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Newton-Raphson विधि

रैखिकीकरण और पुनरावृत्ति पुनरावर्तन

बाह्य बलों का आभासी कार्य और वैश्विक समीकरणों की असेंबली समय \(t_{n+1}\) पर नोडीय विस्थापन \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) के लिए एक अरैखिक समीकरण देता है, जिसे Newton-Raphson विधि से हल किया जाता है। समय \(t_n\) तक का नोडीय विस्थापन \(\boldsymbol{u}_n\) ज्ञात माना जाता है, और निर्धारित किए जाने वाले अज्ञात चर के रूप में विस्थापन वृद्धि \(\Delta\boldsymbol{u}\) ली जाती है

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

आगे बाह्य-बल सदिश की नोडीय विस्थापन पर निर्भरता की उपेक्षा की जाती है, और \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) रखते हुए,

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

को हल किया जाता है।

वर्तमान समाधान \(\Delta\boldsymbol{u}\) पर स्पर्शरेखीय कठोरता को परिभाषित करें

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

इसका उपयोग करने पर अरैखिक समीकरण के रैखिकीकरण से प्राप्त होता है

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

\(i\)-वीं पुनरावृत्ति में संशोधन को \(d\boldsymbol{u}_i\) और पुनरावृत्ति के आरंभ में अवशेष सदिश को निम्न मानें

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

तब पुनरावृत्ति पुनरावर्तन है

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

इस प्रकार अवशेष \(\boldsymbol{R}_i\) संतुलन से बल-असंतुलन के अनुरूप राशि है।

स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स का निर्माण

स्पर्शरेखीय कठोरता \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) का निर्माण आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण में प्राप्त तत्व आंतरिक-बल सदिश का नोडीय विस्थापन के सापेक्ष आंशिक अवकलन करके, परिणामी तत्व-स्तरीय समाकलकों को प्रत्येक तत्व डोमेन पर समाकलित करके और उन्हें असेंबल करके किया जाता है। तत्व-स्तरीय समाकलक को \(\boldsymbol{K}^e_X\) (संदर्भ-विन्यास संकेत, TL सूत्रीकरण) या \(\boldsymbol{K}^e_x\) (वर्तमान-विन्यास संकेत, UL सूत्रीकरण) से निरूपित करने पर तत्व स्पर्शरेखीय कठोरता है

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

नीचे TL/UL समाकलकों के अंतिम रूप दिए गए हैं। दोनों स्थितियों में उन्हें सामग्री कठोरता पद (प्रारंभिक-विस्थापन पद) और ज्यामितीय कठोरता पद (प्रारंभिक-प्रतिबल पद) के योग में विघटित किया जाता है।

Total Lagrange सूत्रीकरण

Total Lagrange सूत्रीकरण में द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल की दर \(\dot{\boldsymbol{S}}\) और Green-Lagrange विकृति दर \(\dot{\boldsymbol{E}}\) के बीच रैखिक संबंध, अर्थात \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\), माना जाता है। यह रैखिक प्रत्यास्थ सामग्री (St. Venant-Kirchhoff सामग्री) और अतिप्रत्यास्थ सामग्री के संविधायी नियमों के अनुरूप है, और FrontISTR इन सामग्रियों के लिए Total Lagrange सूत्रीकरण का उपयोग करता है। तब तत्व स्पर्शरेखीय-कठोरता समाकलक को टेन्सर रूप में इस प्रकार लिखा जाता है

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

दाएँ पक्ष का पहला पद सामग्री कठोरता पद (प्रारंभिक-विस्थापन पद) और दूसरा पद ज्यामितीय कठोरता पद (प्रारंभिक-प्रतिबल पद) है।

FrontISTR कार्यान्वयन में इस समाकलक का मूल्यांकन Voigt संकेत का उपयोग करके मैट्रिक्स रूप में किया जाता है:

