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प्रतिबल और संरक्षण नियम

यह अध्याय प्रतिबल टेन्सरों की परिभाषाओं और उनके परस्पर संबंधों को व्यवस्थित करता है तथा द्रव्यमान, रैखिक संवेग और कोणीय संवेग के संरक्षण से प्राप्त संतुलन समीकरणों और प्रतिबल की सममिति को प्रस्तुत करता है। तीन प्रतिबल टेन्सर—Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\), प्रथम Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{P}\) और द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\)—इस आधार पर प्रस्तुत किए जाते हैं कि संदर्भ पृष्ठ और बल सदिश के लिए किस विन्यास का उपयोग किया जाता है। विन्यास, गति और विरूपण प्रवणता की परिभाषाओं के लिए गति, विरूपण और विकृति तथा प्रतीकों की सूची के लिए भौतिक राशियों के प्रतीकों की सूची देखें।

Cauchy प्रतिबल टेन्सर

वर्तमान विन्यास में किसी बिंदु \(\boldsymbol{x}\) पर स्थित अतिसूक्ष्म पृष्ठ (क्षेत्रफल \(d\Gamma\), बाह्यमुखी इकाई अभिलंब \(\boldsymbol{n}\)) पर लगने वाला बल \(d\boldsymbol{f}\) हो। प्रति इकाई क्षेत्रफल बल को कर्षण सदिश \(\boldsymbol{t}\) के रूप में \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) द्वारा परिभाषित करें। \(\boldsymbol{t}\) स्थिति \(\boldsymbol{x}\) और अभिलंब \(\boldsymbol{n}\) दोनों पर निर्भर करता है। अतिसूक्ष्म चतुष्फलक पर संवेग संरक्षण लागू करने से ज्ञात होता है कि \(\boldsymbol{t}\), \(\boldsymbol{n}\) के सापेक्ष रैखिक है; अतः ऐसा द्वितीय-कोटि टेन्सर \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) अस्तित्व में होता है कि

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

किसी भी \(\boldsymbol{n}\) के लिए यह संबंध लागू होता है (Cauchy का प्रतिबल प्रमेय)। इस टेन्सर \(\boldsymbol{\sigma}\) को Cauchy प्रतिबल टेन्सर कहा जाता है और इसे वास्तविक प्रतिबल भी कहते हैं, क्योंकि यह वर्तमान विन्यास की ज्यामिति के सापेक्ष मापा गया प्रति इकाई क्षेत्रफल बल दर्शाता है। घटक \(\sigma_{ij}\) वर्तमान विन्यास में निर्देशांक अक्ष \(x_j\) के अभिलंब अतिसूक्ष्म पृष्ठ पर लगने वाले प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के \(x_i\) घटक को दर्शाता है।

जैसा कि आगे कोणीय संवेग संरक्षण से दिखाया जाएगा, Cauchy प्रतिबल एक सममित टेन्सर है:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

अतः त्रिविम में इसके छह स्वतंत्र घटक (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) होते हैं। Voigt संकेतन में प्रतिबल का सदिशीकरण इस सममिति को मानता है (देखें टेन्सर संकेतन और गणितीय आधार)। FrontISTR में Updated Lagrange विधि वाले ज्यामितीय अरैखिक विश्लेषण तथा लघु-विरूपण विश्लेषण में प्रतिबल आउटपुट के लिए Cauchy प्रतिबल का उपयोग किया जाता है।

प्रथम और द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल

परिमित विरूपण में प्रतिबल को संदर्भ विन्यास के पृष्ठों और सदिशों के सापेक्ष व्यक्त करना सुविधाजनक होता है, इसलिए दो Piola-Kirchhoff प्रतिबल टेन्सर प्रस्तुत किए जाते हैं। संदर्भ विन्यास में अतिसूक्ष्म पृष्ठ का क्षेत्रफल \(d\Gamma_0\) और उसका बाह्यमुखी इकाई अभिलंब \(\boldsymbol{N}\) हो।

प्रथम Piola-Kirchhoff प्रतिबल (प्रथम PK प्रतिबल, नाममात्र प्रतिबल) \(\boldsymbol{P}\) उस प्रतिबल टेन्सर के रूप में परिभाषित है जिसमें वर्तमान विन्यास का बल \(d\boldsymbol{f}\) संदर्भ विन्यास के अतिसूक्ष्म पृष्ठ पर लगाया जाता है:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nanson के सूत्र \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) को Cauchy के प्रतिबल प्रमेय के साथ उपयोग करने पर Cauchy प्रतिबल से संबंध प्राप्त होता है:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

प्रथम PK प्रतिबल सामान्यतः असममित होता है।

द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल (द्वितीय PK प्रतिबल) \(\boldsymbol{S}\) उस प्रतिबल टेन्सर के रूप में परिभाषित है जो वर्तमान-विन्यास के बल \(d\boldsymbol{f}\) को \(\boldsymbol{F}^{-1}\) द्वारा संदर्भ विन्यास में वापस रूपांतरित करके और उसे संदर्भ विन्यास के अतिसूक्ष्म पृष्ठ पर लागू करके प्राप्त होता है:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

