भौतिक राशियों के प्रतीकों की सूची
यह पृष्ठ FrontISTR सिद्धांत मैनुअल में प्रयुक्त भौतिक राशियों के प्रतीकों की सूची देता है। संकेतन नियमों (सदिशों और टेन्सरों के लिए मोटा अक्षर, Einstein संकलन परिपाटी और Voigt संकेतन) के लिए टेन्सर संकेतन और गणितीय आधार देखें।
विन्यास और निर्देशांक तंत्र
| प्रतीक | विवरण |
| \(\boldsymbol{X}\) | संदर्भ (प्रारंभिक) विन्यास में पदार्थ बिंदु का स्थिति सदिश (पदार्थ निर्देशांक) |
| \(\boldsymbol{x}\) | वर्तमान विन्यास में पदार्थ बिंदु का स्थिति सदिश (स्थानिक निर्देशांक) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | गति मानचित्रण: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | संदर्भ विन्यास में पिंड द्वारा घेरा गया क्षेत्र |
| \(\Omega\) | वर्तमान विन्यास में पिंड द्वारा घेरा गया क्षेत्र |
| \(\Gamma_0\) | \(\Omega_0\) की सीमा |
| \(\Gamma\) | \(\Omega\) की सीमा |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | ज्यामितीय (विस्थापन) सीमा: वर्तमान/संदर्भ विन्यास की वह सीमा जहाँ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) निर्धारित है |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | यांत्रिक सीमा: वर्तमान/संदर्भ विन्यास की वह सीमा जहाँ \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (या \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) निर्धारित है |
| \(\boldsymbol{n}\) | वर्तमान विन्यास में किसी पृष्ठ का बाहर की ओर इकाई अभिलंब सदिश |
| \(\boldsymbol{N}\) | संदर्भ विन्यास में किसी पृष्ठ का बाहर की ओर इकाई अभिलंब सदिश |
| \(t\) | समय |
परिपाटी: संदर्भ विन्यास की भौतिक राशियों को बड़े अक्षरों या उपलिपि \(0\) से, और वर्तमान विन्यास की राशियों को छोटे अक्षरों से दर्शाया जाता है।
समय और वृद्धि (वृद्धिशील विश्लेषण)
| प्रतीक | विवरण |
| \(\Delta t\) | समय वृद्धि: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | समय \(t\) पर भौतिक राशि (बाएँ अधिलिपि)। उदाहरण: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) समय \(t\) पर Cauchy प्रतिबल है |
| \(^{t}\Omega\) | समय \(t\) पर वर्तमान विन्यास का क्षेत्र |
| \(^{t}\Gamma\) | समय \(t\) पर वर्तमान विन्यास की सीमा |
परिपाटी: वृद्धिशील विश्लेषण में समय \(t\) तक की अवस्था को ज्ञात माना जाता है और समय \(t + \Delta t\) की अवस्था को अज्ञात मानकर हल किया जाता है। जब समय को स्पष्ट रूप से दिखाना आवश्यक न हो, तब बाएँ अधिलिपि को छोड़ दिया जाता है। संदर्भ के रूप में आधार विन्यास \(\Omega_0\) का उपयोग करने वाली सूत्रीकरण विधि को Total Lagrange विधि और वृद्धि के आरंभ की वर्तमान विन्यास \(^{t}\Omega\) का उपयोग करने वाली विधि को Updated Lagrange विधि कहा जाता है।
विस्थापन, वेग, त्वरण और पिंड बल
| प्रतीक | विवरण |
| \(\boldsymbol{u}\) | विस्थापन सदिश: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | ज्यामितीय सीमा \(\Gamma_B\) पर निर्दिष्ट विस्थापन |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | आभासी विस्थापन (परीक्षण फलन): \(\Gamma_B\) पर \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | वेग सदिश: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | त्वरण सदिश: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | पिंड बल (प्रति इकाई द्रव्यमान) |
| \(\boldsymbol{t}\) | पृष्ठ बल सदिश (प्रति इकाई क्षेत्रफल): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | यांत्रिक सीमा \(\Gamma_t\) पर निर्धारित पृष्ठ बल (Neumann डेटा) |
अवकलन संकारक
| प्रतीक | विवरण |
| \(\dot{(\cdot)}\) | पदार्थ समय अवकलज (उसी पदार्थ बिंदु का अनुसरण करते हुए समय अवकलज): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | संदर्भ-विन्यास प्रवणता (पदार्थ निर्देशांक \(\boldsymbol{X}\) के सापेक्ष प्रवणता): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | वर्तमान-विन्यास प्रवणता (स्थानिक निर्देशांक \(\boldsymbol{x}\) के सापेक्ष प्रवणता): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | सममित प्रवणता संकारक: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
टिप्पणी: \(\nabla_X\) और \(\nabla_x\) का संबंध \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) से है। बिना उपलिपि वाली \(\nabla\) का उपयोग तब किया जाता है जब विन्यास संदर्भ से स्पष्ट हो, या जब लघु-विरूपण समस्याओं की तरह यह भेद समाप्त हो जाता है।
विरूपण टेन्सर
| प्रतीक | विवरण |
| \(\boldsymbol{F}\) | विरूपण प्रवणता टेन्सर: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | आयतन अनुपात: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | दायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | बायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | वेग प्रवणता टेन्सर: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | विरूपण-दर टेन्सर (\(\boldsymbol{L}\) का सममित भाग): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | स्पिन टेन्सर (\(\boldsymbol{L}\) का विषम-सममित भाग): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