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

प्रत्येक मैट्रिक्स निम्न है। \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) वे B मैट्रिक्स हैं जिन्हें आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण में प्रस्तुत किया गया है, और \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) संविधायी टेन्सर \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) का Voigt निरूपण, अर्थात \(6\times 6\) सामग्री कठोरता मैट्रिक्स है (टेन्सर संकेतन और गणितीय आधार)। \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) निम्न पुनर्व्यवस्था मैट्रिक्स हैं जिनसे ज्यामितीय कठोरता पद को मैट्रिक्स गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है। पहले \(3\times 3\) द्वितीय-क्रम टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) के लिए उसे 9-घटक सदिश में पुनर्व्यवस्थित करने वाला संकेत \([\,\cdot\,]\) इस प्रकार परिभाषित करें

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

इस परिभाषा के साथ \(\boldsymbol{F}_9\) विरूपण प्रवणता के परिवर्तन को \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) रूप में व्यक्त करता है और यह \(9\times d n_e\) मैट्रिक्स है। तत्व नोड \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) के लिए संबंधित \(9\times d\) ब्लॉक है

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ } 3\times 3 \text{ इकाई मैट्रिक्स है}) \]

और \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) से दिया जाता है, जिसमें ब्लॉक तत्व-नोड क्रम में क्षैतिज रूप से व्यवस्थित हैं। \(\boldsymbol{S}_9\) को इस प्रकार चुना जाता है कि इस मैट्रिक्स के साथ संयोजन पर ज्यामितीय कठोरता पद \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) के रूप में व्यक्त हो; यह निम्न \(9\times 9\) मैट्रिक्स है

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

यह परिणामी मैट्रिक्स है।

Updated Lagrange सूत्रीकरण

Updated Lagrange सूत्रीकरण में सापेक्ष Kirchhoff प्रतिबल टेन्सर की Jaumann दर \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) और विरूपण-दर टेन्सर \(\boldsymbol{D}\) के बीच रैखिक संबंध, अर्थात \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\), माना जाता है। यह रैखिक प्रत्यास्थ, प्रत्यास्थ-प्लास्टिक और क्रीप सामग्री में सामान्य हाइपोइलास्टिक संविधायी नियम का रूप है, और FrontISTR इन सामग्रियों के लिए Updated Lagrange सूत्रीकरण का उपयोग करता है। तब वर्तमान विन्यास में व्यक्त तत्व स्पर्शरेखीय-कठोरता समाकलक को टेन्सर रूप में इस प्रकार लिखा जाता है

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

जहाँ \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell दर है, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi विकृति का रैखिक भाग है, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) वर्तमान विन्यास के सापेक्ष विस्थापन प्रवणता है, और \(\boldsymbol{L}\) वेग-प्रवणता टेन्सर है। दाएँ पक्ष का पहला पद सामग्री कठोरता पद और दूसरा पद ज्यामितीय कठोरता पद है।

FrontISTR कार्यान्वयन में इस समाकलक का मूल्यांकन Voigt संकेत का उपयोग करके मैट्रिक्स रूप में किया जाता है:

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

यहाँ \(\boldsymbol{b}\) वर्तमान विन्यास में निर्मित B मैट्रिक्स है (आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण)। \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) TL सूत्रीकरण के लिए परिभाषित \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) से प्राप्त होते हैं, जिसमें द्वितीय PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) को Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) से और संदर्भ-विन्यास प्रवणता \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) को वर्तमान-विन्यास प्रवणता \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) से प्रतिस्थापित किया जाता है।

\(\boldsymbol{G}\) Cauchy-प्रतिबल-निर्भर संशोधन मैट्रिक्स है, जो हाइपोइलास्टिक संविधायी नियम \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) को Truesdell-दर-आधारित संविधायी नियम के रूप में स्पर्शरेखीय-कठोरता ढाँचे के अनुरूप बनाने के लिए आवश्यक है। यह चतुर्थ-क्रम टेन्सर घटकों \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) को \(6\times 6\) Voigt रूप में व्यवस्थित करके प्राप्त होता है

