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मोडल विश्लेषण

सामान्यीकृत अभिलक्षणिक मान समस्या

सातत्य के मुक्त-कंपन विश्लेषण में स्थानिक विविक्तीकरण करके उसे चित्र 2.3.1 में दर्शाए गए संकेंद्रित द्रव्यमानों वाले बहु-स्वतंत्रता-कोटि तंत्र के रूप में मॉडल किया जाता है। अवमंदन-रहित मुक्त-कंपन समस्या में शासी समीकरण (गति का समीकरण) निम्न है।

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

यहाँ, \(u\) सामान्यीकृत विस्थापन सदिश, \(M\) द्रव्यमान मैट्रिक्स और \(K\) कठोरता मैट्रिक्स है। प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति को \(\omega\), एक साथ शून्य न होने वाले मनमाने स्थिरांकों को \(a\) और \(b\), तथा \(x\) को एक सदिश मानकर निम्न फलन परिभाषित करें।

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

इस फलन का द्वितीय अवकलज निम्न है।

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.3.2}\) और \(\eqref{eq:2.3.3}\) को समीकरण \(\eqref{eq:2.3.1}\) में प्रतिस्थापित करने पर

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

प्राप्त होता है।

अतुच्छ कंपन के लिए \(a \sin \omega t + b \cos \omega t\) सर्वसम रूप से शून्य नहीं होता; अतः

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

प्राप्त होता है। इसलिए \(\lambda=\omega^2\) रखने पर

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

प्राप्त होता है।

गुणांक \(\lambda\) को अभिलक्षणिक मान और सदिश \(x\) को अभिलक्षणिक सदिश कहते हैं; समीकरण \(\eqref{eq:2.3.5}\) से व्यक्त समस्या को सामान्यीकृत अभिलक्षणिक मान समस्या कहते हैं।

अभिलक्षणिक मान \(\lambda=\omega^2\) से प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति \(\omega\) प्राप्त होती है, और संगत अभिलक्षणिक सदिश \(x\) कंपन मोड को दर्शाता है।

अवमंदन-रहित मुक्त कंपन के बहु-स्वतंत्रता-कोटि तंत्र का उदाहरण

चित्र 2.3.1 अवमंदन-रहित मुक्त कंपन के बहु-स्वतंत्रता-कोटि तंत्र का उदाहरण

मैट्रिक्स के गुण और मान्यताएँ

पिछले खंड में प्राप्त सामान्यीकृत अभिलक्षणिक मान समस्या \(Kx=\lambda Mx\) के लिए इस पुस्तिका में संबंधित मैट्रिक्सों की सममिति मान ली गई है। जटिल मैट्रिक्स के लिए यह हर्मिटी मैट्रिक्स और वास्तविक मैट्रिक्स के लिए सममित मैट्रिक्स के अनुरूप है।

मैट्रिक्स \(K\) के \(ij\) घटक को \(k_{ij}\) लिखने पर हर्मिटी गुण निम्न प्रकार व्यक्त होता है।

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

यहाँ, \(\bar{k}_{ji}\), \(k_{ji}\) का सम्मिश्र संयुग्म है। वास्तविक मैट्रिक्स के लिए यह संबंध \(k_{ij}=k_{ji}\) हो जाता है।

इसके अतिरिक्त, वास्तविक सममित मैट्रिक्स \(H\) को धन-निश्चित तब कहते हैं जब प्रत्येक अशून्य सदिश \(x\) के लिए

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

संबंध सत्य हो। इस स्थिति में \(H\) के सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक होते हैं।

संरचनात्मक अभिलक्षणिक मान समस्या में द्रव्यमान मैट्रिक्स \(M\) को सामान्यतः धन-निश्चित माना जाता है। दूसरी ओर, प्रतिबंध स्थितियों के अनुसार कठोरता मैट्रिक्स \(K\) अर्ध-धन-निश्चित हो सकता है और कठोर-पिंड मोडों के अनुरूप शून्य अभिलक्षणिक मान रख सकता है।

शिफ्टयुक्त व्युत्क्रम पुनरावृत्ति विधि

परिमित तत्व विधि से संरचनात्मक विश्लेषण में व्यवहारतः सभी अभिलक्षणिक मान आवश्यक नहीं होते; प्रायः केवल कुछ निम्न-क्रम अभिलक्षणिक मान पर्याप्त होते हैं। HEC-MW बड़े पैमाने की समस्याओं के लिए बनाया गया है, जिनमें मैट्रिक्स बड़े और अत्यंत विरल होते हैं तथा उनमें बहुत-से शून्य घटक होते हैं। इसलिए इन विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए निम्न-क्रम मोडों के अभिलक्षणिक मान दक्षतापूर्वक निकालना महत्वपूर्ण है।

