क्षणिक ऊष्मा चालन विश्लेषण
परिमित तत्व विधि द्वारा ठोस में ऊष्मा चालन विश्लेषण के समय विविक्तीकरण और पुनरावृत्त समाधान विधि को यहाँ प्रस्तुत किया गया है। सातत्य माध्यम में शासी समीकरण और सीमा शर्तों के लिए ऊष्मा चालन समीकरण देखें।
विविक्त समीकरण (आरंभिक बिंदु)
ऊष्मा चालन समीकरण (ऊष्मा चालन समीकरण का समीकरण (gov_he_main)) को Galerkin विधि से विविक्त करने पर,
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
जहाँ,
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
यहाँ \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) क्रमशः ऊष्मा चालन मैट्रिक्स (सीमा योगदान के संवहन और विकिरण पदों सहित), द्रव्यमान मैट्रिक्स, ऊष्मीय भार सदिश और आकार फलन मैट्रिक्स हैं। भौतिक गुणों के प्रतीकों (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) आदि) की परिभाषाएँ ऊष्मा चालन समीकरण के अनुसार हैं।
समय विविक्तीकरण और पुनरावृत्त समाधान
समीकरण\(\eqref{eq:2.4.8}\) अरैखिक और क्षणिक समीकरण है। अब समय के संबंध में पश्चगामी Euler विधि से विविक्तीकरण करते हुए, यदि समय \(t=t_0\) पर तापमान ज्ञात है, तो समय \(t=t_0+\Delta t\) पर तापमान की गणना निम्न समीकरण से की जाती है।
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
यहाँ समीकरण\(\eqref{eq:2.4.13}\) को सन्निकट रूप से संतुष्ट करने वाले तापमान सदिश \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) में सुधार करके अधिक सटीक समाधान \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) प्राप्त करने पर विचार किया जाता है।
इसके लिए पहले तापमान सदिश को निम्न रूप में लिखा जाता है।
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
ऊष्मा चालन मैट्रिक्स और तापमान सदिश के गुणनफल तथा द्रव्यमान मैट्रिक्स आदि को निम्न प्रकार सन्निकट रूप में व्यक्त किया जाता है।
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
समीकरण\(\eqref{eq:2.4.14}\), समीकरण\(\eqref{eq:2.4.15}\) और समीकरण\(\eqref{eq:2.4.16}\) को समीकरण\(\eqref{eq:2.4.13}\) में प्रतिस्थापित करके द्वितीय और उच्चतर कोटि के पदों की उपेक्षा करने पर निम्न समीकरण मिलता है।
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
इसके बाद बाएँ पक्ष के गुणांक मैट्रिक्स का निम्न समीकरण से सन्निकट मूल्यांकन किया जाता है।
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
यहाँ \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स है।
अंततः निम्न समीकरण का उपयोग करके पुनरावृत्त गणना करने से समय \(t=t_0+\Delta t\) पर तापमान की गणना की जा सकती है।
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
विशेष रूप से स्थिर-अवस्था विश्लेषण में निम्न समीकरण से पुनरावृत्त गणना की जाती है।
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
क्षणिक विश्लेषण में समय वृद्धि \(\Delta t\) चुनने पर सामान्यतः उसके परिमाण की स्थिरता-संबंधी सीमा नहीं होती, क्योंकि समय विविक्तीकरण में अंतर्निहित विधि अपनाई गई है। किंतु समय वृद्धि \(\Delta t\) बहुत बड़ी होने पर पुनरावृत्त गणना में अभिसरण तक आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या बढ़ जाती है। सामान्यतः समय वृद्धि \(\Delta t\) अत्यधिक बड़ी होने पर पुनरावृत्तियों की संख्या बढ़ती है। कार्यान्वयन में अवशेष सदिश के परिमाण की निगरानी की जाती है; अभिसरण धीमा होने पर \(\Delta t\) घटाया जाता है और पुनरावृत्तियाँ कम होने पर \(\Delta t\) बढ़ाया जाता है। इस प्रकार स्वचालित वृद्धि नियंत्रण किया जाता है (→ विवरण के लिए चरण नियंत्रण देखें)।
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