सरल-आकृति मॉडल द्वारा सत्यापन¶
प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण¶
इस सत्यापन में चित्र 9.1.1 में दिखाए अनुसार जालित कैंटिलीवर बीम का उपयोग किया गया है। exA से exG तक सात मामलों के लिए विश्लेषण किया गया, जिनमें भार शर्तें चित्र 9.1.2 के अनुसार बदली गईं। मामला exG की भार शर्तें exA के समान हैं, किंतु इसमें प्रत्यक्ष सॉल्वर उपयोग किया गया है।
प्रत्येक भार शर्त के सत्यापन परिणाम तालिकाओं 9.1.1–9.1.7 में दिए गए हैं।
चित्र 9.1.1 कैंटिलीवर बीम जाल का उदाहरण (षट्फलकीय तत्व)
 | (a) exA, G: संकेंद्रित भार |
 | (b) exD: गुरुत्वाकर्षण |
 | (c) exB: पृष्ठ-वितरित भार |
 | (d) exE: अपकेंद्रीय बल |
 | (e) exC: आयतन भार |
 | (f) exF : तापीय भार |
| मद | मान |
|---|---|
| यंग मापांक | \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\) |
| लंबाई | \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\) |
| पॉइसन अनुपात | \(\nu = 0.3\) |
| अनुभागीय क्षेत्रफल | \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\) |
| द्रव्यमान घनत्व | \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\) |
| क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण | \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\) |
| गुरुत्वीय त्वरण | \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\) |
| रैखिक तापीय प्रसार गुणांक | \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\) |
चित्र 9.1.2 कैंटिलीवर-बीम मॉडल की सत्यापन शर्तें
तालिका 9.1.1: exA: संकेंद्रित भार समस्या के सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान : \(\delta_{max}= -1.000\) | टिप्पणियाँ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | वाणिज्यिक | FrontISTR | |||
| A231 | 40 | -0.338 | -0.371 | -0.371 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| A232 | 40 | -0.942 | -1.002 | -1.002 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| A241 | 20 | -0.720 | -0.711 | -0.711 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| A242 | 20 | -0.910 | -1.002 | -1.002 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| A341 | 240 | -0.384 | -0.384 | -0.386 | 99 नोड |
| A342 | 240 | -0.990 | -0.990 | -0.999 | 525 नोड |
| A351 | 80 | -0.353 | -0.355 | -0.351 | 99 नोड |
| A352 | 80 | -0.993 | -0.993 | -0.992 | 381 नोड |
| A361 | 40 | -0.954 | -0.985 | -0.984 | 99 नोड |
| A362 | 40 | -0.994 | -0.993 | -0.993 | 220 नोड |
| A731 | 40 | - | - | -0.991 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
| A741 | 20 | - | - | -0.996 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
तालिका 9.1.2: exB: पृष्ठ-वितरित भार समस्या के सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान : \(\delta_{max}= -3.750\) | टिप्पणियाँ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | वाणिज्यिक | FrontISTR | |||
| B231 | 40 | -1.281 | -1.403 | -1.403 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| B232 | 40 | -3.579 | -3.763 | -3.763 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| B241 | 20 | -3.198 | -2.680 | -2.680 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| B242 | 20 | -3.426 | -3.765 | -3.765 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| B341 | 240 | -1.088 | -1.449 | -1.454 | 99 नोड |
| B342 | 240 | -3.704 | -3.704 | -3.748 | 525 नोड |
| B351 | 80 | -3.547 | -1.338 | -1.325 | 99 नोड |
| B352 | 80 | -0.3717 | -3.716 | -3.713 | 381 नोड |
| B361 | 40 | -3.557 | -3.691 | -3.688 | 99 नोड |
| B362 | 40 | -3.726 | -3.717 | -3.717 | 220 नोड |
| B731 | 40 | - | - | -3.722 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
| B741 | 20 | - | - | -3.743 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
तालिका 9.1.3: exC: आयतन भार समस्या के सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) | टिप्पणियाँ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | वाणिज्यिक | FrontISTR | |||
