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ज्यामितीय सीमा शर्तों का प्रसंस्करण

Newton-Raphson विधि में प्रत्येक पुनरावृत्ति पर हल किए जाने वाले रैखिक समीकरण \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) में अभी ज्यामितीय सीमा शर्तें (विस्थापन बाधा) सम्मिलित नहीं हैं। यह अध्याय दिखाता है कि जिन स्वतंत्रता-कोटियों पर विस्थापन बाधा \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) लागू है, उनके लिए कठोरता मैट्रिक्स \(\boldsymbol{K}\) और अवशिष्ट सदिश \(\boldsymbol{R}\) को कैसे संशोधित करें ताकि पुनरावृत्ति के बाद विस्थापन निर्धारित मान तक पहुँचे। बहु-बिंदु बाधा (MPC) और संपर्क से जुड़े अरैखिक बंधन अलग प्रक्रिया से संभाले जाते हैं; बहु-बिंदु बाधाएँ और संपर्क देखें।

विस्थापन बाधाओं को अज्ञात चर के रूप में बनाए रखने की नीति

ज्यामितीय सीमा शर्त वाले नोड का विस्थापन अब अज्ञात चर नहीं रहता, बल्कि निर्धारित मान \(\bar{u}_i\) पर स्थिर होता है। इन स्वतंत्रता-कोटियों को नियतांक मानकर रैखिक समीकरण \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) से हटाया जा सकता है; परंतु FrontISTR बाधित स्वतंत्रता-कोटियों को अन्य स्वतंत्रता-कोटियों की तरह संशोधन सदिश \(d\boldsymbol{u}\) में बनाए रखता है और \(\boldsymbol{K}\) तथा \(\boldsymbol{R}\) को बदलकर बाधा लागू करता है।

इस विधि में गुणांक मैट्रिक्स का आयाम और स्वतंत्रता-कोटियों का क्रम बाधा की उपस्थिति से नहीं बदलता, इसलिए चर हटाकर रिक्त पंक्तियों और स्तंभों को पुनः पैक करने की आवश्यकता नहीं होती। विरल मैट्रिक्स रूप में गुणांक मैट्रिक्स रखने वाले कार्यान्वयन में यह पुनः-पैकिंग जटिल होती है, इसलिए FrontISTR केवल गुणांक मैट्रिक्स और दाएँ पक्ष को अद्यतन करके बाधा लागू करने वाली बाद की विधि अपनाता है।

न्यूटन–रैफसन संशोधन का लक्ष्य मान

विस्थापन-बाधित स्वतंत्रता-कोटि \(i\) के लिए, न्यूटन–रैफसन पुनरावृत्ति में प्राप्त संशोधन \(du_i\) को

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{पहली पुनरावृत्ति}) \\ 0 & (\text{दूसरी और बाद की पुनरावृत्तियाँ}) \end{cases} \]

होने के लिए \(\boldsymbol{K}\) और \(\boldsymbol{R}\) को संशोधित करें। इससे पहली पुनरावृत्ति में विस्थापन वृद्धि निर्धारित मान \(\bar{u}_i\) तक पहुँचती है और दूसरी तथा बाद की पुनरावृत्तियों में संशोधन \(0\) हो जाता है, जिससे निर्धारित मान बना रहता है।

मैट्रिक्स और अवशिष्ट सदिश संशोधित करने की प्रक्रिया

पिछले अनुभाग का लक्ष्य मान रैखिक समीकरण \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) का रूप बनाए रखते हुए निम्न 2 संशोधनों से प्राप्त होता है।

  1. पंक्ति \(i\) का विकर्णीकरण: \(du_i\) के गुणांक, विकर्ण पद \(K_{ii}\), को \(1\) से और अन्य सभी गुणांकों \(K_{ij}\ (j \not= i)\) को \(0\) से बदलें तथा दाएँ पक्ष को \(R_i \to d\bar{u}_i\) करें। तब पंक्ति \(i\) का समीकरण \(du_i = d\bar{u}_i\) हो जाता है।
  2. पंक्तियों \(j(\not= i)\) से स्थानांतरण: प्रत्येक पंक्ति \(j(\not= i)\) में, यदि \(K_{ji} \not= 0\) हो, तो पद \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करें। अर्थात दाएँ पक्ष से \(K_{ji} d\bar{u}_i\) घटाएँ और \(du_i\) का गुणांक \(K_{ji}\) को \(0\) करें।

घटक रूप में लिखने पर संशोधन से पहले और बाद के समीकरण निम्न प्रकार संगत होते हैं।

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

संशोधित गुणांक मैट्रिक्स और दाएँ पक्ष को क्रमशः \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) लिखें; अंततः हल किया जाने वाला रैखिक समीकरण है

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

। यदि अनेक बाधित स्वतंत्रता-कोटियाँ हों, तो प्रत्येक बाधित स्वतंत्रता-कोटि \(i\) पर ऊपर के संशोधन 1 और 2 क्रमशः लागू करें।

विरल मैट्रिक्स कार्यान्वयन में प्रसंस्करण का दायरा

कार्यान्वयन में गुणांक मैट्रिक्स \(\boldsymbol{K}\) विरल मैट्रिक्स रूप में रखा जाता है, इसलिए पिछले अनुभाग की प्रक्रिया 2 में पंक्तियों \(j(\not= i)\) का प्रसंस्करण केवल उन पंक्तियों पर किया जाता है जिनके स्तंभ \(i\) में अशून्य घटक हों, अर्थात उन नोडों की स्वतंत्रता-कोटियाँ जो तत्वों के माध्यम से बाधित स्वतंत्रता-कोटि \(i\) से जुड़ी हैं। असंबद्ध स्वतंत्रता-कोटियों के लिए \(K_{ji} = 0\) होता है, इसलिए पद स्थानांतरित करने से दाएँ पक्ष नहीं बदलता। इस सीमा के कारण कुल नोड संख्या के सापेक्ष केवल स्थानीय संक्रियाओं से बाधा प्रसंस्करण पूरा हो जाता है।

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