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गति, विरूपण और विकृति

संदर्भ विन्यास और वर्तमान विन्यास

विन्यास की परिभाषा

भौतिक राशियों का वर्णन किस समय के आकार को आधार बनाकर किया जाता है, यह अलग करने के लिए इस मैनुअल में 2 प्रकार के विन्यास उपयोग किए जाते हैं।

  • संदर्भ विन्यास (reference configuration): विश्लेषण प्रारंभ (समय \(0\)) पर विरूपण से पहले का आकार (इसे प्रारंभिक विन्यास भी कहते हैं)। संदर्भ विन्यास के बिंदु को पदार्थ निर्देशांक \(\boldsymbol{X}\) से दर्शाते हैं, आयतन \(V\) और सतह \(S\) है।
  • वर्तमान विन्यास (current configuration): समय \(t\) पर विरूपण के बाद का आकार। वर्तमान विन्यास के बिंदु को स्थानिक निर्देशांक \(\boldsymbol{x}\) से दर्शाते हैं, आयतन \(v\) और सतह \(s\) है।

गति को इन 2 विन्यासों के बीच मानचित्रण \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) के रूप में व्यक्त किया जाता है, और विस्थापन \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) से परिभाषित होता है।

विन्यास-निर्भर संकेतन नियम (बड़े/छोटे अक्षर)

भौतिक राशि किस विन्यास से संबंधित है, इसे प्रतीक के अक्षर-रूप से अलग किया जाता है।

  • संदर्भ विन्यास से संबंधित राशियाँ बड़े अक्षर से लिखी जाती हैं (उदाहरण: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\))।
  • वर्तमान विन्यास से संबंधित राशियाँ छोटे अक्षर से लिखी जाती हैं (उदाहरण: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\))।
  • 1 Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{P}\) जैसी दोनों विन्यासों में फैली राशियों के लिए प्रचलित संकेतन अपनाया जाता है और पाठ में आवश्यकता अनुसार स्पष्ट किया जाता है।
  • लघु-विरूपण सिद्धांत में दोनों विन्यासों का अंतर समाप्त हो जाता है, इसलिए केवल छोटे अक्षर (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) उपयोग किए जाते हैं।

संदर्भ-विन्यास प्रवणता और वर्तमान-विन्यास प्रवणता

स्थानिक अवकलन किस विन्यास के सापेक्ष लिया जाता है, उसके अनुसार संकेतन और अर्थ भिन्न होते हैं।

  • संदर्भ-विन्यास प्रवणता \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): पदार्थ निर्देशांक के सापेक्ष प्रवणता। उदाहरण: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)।
  • वर्तमान-विन्यास प्रवणता \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): स्थानिक निर्देशांक के सापेक्ष प्रवणता। उदाहरण: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)।

दोनों का संबंध \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) है। समय अवकलन के नियम (पदार्थ समय अवकलज \(\dot{(\cdot)}\)) के लिए टेन्सर संकेतन और गणितीय आधार देखें।

गति का वर्णन

गति मानचित्रण और पदार्थ/स्थानिक वर्णन

यदि सतत माध्यम को समय \(0\) पर स्थितियों \(\boldsymbol{X}\) से चिह्नित पदार्थ बिंदुओं का समुच्चय माना जाए, तो पदार्थ बिंदु \(\boldsymbol{X}\) को उस समय \(t\) की स्थिति \(\boldsymbol{x}\) से संबद्ध करने वाले मानचित्रण \(\phi\) द्वारा गति को

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

व्यक्त किया जाता है। संदर्भ विन्यास को प्रारंभिक विन्यास मानने के नियम में \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) है।

स्वतंत्र चर के चयन के अनुसार 2 प्रकार के वर्णन अलग किए जाते हैं।

  • पदार्थ वर्णन (Lagrange वर्णन): भौतिक राशियों को \((\boldsymbol{X}, t)\) के फलन के रूप में व्यक्त करता है। ठोस यांत्रिकी में संदर्भ विन्यास स्थिर आकार के रूप में दिया जाता है, इसलिए यह स्वाभाविक चयन है।
  • स्थानिक वर्णन (Euler वर्णन): भौतिक राशियों को \((\boldsymbol{x}, t)\) के फलन के रूप में व्यक्त करता है। द्रव यांत्रिकी में यह मानक वर्णन है।

FrontISTR का संरचनात्मक विश्लेषण मूलतः पदार्थ वर्णन पर आधारित है, लेकिन Updated Lagrange विधि में वर्तमान विन्यास को नया संदर्भ विन्यास बनाया जाता है, इसलिए स्थानिक वर्णन की राशियाँ भी साथ उपयोग होती हैं।

