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टेन्सर संकेतन और गणितीय आधार

इस अध्याय में FrontISTR सिद्धांत मैनुअल के आगे के अध्यायों में प्रयुक्त टेन्सर संकेतन, सूचकांक संकेतन और Voigt संकेतन के नियम एकत्र किए गए हैं। यहाँ केवल वे शुद्ध संकेतन नियम दिए गए हैं जो भौतिक राशियों की परिभाषा पर निर्भर नहीं करते। सातत्य गति के साथ विन्यास (संदर्भ विन्यास/वर्तमान विन्यास) पर निर्भर संकेतन नियम—जैसे बड़े और छोटे अक्षरों का भेद तथा पदार्थीय और स्थानिक अवकलन का भेद—गति, विरूपण और विकृति में दिए गए हैं, जहाँ विन्यास की अवधारणा प्रस्तुत की जाती है।

टेन्सर संकेतन

मोटे अक्षरों से सदिश और टेन्सर का संकेतन

टाइपफेस के सिद्धांत के रूप में, अदिश राशियाँ तथा सदिश/टेन्सर के घटक सामान्य अक्षरों (\(\rho\), \(x_i\) आदि) में और स्वयं सदिश/टेन्सर राशियाँ मोटे अक्षरों (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) आदि) में लिखी जाती हैं।

Einstein संकुचन नियम

जब तक अन्यथा न कहा जाए, यदि एक ही पद में कोई सूचकांक दो बार आता है, तो उस सूचकांक पर योग लेने वाला Einstein योग नियम लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

और टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) तथा \(\boldsymbol{B}\) के गुणनफल \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) का \(i,j\) घटक

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

होता है। सूचकांक नियम में, जब \(i, j, k, l, \ldots\) बिना किसी विशेष टिप्पणी के सूचकांक के रूप में प्रयुक्त हों, तो वे स्वतंत्रता-कोटि से संबंधित सूचकांक (3 आयामों में \(1, 2, 3\)) दर्शाते हैं। जब यूनानी छोटे अक्षर \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) सूचकांक के रूप में प्रयुक्त हों, तो वे तत्व के संघटक नोडों से संबंधित सूचकांक दर्शाते हैं।

आंतरिक गुणन, ट्रांसपोज़ और टेन्सर गुणन

टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) के ट्रांसपोज़ को \(\boldsymbol{A}^T\) लिखा जाता है। द्वितीय-क्रम टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) और \(\boldsymbol{B}\) का आंतरिक गुणन (द्वि-संकुचन)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

लिखा जाता है। सदिश \(\boldsymbol{a}\) और \(\boldsymbol{b}\) का आंतरिक गुणन \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) है, और टेन्सर गुणन \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) है।

Voigt संकेतन

प्रतिबल और विकृति स्वतंत्रता-कोटि से संबंधित सममित द्वितीय-क्रम टेन्सर हैं, और उनके बीच रैखिक संबंध को दर्शाने वाला गुणांक चतुर्थ-क्रम टेन्सर होता है। इसे सीधे प्रोग्राम में संभालना गणना मात्रा और कोडिंग (बहुआयामी सरणी तथा गहरे बहु-लूप) की दृष्टि से प्रतिकूल है। इसलिए सामान्य परिमित तत्व प्रोग्रामों में सममिति का उपयोग करते हुए प्रतिबल और विकृति को स्तंभ सदिशों में और चतुर्थ-क्रम प्रत्यास्थता टेन्सर को द्वि-आयामी मैट्रिक्स में संपीड़ित किया जाता है। इसे Voigt संकेतन कहते हैं।

आगे, टेन्सर राशि \(\boldsymbol{A}\) के मैट्रिक्स/सदिश निरूपण को \(\hat{A}\) से दर्शाकर मूल टेन्सर से अलग किया जाता है।

प्रतिबल और विकृति का सदिश निरूपण

सममित प्रतिबल टेन्सर \(\boldsymbol{\sigma}\) तथा विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{\varepsilon}\) के लिए, द्वि-आयामी स्थिति में

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

और त्रि-आयामी स्थिति में

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

के रूप में स्तंभ सदिशों के रूप में संभाला जाता है। परिवर्तन या अवकलन जैसी व्युत्पन्न राशियों पर भी यही नियम लागू होता है। ध्यान दें कि विकृति के अपरूपण घटकों पर गुणक 2 लगता है, जबकि प्रतिबल के घटकों पर नहीं। इस असममिति के कारण टेन्सर आंतरिक गुणन को सदिश आंतरिक गुणन के रूप में सरलता से

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

लिखा जा सकता है। कार्यान्वयन में अपरूपण विकृति के गुणक 2 को गलत लागू करना आसान है, इसलिए हमेशा “प्रतिबल में नहीं/विकृति में है” नियम का ध्यान रखना आवश्यक है। संदर्भ विन्यास की राशियों (द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) और Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\)) पर भी ठीक यही Voigt नियम लागू होता है।

चतुर्थ-क्रम टेन्सर का मैट्रिक्स निरूपण

प्रतिबल और विकृति के रैखिक संबंध \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (घटक रूप में \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) के लिए, \(\boldsymbol{\varepsilon}\) की सममिति का उपयोग करने पर इसे

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

लिखा जा सकता है। त्रि-आयामी स्थिति में \(\tilde{C}\) को 6×6 सामग्री मैट्रिक्स \(\hat{\tilde{C}}\) के रूप में व्यवस्थित करने पर मूल टेन्सर संबंध

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

होता है। आगे इस मैनुअल में, जब तक अन्यथा न कहा जाए, सामग्री मैट्रिक्स को \(D\) (या \(\hat{C}\)) से दर्शाया जाता है। समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थता के विशिष्ट घटकों के लिए रैखिक प्रत्यास्थता देखें।

अवकलन संचालकों के नियम

सममित प्रवणता संचालक

सदिश क्षेत्र \(\boldsymbol{u}\) के लिए सममित प्रवणता संचालक \(\nabla_S\) को

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

से परिभाषित किया जाता है। घटक रूप में \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) है। लघु-विरूपण विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) को इस संचालक से संक्षेप में लिखा जा सकता है। सीमित विरूपण में प्रवणता किस विन्यास (संदर्भ/वर्तमान) में ली जाती है, इसका भेद गति, विरूपण और विकृति में संबोधित है।

पदार्थीय समय अवकलज

किसी राशि \(A\) के पदार्थीय समय अवकलज (उसी पदार्थ बिंदु का अनुसरण करते हुए समय अवकलन) को ऊपर बिंदु लगाकर \(\dot{A}\) लिखा जाता है:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

वेग और त्वरण भी इसी नियम का अनुसरण करते हैं।

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