विकृति टेन्सर
| प्रतीक | विवरण |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange विकृति टेन्सर (संदर्भ विन्यास): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi विकृति टेन्सर (वर्तमान विन्यास): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Almansi विकृति टेन्सर का रैखिक भाग (वर्तमान विन्यास में सममित विस्थापन प्रवणता): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | सूक्ष्म विकृति टेन्सर (रैखिक सन्निकटन): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
टिप्पणी: \(\boldsymbol{E}\) का उपयोग मुख्यतः Total Lagrange विधि में और \(\boldsymbol{D}\) का उपयोग मुख्यतः Updated Lagrange विधि में किया जाता है।
प्रतिबल टेन्सर
| प्रतीक | विवरण |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy प्रतिबल टेन्सर (वास्तविक प्रतिबल, वर्तमान विन्यास): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | प्रथम Piola-Kirchhoff प्रतिबल टेन्सर (नाममात्र प्रतिबल): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल टेन्सर (संदर्भ विन्यास, सममित): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
प्रतिबल टेन्सरों के बीच रूपांतरण संबंध:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
परिपाटी: Total Lagrange विधि \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) युग्म का उपयोग करती है, जबकि Updated Lagrange विधि \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) युग्म का उपयोग करती है।
घनत्व और द्रव्यमान
| प्रतीक | विवरण |
| \(\rho\) | वर्तमान विन्यास में द्रव्यमान घनत्व |
| \(\rho_0\) | संदर्भ विन्यास में द्रव्यमान घनत्व |
द्रव्यमान संरक्षण: \(\rho_0 = J\rho\)।
पदार्थ नियतांक (रैखिक प्रत्यास्थता)
| प्रतीक | विवरण |
| \(E\) | यंग मापांक |
| \(\nu\) | पॉइसन अनुपात |
| \(\lambda\) | प्रथम Lamé नियतांक: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | द्वितीय Lamé नियतांक (अपरूपण गुणांक): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | प्रत्यास्थता टेन्सर (चतुर्थ कोटि): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), घटक \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (या \(\hat{\tilde{C}}\)) | पदार्थ मैट्रिक्स (Voigt संकेतन, 3D में \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ के प्रत्यास्थता टेन्सर के घटक:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
अतिप्रत्यास्थ पदार्थ
| प्रतीक | विवरण |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | प्रत्यास्थ विभव फलन (विकृति-ऊर्जा घनत्व फलन) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | दाएँ Cauchy-Green टेन्सर \(\boldsymbol{C}\) के मुख्य अपरिवर्तक |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | \(\boldsymbol{C}\) के अपचयित अपरिवर्तक (आयतन परिवर्तन पृथक किया गया) |
| \(C_1, C_2\) | Mooney-Rivlin मॉडल के पदार्थ नियतांक |
| \(D\) | आयतनी प्रत्यास्थता से संबंधित पदार्थ नियतांक |
प्रत्यास्थ-प्लास्टिक पदार्थ
| प्रतीक | विवरण |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | विरूपण-दर टेन्सर का प्रत्यास्थ घटक |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | विरूपण-दर टेन्सर का प्लास्टिक घटक |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | पराभव फलन |
| \(\kappa\) | प्लास्टिक अवस्था को दर्शाने वाला आंतरिक चर (समदैशिक कठोरीकरण चर) |
| \(\lambda^p\) | प्लास्टिक गुणक (प्लास्टिक विकृति-दर गुणक): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | प्लास्टिक विभव (सहचारी प्रवाह नियम के लिए \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | समतुल्य प्रतिबल (उदा., von Mises प्रतिबल) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | समतुल्य प्लास्टिक विकृति |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | समदैशिक कठोरीकरण फलन |
पूरकता शर्त: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\)।
परिमित तत्व विधि
| प्रतीक | विवरण |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | परिमित तत्व विविक्तीकरण द्वारा सन्निकट वर्तमान और संदर्भ विन्यास के क्षेत्र: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | वर्तमान और संदर्भ विन्यास में तत्व का क्षेत्र |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | तत्व सीमा का वह भाग जो यांत्रिक सीमा से संबंधित है |
