गतिशील विश्लेषण विधियाँ¶

यह अनुभाग प्रत्यक्ष समय समाकलन का उपयोग करने वाली गतिक समस्याओं की विश्लेषण विधियों का वर्णन करता है। अंतर्निहित और स्पष्ट विधियों के सूत्रीकरण नीचे दिए गए हैं।

गति समीकरण का विविक्तीकरण (सामान्य ढाँचा)¶

अभी निर्धारित नहीं है (अगले चरण में पूरा पाठ लिखा जाएगा)।

अंतर्निहित विधि (Newmark-β विधि)¶

गतिक समस्याओं के लिए नीचे दिए गए गति समीकरण को हल करने हेतु प्रत्यक्ष समय समाकलन विधि लागू की जाती है।

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

यहाँ \(M\) द्रव्यमान मैट्रिक्स, \(C\) अवमंदन मैट्रिक्स, \(Q\) आंतरिक-बल सदिश और \(F\) बाह्य-बल सदिश है। अरैखिक विश्लेषण में भी द्रव्यमान मैट्रिक्स को विरूपण से स्वतंत्र स्थिर माना जाता है।

समय वृद्धि \(\Delta t\) के दौरान विस्थापन, वेग और त्वरण में परिवर्तन को Newmark-\(\beta\) विधि से समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) और समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) के अनुसार सन्निकट किया जाता है।

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

यहाँ \(\gamma\) और \(\beta\) Newmark-\(\beta\) विधि के पैरामीटर हैं।

जैसा सर्वविदित है, \(\gamma\) और \(\beta\) के निम्न मान क्रमशः रैखिक त्वरण विधि और समलंब नियम के अनुरूप हैं।

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (रैखिक त्वरण विधि)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (समलंब नियम)

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) और समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) को समीकरण \(\eqref{eq:2.5.1}\) में प्रतिस्थापित करने पर निम्न समीकरण मिलता है।

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

विशेष रूप से रैखिक समस्या के लिए \(K_L\) रैखिक कठोरता मैट्रिक्स है और \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) होता है। इस संबंध को ऊपर के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर निम्न समीकरण मिलता है।

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

जिन स्थानों पर त्वरण को ज्यामितीय सीमा शर्त के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, वहाँ विस्थापन समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) से निम्न प्रकार प्राप्त होता है।

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

इसी प्रकार, जिन स्थानों पर वेग निर्दिष्ट है, वहाँ विस्थापन समीकरण \(\eqref{eq:2.5.6}\) से निम्न प्रकार प्राप्त होता है।

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

यहाँ, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) पर नोडीय विस्थापन है और \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) पर नोडीय वेग है, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) पर नोडीय त्वरण है, \(i\) नोडीय स्वतंत्रता-कोटि संख्या और \(s\) नोड संख्या है। द्रव्यमान और अवमंदन पदों का उपचार निम्न प्रकार किया जाता है।

द्रव्यमान पद का उपचार¶

सिद्धांततः द्रव्यमान मैट्रिक्स को संकेंद्रित द्रव्यमान मैट्रिक्स के रूप में माना जाता है।

अवमंदन पद का उपचार¶

अवमंदन पद का उपचार समीकरण \(\eqref{eq:2.5.8}\) द्वारा व्यक्त Rayleigh अवमंदन के रूप में किया जाता है।

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

यहाँ \(R_m\) और \(R_k\) Rayleigh अवमंदन पैरामीटर हैं।

!DYNAMIC कार्ड पर निर्दिष्ट \(R_m\) और \(R_k\) मान पूरे मॉडल पर समान रूप से लागू होते हैं। प्रत्येक सामग्री के लिए अलग \(R_m\) और \(R_k\) मान देने हेतु उस सामग्री के !MATERIAL ब्लॉक में !DAMPING कार्ड निर्दिष्ट करें। जिस सामग्री के लिए !DAMPING निर्दिष्ट है उसके तत्वों में, तत्व द्रव्यमान मैट्रिक्स \(M_i\) और स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स \(K_i\) से तत्व अवमंदन मैट्रिक्स \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) की गणना की जाती है और उसे वैश्विक अवमंदन मैट्रिक्स में असेंबल किया जाता है। यह सुविधा केवल अंतर्निहित विधि में प्रभावी है।

स्पष्ट विधि (केंद्रीय अंतर विधि)¶

स्पष्ट विधि नीचे दिए गए समय t के गति समीकरण पर आधारित है।

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

समय \(t + \Delta t\) और \(t - \Delta t\) के विस्थापनों को समय \(t\) के आसपास Taylor प्रसार से व्यक्त करके तथा \(\Delta t\) के द्वितीय कोटि तक के पद रखने पर निम्न समीकरण मिलते हैं।

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) और समीकरण \(\eqref{eq:2.5.4}\) का अंतर और योग लेने पर निम्न समीकरण मिलते हैं।

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.12}\) और समीकरण \(\eqref{eq:2.5.13}\) को समीकरण \(\eqref{eq:2.5.9}\) में प्रतिस्थापित करने पर निम्न समीकरण मिलता है।

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

विशेष रूप से रैखिक समस्या के लिए \(Q(t) = K_L U(t)\) होता है और ऊपर का समीकरण बनता है

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

यदि द्रव्यमान मैट्रिक्स \(M\) को संकेंद्रित द्रव्यमान मैट्रिक्स और अवमंदन मैट्रिक्स को आनुपातिक अवमंदन मैट्रिक्स \(C = R_m M\) लिया जाए, तो समीकरण \(\eqref{eq:2.5.15}\) में युगपत समीकरणों का समाधान आवश्यक नहीं होता।

अतः समीकरण \(\eqref{eq:2.5.15}\) से \(U(t+\Delta t)\) निम्न समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]