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आभासी कार्य का सिद्धांत

प्रतिबल और संरक्षण नियम में व्युत्पन्न संतुलन समीकरण और सीमा शर्तों से सातत्य यांत्रिकी की सीमा-मूल्य समस्या का दुर्बल रूप, अर्थात आभासी कार्य का सिद्धांत, निकाला जाता है। परिमित तत्व विधि का विविक्तीकरण इसी दुर्बल रूप से आरंभ होता है। इस अध्याय में वर्तमान विन्यास (Cauchy प्रतिबल और Almansi विकृति के रैखिक भाग द्वारा निरूपण) तथा संदर्भ विन्यास (द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल और Green-Lagrange विकृति द्वारा निरूपण) दोनों दिए जाते हैं, उनकी समतुल्यता दिखाई जाती है और फिर लघु-विरूपण सीमा की पुष्टि की जाती है।

संतुलन समीकरण और सीमा शर्तें

सातत्य पर लगने वाले पिंड बल (प्रति इकाई द्रव्यमान) को \(\boldsymbol{g}\) मानें और वर्तमान विन्यास में क्षेत्र \(\Omega\) घेरने वाले पिंड पर विचार करें। सीमा \(\Gamma\) को उस ज्यामितीय सीमा \(\Gamma_B\) में बाँटा जाता है जहाँ विस्थापन \(\bar{\boldsymbol{u}}\) निर्धारित है, और उस यांत्रिक सीमा \(\Gamma_t\) में जहाँ पृष्ठ बल \(\bar{\boldsymbol{t}}\) निर्धारित है; अतः \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) और \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\)। स्थैतिक समस्या में प्रतिबल और संरक्षण नियम में दिए संवेग संरक्षण नियम का जड़त्व पद हटाकर

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

को संतुलन समीकरण माना जाता है। सीमा शर्तें

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

हैं। आगे आभासी कार्य का सिद्धांत संतुलन समीकरण और यांत्रिक सीमा शर्त \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) के दुर्बल रूप के रूप में व्युत्पन्न किया जाता है। ज्यामितीय सीमा शर्त \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) को परीक्षण फलन के चयन में समाहित किया जाता है।

वर्तमान विन्यास में दुर्बल रूप

दुर्बल रूप में अज्ञात विस्थापन का ग्राह्य स्थान और परीक्षण फलन स्थान क्रमशः

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

लिए जाते हैं। यहाँ \(d\) स्थानिक आयाम है, \(H^1(\Omega)\) वह Sobolev स्थान है जिसमें प्रथम दुर्बल अवकलज तक वर्ग-समाकलनीय हैं, और \(\delta\) परिवर्तन का चिह्न है। वर्तमान विन्यास निरूपण में \(\Omega\) विरूपित विन्यास है; वास्तविक संख्यात्मक विधि में इसे संदर्भ विन्यास या ज्ञात मध्यवर्ती विन्यास में वापस मानचित्रित करके संभाला जाता है।

संतुलन समीकरण को भार \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) से गुणा कर, Gauss अपसरण प्रमेय और यांत्रिक सीमा शर्त लागू करने पर वर्तमान विन्यास में आभासी कार्य का सिद्धांत

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

होता है। यहाँ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi विकृति टेन्सर का रैखिक भाग है और

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

से परिभाषित है। इसका परिवर्तन \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) है। अर्थात \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ऐसा खोजा जाता है कि प्रत्येक \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) के लिए आभासी कार्य समीकरण संतुष्ट हो। बायाँ पक्ष आंतरिक बल का आभासी कार्य और दायाँ पक्ष निर्धारित पृष्ठ बल तथा पिंड बल का बाह्य आभासी कार्य है।

क्योंकि यह समीकरण विरूपण के बाद के वर्तमान क्षेत्र में लिखा गया है, वास्तविक समाधान में प्रारंभिक विन्यास \(\Omega_0\) (संदर्भ विन्यास) या किसी ज्ञात मध्यवर्ती विन्यास को संदर्भ बनाकर इसे वृद्धिशील रूप में पुनर्लिखा जाता है। संदर्भ विन्यास के विशिष्ट चयन (Total Lagrange / Updated Lagrange) और वृद्धिशील विघटन के लिए वृद्धिशील विश्लेषण की रूपरेखा देखें।

प्रारंभिक विन्यास में दुर्बल रूप

संदर्भ विन्यास में क्षेत्र \(\Omega_0\) घेरने वाले पिंड पर विचार करें और उसकी सीमा \(\Gamma_0\) को \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) में विभाजित करें। वर्तमान विन्यास के निरूपण को संदर्भ विन्यास में वापस मानचित्रित करने पर प्रतिबल-विकृति का संयुग्मी युग्म द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) और Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) बनता है। तब प्रारंभिक विन्यास में आभासी कार्य का सिद्धांत

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

है। यहाँ \(\rho_0\) संदर्भ विन्यास का द्रव्यमान घनत्व है और द्रव्यमान संरक्षण नियम \(\rho_0 = J\rho\) के कारण वर्तमान विन्यास के पिंड-बल निरूपण के समतुल्य है।

वर्तमान और प्रारंभिक विन्यास निरूपण की समतुल्यता

दोनों निरूपणों का आंतरिक बल आभासी कार्य, विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) और आयतन अनुपात \(J = \det \boldsymbol{F}\) द्वारा परिवर्तन के माध्यम से समान होता है। अर्थात,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

है। बाह्य बल पद भी द्रव्यमान संरक्षण नियम और पृष्ठ बल के रूपांतरण से समतुल्य होते हैं। इसलिए वर्तमान विन्यास और प्रारंभिक विन्यास के आभासी कार्य समीकरण एक ही सिद्धांत के अलग विन्यासों में निरूपण हैं। संदर्भ विन्यास को आधार बनाने वाली विधि Total Lagrange और वर्तमान विन्यास (पिछला अभिसरित विन्यास) को आधार बनाने वाली विधि Updated Lagrange के अनुरूप है।

लघु-विरूपण सीमा

लघु-विरूपण मान्यताओं \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) और \(J \approx 1\) के अंतर्गत वर्तमान और संदर्भ विन्यास का अंतर समाप्त हो जाता है, द्वितीय PK प्रतिबल Cauchy प्रतिबल के बराबर हो जाता है (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), और Green-Lagrange विकृति तथा Almansi विकृति का रैखिक भाग दोनों लघु विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon}\) में घटते हैं।

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

तब आभासी कार्य का सिद्धांत Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) और लघु विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon}\) का दुर्बल रूप

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

में घटता है। यही लघु-विरूपण, रैखिक-प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण में सीधे विविक्तीकरण के लिए प्रयुक्त दुर्बल रूप है (रैखिक प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण (परिचय/परिशिष्ट) में इसी रूप से तत्व कठोरता \(\boldsymbol{K}^e\) का निर्माण और समग्र समीकरण \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) का संयोजन दिखाया गया है)।

रैखिक प्रत्यास्थ संविधायी नियम \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) प्रतिस्थापित कर और Voigt संकेतन में \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) लिखने पर दुर्बल रूप

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

बनता है।

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