| \(\boldsymbol{r}\) | प्राकृतिक निर्देशांक (तत्व के स्थानीय निर्देशांक) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | नोड \(\alpha\) से संबंधित प्राकृतिक निर्देशांक का बिंदु |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | तत्व \(e\) के नोड \(\alpha\) से संबंधित आकार फलन |
| \(n_e\) | किसी तत्व को बनाने वाले नोडों की संख्या |
| \(n_g\) | वैश्विक नोडों की कुल संख्या |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | तत्व नोड \(\alpha\) के निर्देशांक और विस्थापन |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | तत्व नोड निर्देशांक और विस्थापन सदिश: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) आदि |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | वैश्विक नोड निर्देशांक और विस्थापन सदिश (नोड संख्या, फिर स्वतंत्रता कोटि के क्रम में) |
| \(\boldsymbol{B}\) | विकृति-विस्थापन संबंध मैट्रिक्स (B-मैट्रिक्स) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | आकार फलन मैट्रिक्स: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) एक \(d \times d\) ब्लॉक है जिसके विकर्ण पर नोड \(\alpha\) का आकार फलन \(N_\alpha^e\) होता है, और \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)। \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | तत्व कठोरता मैट्रिक्स |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | तत्व कठोरता मैट्रिक्स के समाकलनीय पद (संदर्भ और वर्तमान विन्यास में व्यक्त): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL विधि), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL विधि) | तत्व आंतरिक बल सदिश |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | तत्व नोड \(\alpha\) पर कार्य करने वाला नोडीय बाह्य बल और तत्व नोडीय बाह्य-बल सदिश: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | वैश्विक आंतरिक-बल सदिश और वैश्विक बाह्य-बल सदिश: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); \(\boldsymbol{F}\) के लिए भी इसी प्रकार |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | वैश्विक नोड \(i_g\) पर नोडीय आंतरिक बल और नोडीय बाह्य बल (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) के नोड ब्लॉक) |
| \(\boldsymbol{K}\) | वैश्विक स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\)। \(3\times 3\) ब्लॉक \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) को पंक्ति \(i_g\), स्तंभ \(i_h\) पर रखकर बना मैट्रिक्स |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Newton-Raphson पुनरावृत्ति में अवशेष सदिश: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Newton-Raphson पुनरावृत्ति में संशोधन (\(i\)वीं पुनरावृत्ति पर रैखिक समीकरण \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) हल करके प्राप्त) |
| \(i_g\) | वैश्विक नोड संख्या (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | तत्व \(e\) की स्थानीय नोड संख्या \(\alpha\) से संबंधित वैश्विक नोड संख्या: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | वैश्विक नोड संख्या \(i_g\) से संबंधित \((e, \alpha)\) युग्मों का समुच्चय: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\)। संयोजन क्रियाओं में प्रयुक्त |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | वैश्विक नोड संख्या-युग्म \((i_g, i_h)\) से संबंधित \((e, \alpha, \beta)\) त्रिकों का समुच्चय; कठोरता मैट्रिक्स संयोजन में प्रयुक्त |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | किसी तत्व के घटक नोडों के लिए सूचकांक |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | स्वतंत्रता कोटियों के लिए सूचकांक (3D में \(1, 2, 3\)) |
उन्नत तत्व और संरचनात्मक तत्व
| प्रतीक | विवरण |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | B-bar विधि में आयतनी भाग संशोधित विकृति-विस्थापन संबंध मैट्रिक्स (आयतनी घटक को तत्व केंद्र पर मूल्यांकित B-मैट्रिक्स से प्रतिस्थापित किया जाता है) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | F-bar विधि में आयतनी भाग संशोधित विरूपण प्रवणता: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | तत्व केंद्र \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) पर मूल्यांकित विरूपण प्रवणता का आयतन अनुपात: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | असंगत-मोड तत्व का आंतरिक स्वतंत्रता-कोटि सदिश (अतिरिक्त विस्थापन मोडों के गुणांक जो तत्व सीमा पर निरंतरता सुनिश्चित नहीं करते) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | असंगत मोडों के आकार फलन: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | शेल तत्व की मोटाई |
| \(A\) | बीम तत्व के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल |
| \(I\) | बीम तत्व के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण |
| \(G\) | अपरूपण गुणांक: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
संबंधित विषय