शिफ्ट राशि को \(\sigma\) मानें। यदि \(-\sigma\) कोई अभिलक्षणिक मान न हो और \(K+\sigma M\) अविलक्षण हो, तो समीकरण \(\eqref{eq:2.3.5}\) को निम्न रूप में बदला जा सकता है।

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

इस रूपांतरण में अभिलक्षणिक सदिश \(x\) नहीं बदलता और अभिलक्षणिक मान \(\lambda\), \(1/(\lambda+\sigma)\) में प्रतिचित्रित होता है।

अतः \(\lambda\), \(-\sigma\) के जितना निकट होगा, रूपांतरित अभिलक्षणिक मान का निरपेक्ष मान उतना ही बड़ा होगा। संरचनात्मक अभिलक्षणिक मान समस्या में \(\lambda \geq 0\) और \(\sigma \geq 0\) होते हैं; इसलिए निम्नतम अभिलक्षणिक मान अधिकतम निरपेक्ष मान वाले अभिलक्षणिक मान में प्रतिचित्रित होता है। इस गुण का उपयोग करके और समीकरण \(\eqref{eq:2.3.8}\) पर ऐसी पुनरावृत्त विधि लागू करके जो बड़े निरपेक्ष मानों पर पहले अभिसरित होती है, निम्न-क्रम अभिलक्षणिक मानों को क्रमशः और दक्षतापूर्वक प्राप्त किया जा सकता है।

इस विधि को शिफ्टयुक्त व्युत्क्रम पुनरावृत्ति विधि कहते हैं।

FrontISTR में प्रतिबंधयुक्त विश्लेषण के लिए \(\sigma = 0\) रखा जाता है, जिससे समीकरण \(\eqref{eq:2.3.8}\), \(K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x\), अर्थात् शिफ्ट-रहित व्युत्क्रम पुनरावृत्ति बन जाता है। प्रतिबंध-रहित मुक्त-मुक्त विश्लेषण में कठोर-पिंड मोडों के अनुरूप शून्य अभिलक्षणिक मान होने के कारण \(K\) विलक्षण होता है; \(\sigma\) को धनात्मक मान देने से \(K+\sigma M\) अविलक्षण हो जाता है। इस \(\sigma\) को !EIGEN में SIGMA से निर्दिष्ट किया जाता है।

Lanczos विधि

अपनाने का कारण (Jacobi विधि से तुलना)

परंपरागत विधियों में Jacobi विधि प्रसिद्ध है।

यह विधि छोटे और सघन मैट्रिक्स के लिए प्रभावी है। किन्तु HEC-MW द्वारा संभाले जाने वाले मैट्रिक्स बड़े और विरल हैं, इसलिए Jacobi विधि नहीं अपनाई जाती; उसके स्थान पर पुनरावृत्त Lanczos विधि का उपयोग किया जाता है।

कलनविधि और विशेषताएँ

1950 के दशक में C. Lanczos द्वारा प्रस्तावित यह विधि मैट्रिक्स को त्रिविकर्ण रूप में बदलने की कलनविधि है और इसकी निम्न विशेषताएँ हैं।

  • यह पुनरावृत्त अभिसरण विधि है और मैट्रिक्स को विरल रखते हुए गणना आगे बढ़ा सकती है।
  • कलनविधि मुख्यतः मैट्रिक्स-सदिश गुणनों पर आधारित है और समानांतरकरण के लिए उपयुक्त है।
  • यह परिमित तत्व मेश से संबंधित ज्यामितीय क्षेत्र-विभाजन के लिए उपयुक्त है।
  • आवश्यक अभिलक्षणिक मानों की संख्या या मोड-परास सीमित करके दक्ष गणना की जा सकती है।

Lanczos विधि एक आरंभिक सदिश से शुरू होकर क्रमशः लंबवत सदिश बनाती है और Krylov उपस्थान का आधार निर्मित करती है।

सीमित-परिशुद्धता गणना में पूर्णांकन त्रुटियों के कारण सदिशों की लंबवतता नष्ट हो सकती है। इस प्रभाव को दबाने के लिए FrontISTR का कार्यान्वयन पहले से प्राप्त Lanczos आधार के सापेक्ष पुनः लंबवतीकरण करता है।

ज्यामितीय अर्थ (Krylov उपस्थान)

समीकरण \(\eqref{eq:2.3.8}\) में निम्न चर-परिवर्तन करने पर

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]
\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

