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ऊष्मा चालन समीकरण

इस अध्याय में FrontISTR द्वारा संबोधित ऊष्मा चालन के शासक समीकरणों (सातत्य स्तर) और सीमा शर्तों को व्यवस्थित किया गया है। समय विविक्तीकरण और FEM विविक्तीकरण को विविक्तीकरण (L3d) तथा समाधान एल्गोरिदम (L3e: solution_methods/05_transient_heat) में संबोधित किया गया है।

शासक समीकरण

सातत्य माध्यम में ऊष्मा चालन समीकरण निम्न प्रकार है।

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

यहाँ, \(\rho=\rho(x)\) द्रव्यमान (घनत्व), \(c=c(x,T)\) विशिष्ट ऊष्मा, \(T=T(x,t)\) तापमान, \(k=k(x,T)\) ऊष्मा चालकता, \(Q=Q(x,T,t)\) ऊष्मा-उत्पादन मात्रा, \(x\) स्थान और \(t\) समय को दर्शाते हैं। \(k_x, k_y, k_z\) अनैसोट्रॉपिक ऊष्मा चालन में प्रत्येक दिशा की ऊष्मा चालकता हैं।

विशिष्ट तापीय भौतिक गुणों (तापमान निर्भरता और अनैसोट्रॉपी) के लिए ऊष्मीय गुण देखें।

सीमा शर्तें

विचारित क्षेत्र को \(S\) और उसकी सीमा को \(\Gamma\) मानें। यदि यह माना जाए कि \(\Gamma\) पर प्रत्येक स्थान पर Dirichlet प्रकार या Neumann प्रकार की किसी एक सीमा शर्त दी गई है, तो सीमा शर्तें निम्न प्रकार होंगी।

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

यहाँ \(T_1\) और \(q\) के फलन रूप ज्ञात माने जाते हैं। \(q\) सीमा से बाहर जाने वाला ऊष्मा फ्लक्स है। सीमा से ऊष्मा फ्लक्स \(q\) निम्न तीन प्रकार के घटकों से बनता है।

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

यहाँ \(q_s\) वितरित ऊष्मा फ्लक्स, \(q_c\) संवहन ऊष्मा स्थानांतरण से उत्पन्न ऊष्मा फ्लक्स और \(q_r\) विकिरण ऊष्मा स्थानांतरण से उत्पन्न ऊष्मा फ्लक्स है।

साथ ही, \(Tc=Tc(x,t)\) संवहन ऊष्मा स्थानांतरण का परिवेश तापमान, \(hc=hc(x,t)\) संवहन ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक, \(Tr=Tr(x,t)\) विकिरण ऊष्मा स्थानांतरण का परिवेश तापमान, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) विकिरण ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक, \(\varepsilon\) उत्सर्जकता, \(\sigma\) Stefan-Boltzmann स्थिरांक और \(F\) आकार गुणांक है।

इनपुट फ़ाइल में निर्दिष्ट करने की विधि के लिए कार्यात्मक संदर्भ सीमा शर्तें और भार देखें।

दुर्बल रूप

संरचनात्मक विश्लेषण के साथ युग्मित सीमा

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