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

यह परिणामी मैट्रिक्स है।

वैश्विक कठोरता मैट्रिक्स का असेंबली

वैश्विक स्पर्शरेखीय कठोरता \(\boldsymbol{K}\) प्रत्येक तत्व कठोरता \(\boldsymbol{K}^e\) को प्रत्येक नोड युग्म के लिए \(d\times d\) ब्लॉक \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) में विभाजित करके और तत्व-नोडीय भौतिक राशियों का असेंबली में प्रस्तुत द्वितीय-क्रम-टेन्सर असेंबली सेट \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) का उपयोग करके प्राप्त होती है:

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

परिणामी मानों को पंक्ति \(i_g\) और स्तंभ \(i_h\) वाली मैट्रिक्स के रूप में व्यवस्थित किया जाता है। कार्यान्वयन में सेट \(\mathcal{E}^2\) स्पष्ट रूप से निर्मित नहीं किया जाता; इसके बजाय संबंधित ब्लॉक तत्व लूप के भीतर सीधे जोड़े जाते हैं। मैट्रिक्स वर्गाकार है और उसका आयाम प्रति नोड स्वतंत्रता-कोटियों की संख्या \(\times\) कुल नोड संख्या \(n_g\) के बराबर है, किंतु तत्वों के माध्यम से जुड़े नोडों के बीच वाले घटकों के अतिरिक्त अन्य घटक \(0\) होने से इसे विरल-मैट्रिक्स रूप में संग्रहीत किया जाता है।

TL और UL सूत्रीकरणों के तत्व कठोरता मैट्रिक्स का रूप समान है; अंतर केवल संदर्भ विन्यास (नोडीय निर्देशांक और B मैट्रिक्स के निर्माण में प्रयुक्त स्रोत) बदलने और \(\boldsymbol{G}\) मैट्रिक्स की उपस्थिति या अनुपस्थिति का है। इसलिए FrontISTR दोनों सूत्रीकरणों को एक सामान्य उपकार्यक्रम में कार्यान्वित करता है।

पुनरावृत्ति एल्गोरिदम

उपरोक्त का सार लेते हुए, पुनरावृत्ति के आरंभ में \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) रखें और प्रारंभिक अवशेष \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) की गणना करें। फिर \(i\)-वीं पुनरावृत्ति में निम्न प्रक्रिया करें।

  1. वर्तमान विस्थापन \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) पर स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स का निर्माण की प्रक्रिया से स्पर्शरेखीय कठोरता \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) की गणना करें।
  2. ज्यामितीय सीमा शर्तें लागू करने के लिए विस्थापन बाधाओं के अधीन स्वतंत्रता-कोटियों हेतु स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स और अवशेष सदिश को संशोधित करें, जिससे \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) प्राप्त हों (ज्यामितीय सीमा शर्तों का प्रसंस्करण)।
  3. संशोधन \(d\boldsymbol{u}_i\) प्राप्त करने के लिए रैखिक समीकरण \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) हल करें। यह प्रक्रिया प्रायः पुनरावृत्त गणना की अधिकांश संगणन लागत लेती है।
  4. विस्थापन वृद्धि को \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) के रूप में अद्यतन करें और उसके अनुसार आंतरिक-बल सदिश \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) तथा अवशेष \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) की गणना करें।
  5. अभिसरण जाँचें और अभिसरण प्राप्त होने पर पुनरावृत्ति समाप्त करें। ज्यामितीय सीमा शर्तों के अधीन स्वतंत्रता-कोटियों पर अवशेष \(\boldsymbol{R}_i\) में बाधित प्रतिक्रिया से संबंधित घटक आते हैं, इसलिए इन घटकों को हटाकर \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) से अभिसरण संकेतक बनाया जाता है। विशिष्ट अभिसरण संकेतक और सीमाएँ अभिसरण मानदंड में वर्णित हैं। अभिसरण न मिलने और पुनरावृत्ति सीमा पहुँचने पर पुनरावृत्ति को विफल माना जाता है।

पुनरावृत्ति अभिसरित होने पर अभिसरित \(\Delta\boldsymbol{u}\) को \(\boldsymbol{u}_n\) में जोड़कर समय \(t_{n+1}\) पर संचयी विस्थापन \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) प्राप्त करें और अगले समय चरण पर जाएँ।

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