तत्व (C3D8IC) के लिए कार्यान्वित करता है और इसे लघु-विरूपण, Total Lagrange तथा Updated Lagrange सभी पर लागू किया जा सकता है।

U-P मिश्रित तत्व¶

B-bar और F-bar विधियाँ विस्थापन-आधारित ढाँचे के भीतर आयतन घटक को सुधारती हैं, जबकि u-p मिश्रित (U-P) तत्व मिश्रित सूत्रीकरण [Bathe1996] का उपयोग करके दाब \(\lambda\) को विस्थापन से स्वतंत्र अज्ञात क्षेत्र के रूप में प्रस्तुत करता है। लगभग असंपीड्य सामग्रियों (जैसे पॉइसन अनुपात 0.5 के अत्यंत निकट रबर-जैसी सामग्री या प्लास्टिक विरूपण के बाद धातु) में केवल विस्थापन क्षेत्र से नियत-आयतन बंधन पूरा करने पर आयतन लॉकिंग होती है; दाब को स्वतंत्र चर बनाने से यह बंधन शिथिल होता है।

प्रतिबल को विचलनी और दाब घटकों में विभाजित किया जाता है,

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

यहाँ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) प्रत्यास्थ मैट्रिक्स से आयतन प्रत्यास्थता गुणांक \(K\) के अनुपाती आयतन भाग को हटाकर प्राप्त विचलनी प्रत्यास्थ मैट्रिक्स है। दाब \(\lambda\) और आयतन विकृति \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) संपीड्यता \(\alpha^{-1} = 1/K\) के माध्यम से बंधन शर्त

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

से संबंधित हैं। विस्थापन \(\boldsymbol{u}\) और दाब \(\lambda\) को अज्ञात मानकर विविक्तीकरण से तत्व का युग्मित तंत्र

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

प्राप्त होता है। यहाँ \(\mathbf{K}_{uu}\) में विचलनी प्रत्यास्थ योगदान और (परिमित विरूपण में) ज्यामितीय कठोरता शामिल है, \(\mathbf{K}_{up}\) आयतन विकृति और दाब को युग्मित करता है, और \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) दाब स्थिरीकरण पद है (\(\boldsymbol{N}_p\) दाब का आकार फलन है)। दाब स्वतंत्रता-कोटियाँ तत्व के भीतर बंद होती हैं, इसलिए

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

इस रूप में स्थैतिक संघनन करके केवल बाह्य (विस्थापन) स्वतंत्रता-कोटियों की प्रभावी कठोरता समग्र संयोजन को दी जाती है।

FrontISTR U-P तत्व को विशेष रूप से 8-नोड रैखिक षट्फलकीय तत्व के लिए कार्यान्वित करता है और प्रति 1 तत्व 1 दाब स्वतंत्रता-कोटि (तत्व के भीतर नियत) रखता है। इसे लघु-विरूपण, Total Lagrange और Updated Lagrange सभी पर लागू किया जा सकता है; Updated Lagrange में विचलनी प्रतिबल को वस्तुनिष्ठ प्रतिबल दर (Jaumann/Hughes-Winget प्रकार) से अद्यतन करने के बाद स्थैतिक संघनन से प्राप्त मान से दाब \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) लगाया जाता है।

शेल तत्व¶

पतली प्लेट और शेल संरचनाओं के लिए Reissner-Mindlin प्लेट/शेल सिद्धांत पर आधारित शेल तत्व उपयोग होते हैं। निम्न-कोटि विस्थापन-आधारित प्लेट/शेल तत्वों में मोटाई घटने पर अनुप्रस्थ कर्तन विकृति आयतन लॉकिंग के समान तंत्र (कर्तन लॉकिंग) से अधिक आंकी जाती है, जिससे वंकन मोड की कठोरता अत्यधिक बढ़ती है। MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) विधि [Dvorkin1984] [Bathe1986] केवल कर्तन-विकृति घटकों को तत्व के पूर्वनिर्धारित टाइंग बिंदुओं पर पुनः नमूना लेकर और उन नमूना मानों को तत्व में पुनः अंतर्वेशित करके इस समस्या से बचती है।

MITC शेल तत्व के नोड वक्र सतह की मध्य-सतह पर होते हैं और प्रत्येक नोड में 3 स्थानांतरण घटक तथा मध्य-सतह अभिलंब के चारों ओर 3 घूर्णन घटक मिलाकर कुल 6 स्वतंत्रता-कोटियाँ होती हैं। तत्व कठोरता का मूल्यांकन मध्य-सतह प्राकृतिक निर्देशांकों और मोटाई दिशा में कुल 3-आयामी Gauss समाकलन से किया जाता है और प्लेट मोटाई \(h\) संविधायी गणना के समय तत्व गुण के रूप में दी जाती है।

FrontISTR मध्य-सतह की 1 परत वाले MITC3 (तत्व ID 731) /MITC4 (741) /MITC9 (743) तथा मोटाई दिशा में नोडों की 2 परत वाले स्तरित शेल तत्व MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 नोड/प्रति नोड 3 स्वतंत्रता-कोटियाँ) /MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 नोड/प्रति नोड 3 स्वतंत्रता-कोटियाँ) प्रदान करता है। स्तरित शेल तत्वों में नोडीय स्वतंत्रता-कोटियाँ केवल 3 स्थानांतरण घटक होती हैं और घूर्णन स्वतंत्रता-कोटियों के अनुरूप वंकन मोड 2-परत व्यवस्था से व्यक्त किए जाते हैं।

बीम तत्व¶

गर्डर और फ्रेम संरचनाओं जैसे रैखिक सदस्यों को बीम तत्वों से विविक्त किया जाता है। FrontISTR कर्तन विरूपण को ध्यान में रखने वाला Timoshenko बीम सूत्रीकरण उपयोग करता है और वंकन तथा कर्तन दोनों को स्थानांतरण और घूर्णन स्वतंत्रता-कोटियों के फलन के रूप में लिखता है।

प्रत्येक बीम नोड में 3 स्थानांतरण घटक और बीम अक्ष तथा अनुप्रस्थ अक्षों के चारों ओर 3 घूर्णन घटक मिलाकर कुल 6 स्वतंत्रता-कोटियाँ होती हैं। तत्व कठोरता का मूल्यांकन बीम अक्ष के साथ 1-आयामी संख्यात्मक समाकलन से होता है। अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल \(A\) और वंकन/मरोड़ दिशाओं के क्षेत्र के 2 आघूर्ण \(I\) बीम अनुभाग नियतांक के रूप में तत्व गुणों में दिए जाते हैं और सामग्री के यंग मापांक \(E\) तथा कर्तन गुणांक \(G\) के साथ मिलकर अक्षीय, वंकन, मरोड़ और कर्तन कठोरताएँ बनाते हैं।

FrontISTR 2-नोड सीधा बीम तत्व (तत्व ID 611) और 3 नोडों से व्यक्त 4-नोड चतुष्फलकीय ठोस–बीम संकर तत्व (641, मिश्रित स्वतंत्रता-कोटियों के लिए) प्रदान करता है।