विस्थापन, वेग और त्वरण

विस्थापन \(\boldsymbol{u}\) पिछले अनुभाग के अनुसार \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) से परिभाषित है। इसके परिमाण पर कोई धारणा नहीं रखी जाती, इसलिए परिमित विरूपण भी शामिल है। वेग सदिश और त्वरण सदिश पदार्थ बिंदु को स्थिर रखते हुए \(\boldsymbol{u}\) के पदार्थ समय अवकलज के रूप में

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

परिभाषित होते हैं।

विरूपण प्रवणता और विरूपण टेन्सर

विरूपण प्रवणता टेन्सर

परिमित-विरूपण सतत माध्यम यांत्रिकी की मूल राशि विरूपण प्रवणता टेन्सर \(\boldsymbol{F}\) है। यह संदर्भ विन्यास के सूक्ष्म रेखाखंड \(d\boldsymbol{X}\) को वर्तमान विन्यास के सूक्ष्म रेखाखंड \(d\boldsymbol{x}\) में मैप करने वाला रैखिक मानचित्रण है, और गति मानचित्रण की पदार्थ निर्देशांकों के सापेक्ष प्रवणता के रूप में

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

परिभाषित होता है (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\))। अविरूपित अवस्था में \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) होता है। \(\boldsymbol{F}\) का व्यापक उपयोग विकृति और प्रतिबल की परिभाषा तथा विन्यासों के बीच भौतिक राशियों के रूपांतरण में होता है।

आयतन परिवर्तन अनुपात

संदर्भ विन्यास के सूक्ष्म आयतन \(dV\) और वर्तमान विन्यास के सूक्ष्म आयतन \(dv\) के अनुपात को आयतन परिवर्तन अनुपात \(J\) कहते हैं और

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

से दिया जाता है। सतत माध्यम की प्रतिवर्तनीयता से \(J > 0\) माना जाता है। द्रव्यमान संरक्षण नियम \(\rho_0 = J\rho\) से व्यक्त होता है।

दायाँ और बायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर

विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) में दृढ़-पिंड घूर्णन शामिल होता है, इसलिए स्वयं विरूपण के माप के लिए दृढ़-पिंड घूर्णन हटाई गई राशियाँ उपयोग होती हैं। दायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर \(\boldsymbol{C}\) (संदर्भ विन्यास) और बायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर \(\boldsymbol{b}\) (वर्तमान विन्यास) को

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

से परिभाषित किया जाता है। दोनों सममित टेन्सर हैं और समान स्वमान (प्रधान खिंचाव अनुपात का 2 घात) रखते हैं। अतिप्रत्यास्थ विकृति-ऊर्जा फलन के प्रधान अपरिवर्तक इन्हीं से दिए जाते हैं।

विकृति टेन्सर

Green-Lagrange विकृति टेन्सर

संदर्भ विन्यास के सापेक्ष विकृति माप के रूप में Green-Lagrange विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{E}\) को

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

से परिभाषित किया जाता है। यह संदर्भ विन्यास में सूक्ष्म सदिशों के आंतरिक गुणनफल के परिवर्तन को दर्शाने वाला सममित टेन्सर है, दृढ़-पिंड घूर्णन के प्रति अपरिवर्तित है, और अविरूपित अवस्था में \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) होता है। \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) का उपयोग करने पर

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

यह विस्थापन प्रवणता के 1 और 2 कोटि पदों के योग के रूप में व्यक्त होता है, जहाँ 2 कोटि पद ज्यामितीय अरैखिकता दर्शाता है। Total Lagrange विधि में इसे कार्य-संयुग्मी युग्म \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) के रूप में उपयोग किया जाता है।

Almansi विकृति टेन्सर

वर्तमान विन्यास के सापेक्ष विकृति माप के रूप में Almansi विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{e}\) को

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

से परिभाषित किया जाता है। यह Green-Lagrange विकृति से \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (पुल-बैक) द्वारा संबंधित है।

सूक्ष्म विकृति टेन्सर

जब विस्थापन प्रवणता छोटी हो (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange विकृति का 2 कोटि पद उपेक्षित किया जा सकता है, और दोनों विन्यासों का अंतर भी समाप्त हो जाता है; अतः यह स्थानिक निर्देशांकों में लिखी प्रवणता वाले सूक्ष्म विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{\varepsilon}\) में बदल जाता है:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR के रैखिक स्थैतिक विश्लेषण, मोडल विश्लेषण, आवृत्ति-प्रतिक्रिया विश्लेषण और रैखिक गतिशील विश्लेषण में यही विकृति माप उपयोग होता है। परिमित-विरूपण विश्लेषण में Total Lagrange विधि के लिए \(\boldsymbol{E}\) और Updated Lagrange विधि में वर्तमान विन्यास के सापेक्ष विरूपण-दर टेन्सर \(\boldsymbol{D}\) उपयोग होता है।

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