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आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण

समस्या का सूत्रीकरण

आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण उस प्रणाली की स्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया के आयाम और कला का आवृत्ति क्षेत्र में मूल्यांकन करता है, जिसमें बाह्य बल समय के साथ आवर्ती रूप से बदलता है। अवमंदन की उपस्थिति और अनुपस्थिति में शासी गति समीकरण का उपचार भिन्न होता है; इसलिए यह अध्याय पहले अवमंदन-रहित मुक्त कंपन से अभिलक्षणिक मोड व्युत्पन्न करता है और फिर उन्हें मोडल आधार के रूप में उपयोग करके अवमंदित आवर्ती प्रतिक्रिया का प्रसार करता है।

अवमंदन-रहित मुक्त कंपन और अभिलक्षणिक मोड

अवमंदन की उपेक्षा करने पर गति समीकरण है

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

प्रत्येक अभिलक्षणिक मोड में विस्थापन का प्रसार करने पर

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

प्राप्त होता है। इसे Eq.\(\eqref{eq:2.6.1}\) में प्रतिस्थापित करने पर

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

मिलता है। यह एक सामान्यीकृत अभिलक्षणिक मान समस्या है। शिफ्टेड इनवर्स पुनरावृत्ति और Lanczos विधि सहित इसके संख्यात्मक समाधान की विधियाँ मोडल विश्लेषण में दी गई हैं। यह अनुभाग प्राप्त प्राकृतिक आवृत्तियों और अभिलक्षणिक मोडों के उन गुणों का सार देता है जिन्हें आगे के आवर्ती-प्रतिक्रिया प्रसार में उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक आवृत्तियों की वास्तविकता

प्राकृतिक आवृत्ति के वास्तविक होने को निम्न प्रकार दिखाया जा सकता है। \(\omega_j^2 = \lambda_j\) मानें। Eq.\(\eqref{eq:2.6.3}\) का सम्मिश्र संयुग्म लेने पर Eq.\(\eqref{eq:2.6.4}\) प्राप्त होता है।

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

\(\overline{U}_J^T\) से गुणा करने पर

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

प्राप्त होता है। Eq.\(\eqref{eq:2.6.5}\) से,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

द्रव्यमान मैट्रिक्स सममित धनात्मक निश्चित होने के कारण, शून्येतर अभिलक्षणिक सदिश के लिए

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

होता है। अतः,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

इसलिए \(\omega_j^2 = \lambda_j\) वास्तविक है।

अभिलक्षणिक मोडों की लम्बवतता और सामान्यीकरण

दो भिन्न मोडों पर विचार करें।

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

इससे

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

प्राप्त होता है और, जब अभिलक्षणिक मान भिन्न हों,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

होता है। अतः भिन्न अभिलक्षणिक मोड द्रव्यमान मैट्रिक्स के सापेक्ष लम्बवत होते हैं। उसी मोड के लिए Eq.\(\eqref{eq:2.6.12}\) की तरह द्रव्यमान मैट्रिक्स के सापेक्ष सामान्यीकरण करने से आगे का उपचार सरल हो जाता है।

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

अवमंदन सहित आवर्ती प्रतिक्रिया

अब अवमंदन सहित आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण का सूत्रीकरण प्रस्तुत किया जाता है। शासी गति समीकरण Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\) द्वारा दिया जाता है।

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

अवमंदन पद को Rayleigh प्रकार का माना जाता है और इसे Eq.\(\eqref{eq:2.6.14}\) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

मोडल विश्लेषण से प्राप्त अभिलक्षणिक सदिशों का उपयोग करके, समय t पर विस्थापन सदिश को Eq.\(\eqref{eq:2.6.15}\) के अनुसार प्रसारित किया जा सकता है।

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

मान लें कि बाह्य-बल पद का आवर्ती रूप है

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

तब \(b_{j}(t)\) निर्धारित किया जाता है। चूँकि Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\) का गति समीकरण बलपूर्वक कंपन का रूप रखता है,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

होता है। प्रसार गुणांक \(b_{j}(t)\) के वास्तविक और काल्पनिक भाग क्रमशः Eq.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) और \(\eqref{eq:2.6.19}\) द्वारा दिए जाते हैं।

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

इस प्रकार वांछित आवर्ती-प्रतिक्रिया गुणांक प्राप्त होते हैं।

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