समस्या को पुनः लिखने से

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

प्राप्त होता है।

किसी मनमाने अशून्य सदिश \(q_0\) के लिए

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

इन सदिशों द्वारा विस्तृत स्थान, अर्थात्

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

को Krylov उपस्थान कहते हैं।

Lanczos विधि इस Krylov उपस्थान के आधार को क्रमशः निर्मित करती है।

FrontISTR द्रव्यमान मैट्रिक्स \(M\) से संबद्ध निम्न आंतरिक गुणन

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

का उपयोग आधार को लंब-प्रसामान्य बनाने के लिए करता है। नीचे के चित्रों में दर्शाए गए आंतरिक गुणन \(\langle x,y\rangle\) और मानक \(\|x\|\) को FrontISTR की गणना में क्रमशः इसी \(M\)-आंतरिक गुणन और उसके संगत \(M\)-मानक

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

के रूप में समझा जाता है।

किसी मनमाने सदिश \(q_0\) पर मैट्रिक्स \(A\) द्वारा परिभाषित रैखिक रूपांतरण लागू करें (चित्र 2.3.2)।

मैट्रिक्स \(A\) द्वारा \(q_0\) का रैखिक रूपांतरण

चित्र 2.3.2 मैट्रिक्स \(A\) द्वारा \(q_0\) का रैखिक रूपांतरण

रूपांतरित सदिश को मूल सदिश के साथ बने स्थान में लंबवत किया जाता है। अर्थात् चित्र 2.3.3 के अनुसार ग्राम-श्मिट लंबवतीकरण किया जाता है। प्राप्त सदिश को \(r_1\) कहकर उसका प्रसामान्यीकरण करने से \(q_1\) मिलता है।

\(q_0\) के लंबवत सदिश \(q_1\)

चित्र 2.3.3 \(q_0\) के लंबवत सदिश \(q_1\)

उसी प्रक्रिया से \(q_1\) से \(q_2\) प्राप्त होता है। इस समय \(q_2\), \(q_1\) और \(q_0\) दोनों के लंबवत होता है (चित्र 2.3.4)।

\(q_1\) और \(q_0\) के लंबवत सदिश \(q_2\)

चित्र 2.3.4 \(q_1\) और \(q_0\) के लंबवत सदिश \(q_2\)

इस प्रकार Lanczos विधि Krylov उपस्थान के लंब-प्रसामान्य आधार को क्रमशः निर्मित करती है। सैद्धांतिक रूप से संबंधित अभिलक्षणिक मान समस्या की सममिति का उपयोग करके इस पुनरावृत्ति को निकटतम आधार सदिशों वाली त्रिपद पुनरावर्ती संबंध के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

दूसरी ओर, सीमित-परिशुद्धता गणना से होने वाली लंबवतता की हानि को दबाने के लिए FrontISTR का कार्यान्वयन पहले से प्राप्त Lanczos आधार के सापेक्ष \(M\)-आंतरिक गुणन से पुनः लंबवतीकरण करता है।

त्रिविकर्णीकरण

FrontISTR की Lanczos पुनरावृत्ति में आधार सदिशों को पिछले खंड में वर्णित \(M\)-आंतरिक गुणन के सापेक्ष लंब-प्रसामान्य बनाया जाता है; अतः

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

संबंध सत्य होता है।

समीकरण \(\eqref{eq:2.3.10}\) के मैट्रिक्स \(A\) का उपयोग करने पर सैद्धांतिक Lanczos पुनरावृत्ति

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

उपरोक्त त्रिपद पुनरावर्ती संबंध से व्यक्त होती है।

पहले \(\alpha_i\) को निम्न प्रकार परिभाषित करें।

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

फिर अस्थायी अवशेष को

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

के रूप में रखें।

सीमित-परिशुद्धता गणना से होने वाली लंबवतता की हानि को दबाने के लिए FrontISTR का कार्यान्वयन \(\tilde{r}_{i+1}\) को पहले से प्राप्त Lanczos आधार के सापेक्ष \(M\)-आंतरिक गुणन से पुनः लंबवत करता है। पुनः लंबवतीकरण के बाद के अवशेष को \(r_{i+1}\) मानने पर

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

संबंध प्राप्त होते हैं।

Lanczos पुनरावृत्ति से प्राप्त \(m\) आधार सदिशों को

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

के रूप में एकत्र करें। तब Lanczos पुनरावृत्ति की सीमित संख्या के बाद

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

संबंध सत्य होता है।

यहाँ \(e_m\), \(m\)-विमीय इकाई सदिश है जिसका केवल \(m\)वाँ घटक 1 और अन्य सभी घटक शून्य हैं, तथा

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

एक सममित त्रिविकर्ण मैट्रिक्स है।

अतः त्रिविकर्ण मैट्रिक्स \(T_m\) के अभिलक्षणिक मानों की गणना करके मूल बड़े पैमाने की अभिलक्षणिक मान समस्या के अभिलक्षणिक मानों का सन्निकटन किया जा सकता है।

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