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वृद्धिशील विश्लेषण की रूपरेखा

वृद्धिशील विश्लेषण की आवश्यकता

जैसा ऊपर वर्णित है, लघु-विरूपण समस्याओं के विश्लेषण में संतुलन समीकरण जैसे मूल समीकरणों के समतुल्य आभासी कार्य के सिद्धांत का उपयोग करके और उसे परिमित तत्वों से विविक्त करके परिमित तत्व विश्लेषण किया जा सकता है। संरचनाओं के बड़े विरूपण वाली परिमित-विरूपण समस्याओं के विश्लेषण में भी मूलतः आभासी कार्य का सिद्धांत ही प्रयुक्त होता है।

किन्तु परिमित-विरूपण समस्याओं में, पदार्थ की रैखिकता मान लेने पर भी आभासी कार्य के सिद्धांत का समीकरण विस्थापन के सापेक्ष अरैखिक हो जाता है। अरैखिक समीकरणों को हल करने के लिए सामान्यतः पुनरावृत्त विधि से बार-बार गणना की जाती है।

इन पुनरावृत्त गणनाओं में छोटे भार-वृद्धियों के लिए खंडों में गणना की जाती है और उन वृद्धियों को संचित करते हुए अंतिम विरूपित अवस्था तक पहुँचा जाता है; इसे वृद्धिशील विश्लेषण विधि कहा जाता है। लघु-विरूपण समस्या मानने पर, विकृति और प्रतिबल परिभाषित करने वाले विन्यास में विरूपण से पहले और बाद की अवस्थाओं के बीच विशेष भेद नहीं किया जाता था। अर्थात् लघु-विरूपण मान्यता में मूल समीकरणों को लिखने वाला विन्यास विरूपण से पहले हो या बाद का, इससे समस्या नहीं होती।

परिमित-विरूपण समस्या में वृद्धिशील विश्लेषण करते समय सूत्रीकरण इस बात पर निर्भर करता है कि संदर्भ विन्यास के रूप में प्रारंभिक विन्यास लिया गया है या वृद्धि के आरंभ का विन्यास। पहले को Total Lagrange विधि और दूसरे को Updated Lagrange विधि कहा जाता है। विवरण के लिए अध्याय के अंत के संदर्भ आदि देखें।

प्रारंभिक समीकरण: समय \(t'\) पर आभासी कार्य का सिद्धांत

ऐसा वृद्धिशील विश्लेषण मानें जिसमें समय \(t\) तक की अवस्था ज्ञात है और समय \(t' = t + \Delta t\) की अवस्था अज्ञात है (चित्र 2.2.1 देखें)। समय \(t'\) पर संतुलन समीकरण, सीमा शर्तें और आभासी कार्य का सिद्धांत (वर्तमान विन्यास में, कॉशी प्रतिबल \(^{t'}\sigma\) और अल्मांसी विकृति के रैखिक भाग \(^{t'} A_{(L)}\) के साथ) आभासी कार्य का सिद्धांत में दिए गए हैं।

वृद्धिशील विश्लेषण की अवधारणा

चित्र 2.2.1 वृद्धिशील विश्लेषण की अवधारणा

किन्तु यह प्रारंभिक समीकरण समय \(t'\) के (अज्ञात) विन्यास में लिखा गया है, इसलिए वास्तविक समाधान में समय \(0\) का प्रारंभिक विन्यास \(V\) या समय \(t\) का वर्तमान विन्यास \(^{t'} v\) संदर्भ विन्यास के रूप में पुनः चुना जाता है, समीकरण को वृद्धिशील रूप में लिखा जाता है और फिर हल किया जाता है:

  • Total Lagrange विधि — प्रारंभिक विन्यास \(V\) को संदर्भ मानती है। द्वितीय PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) और ग्रीन-लैग्रांज विकृति \(\boldsymbol{E}\) का उपयोग करती है।
  • Updated Lagrange विधि — वृद्धि आरंभ होने के समय का वर्तमान विन्यास \(^{t}v\) संदर्भ मानती है। कॉशी प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) और अल्मांसी विकृति के रैखिक भाग \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) का उपयोग करती है।

दोनों के स्थानिक विविक्तीकरण (B मैट्रिक्स और आंतरिक बल सदिश) के लिए आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण, तथा रैखिकीकरण और स्पर्शरेखीय कठोरता के निर्माण के लिए स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स देखें।

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