बल सदिश और जिस पृष्ठ पर वह कार्य करता है, दोनों को संदर्भ-विन्यास की राशियों से व्यक्त किया जाता है; इसलिए यह दृढ़-पिंड घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तित और सममित रहता है। प्रथम PK प्रतिबल से इसका संबंध तथा Cauchy प्रतिबल से रूपांतरण इस प्रकार हैं:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

द्वितीय PK प्रतिबल को अतिप्रत्यास्थ विकृति-ऊर्जा फलन \(W(\boldsymbol{C})\) से \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) के रूप में प्राप्त किया जाता है और Total Lagrange विधि में इसे Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) के साथ कार्य-संयुग्मी युग्म \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) के रूप में उपयोग किया जाता है।

संदर्भ विन्यास और सममिति गुण नीचे सारांशित हैं। लघु-विरूपण सीमा (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) में तीनों प्रतिबल समान हो जाते हैं।

प्रतिबल टेन्सर संदर्भ पृष्ठ बल सदिश सममिति उपयोग
Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) वर्तमान विन्यास \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) वर्तमान विन्यास \(d\boldsymbol{f}\) सममित Updated Lagrange विधि / लघु-विरूपण विश्लेषण
प्रथम PK प्रतिबल \(\boldsymbol{P}\) संदर्भ विन्यास \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) वर्तमान विन्यास \(d\boldsymbol{f}\) सामान्यतः असममित संदर्भ विन्यास में संतुलन समीकरण
द्वितीय PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) संदर्भ विन्यास \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) संदर्भ विन्यास \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) सममित Total Lagrange विधि / अतिप्रत्यास्थता

द्रव्यमान और संवेग का संरक्षण तथा संतुलन समीकरण

वर्तमान विन्यास में द्रव्यमान घनत्व \(\rho\) और संदर्भ विन्यास में द्रव्यमान घनत्व \(\rho_0\) हो। द्रव्यमान-संरक्षण नियम \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) को आयतन-तत्व रूपांतरण \(dv = J\, dV\) के साथ उपयोग करने पर इसका स्थानीय रूप मिलता है:

\[ \rho_0 = J \rho \]

यह स्थानीय द्रव्यमान-संरक्षण संबंध है।

प्रति इकाई द्रव्यमान पिंड बल \(\boldsymbol{g}\) और त्वरण \(\boldsymbol{a}\) हो। रैखिक संवेग संरक्षण (Euler का प्रथम गति नियम) पर Cauchy का प्रतिबल प्रमेय और Gauss का अपसरण प्रमेय लागू करने पर वर्तमान विन्यास में स्थानीय संतुलन समीकरण (गति समीकरण) प्राप्त होता है:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Nanson के सूत्र और \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) का उपयोग कर समाकल को संदर्भ विन्यास में पुनर्लेखित करने पर स्थानीय रूप मिलता है:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

प्रतिबल-रूपांतरण नियम और \(\rho_0 = J\rho\) के माध्यम से दोनों रूप समतुल्य हैं। जड़त्वीय पद की उपेक्षा करने पर

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

प्राप्त होता है, जो स्थैतिक संतुलन समीकरण है और FrontISTR के स्थैतिक विश्लेषण (रैखिक और अरैखिक) का प्रारंभिक समीकरण बनता है।

कोणीय संवेग का संरक्षण और प्रतिबल सममिति

कोणीय संवेग संरक्षण (Euler का द्वितीय गति नियम) को रैखिक संवेग संरक्षण से प्राप्त संतुलन समीकरण के साथ संयोजित करने पर Cauchy प्रतिबल टेन्सर की सममिति प्राप्त होती है:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

अतः त्रिविम में इसके छह स्वतंत्र घटक होते हैं। रूपांतरण \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) के दोनों पक्षों का स्थानांतरण लेकर और \(\boldsymbol{F}\) की अव्युत्क्रमणीयता का उपयोग करके दिखाया जा सकता है कि द्वितीय PK प्रतिबल भी सममित है:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

और इसलिए इसके भी छह स्वतंत्र घटक होते हैं। इसके विपरीत, प्रथम PK प्रतिबल \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) सामान्यतः सममित नहीं होता; केवल \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) संबंध लागू होता है (अर्थात \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) सममित है), और इसके नौ स्वतंत्र घटक होते हैं।

ये सममितियाँ Voigt संकेतन में प्रतिबल को छह-घटक सदिश के रूप में व्यक्त करने का आधार हैं। Voigt संकेतन की परंपराओं और पदार्थ मैट्रिक्सों के निर्माण के लिए टेन्सर संकेतन और गणितीय आधार तथा रैखिक प्रत्यास्थता देखें।

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