| C231 | 40 | - | -1.101e-5 | -1.101e-5 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| C232 | 40 | - | -2.951e-5 | -2.951e-5 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| C241 | 20 | - | -2.102e-5 | -2.102e-5 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| C242 | 20 | - | -2.953e-5 | -2.953e-5 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| C341 | 240 | - | -1.136e-5 | -1.140e-5 | 99 नोड |
| C342 | 240 | - | -2.905e-5 | -2.937e-5 | 525 नोड |
| C351 | 80 | - | -1.050e-5 | -1.039e-5 | 99 नोड |
| C352 | 80 | - | -2.914e-5 | -2.911e-5 | 381 नोड |
| C361 | 40 | - | -2.895e-5 | -2.893e-5 | 99 नोड |
| C362 | 40 | - | -2.915e-5 | -2.915e-5 | 220 नोड |
| C731 | 40 | - | - | -2.922e-5 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
| C741 | 20 | - | - | -2.938e-5 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
तालिका 9.1.4: exD: गुरुत्वाकर्षण समस्या के सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) | टिप्पणियाँ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | वाणिज्यिक | FrontISTR | |||
| D231 | 40 | -1.101e-5 | -1.101e-5 | -1.101e-5 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| D232 | 40 | -2.805e-5 | -2.951e-5 | -2.951e-5 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| D241 | 20 | -2.508e-5 | -2.102e-5 | -2.102e-5 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| D242 | 20 | -2.684e-5 | -2.953e-5 | -2.953e-5 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| D341 | 240 | -1.172e-5 | -1.136e-5 | -1.140e-5 | 99 नोड |
| D342 | 240 | -2.906e-5 | -2.905e-5 | -2.937e-5 | 525 नोड |
| D351 | 80 | -1.046e-5 | -1.050e-5 | -1.039e-5 | 99 नोड |
| D352 | 80 | -2.917e-5 | -2.914e-5 | -2.911e-5 | 381 नोड |
| D361 | 40 | -2.800e-5 | -2.895e-5 | -2.893e-5 | 99 नोड |
| D362 | 40 | -2.919e-5 | -2.915e-5 | -2.915e-5 | 220 नोड |
| D731 | 40 | - | - | -2.922e-5 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
| D741 | 20 | - | - | -2.938e-5 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
तालिका 9.1.5: exE: अपकेंद्रीय बल समस्या के सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) | टिप्पणियाँ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | वाणिज्यिक | FrontISTR | |||
| E231 | 40 | 2.410e-3 | 2.616e-3 | 2.650e-3 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| E232 | 40 | 2.447e-3 | 2.627e-3 | 2.628e-3 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| E241 | 20 | 2.386e-3 | 2.622e-3 | 2.624e-3 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| E242 | 20 | 2.387e-3 | 2.627e-3 | 2.629e-3 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| E341 | 240 | 2.708e-3 | 2.579e-3 | 2.625e-3 | 99 नोड |
| E342 | 240 | 2.639e-3 | 2.614e-3 | 2.638e-3 | 525 नोड |
| E351 | 80 | 2.642e-3 | 2.598e-3 | 2.625e-3 | 99 नोड |
| E352 | 80 | 2.664e-3 | 2.617e-3 | 2.616e-3 | 381 नोड |
| E361 | 40 | 2.611e-3 | 2.603e-3 | 2.603e-3 | 99 नोड |
| E362 | 40 | 2.623e-3 | 2.616e-3 | 2.616e-3 | 220 नोड |
| E731 | 40 | - | - | 2.619e-3 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
| E741 | 20 | - | - | 2.622e-3 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
तालिका 9.1.6: exF: तापीय प्रतिबल भार समस्या के सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) | टिप्पणियाँ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | वाणिज्यिक | FrontISTR | |||
| F231 | 40 | - | 1.016e-2 | 1.007e-2 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| F232 | 40 | - | 1.007e-2 | 1.007e-2 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| F241 | 20 | - | 1.010e-2 | 1.010e-2 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| F242 | 20 | - | 1.006e-2 | 1.006e-2 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| F341 | 240 | - | 1.047e-2 | 1.083e-2 | 99 नोड |
| F342 | 240 | - | 1.018e-2 | 1.022e-2 | 525 नोड |
| F351 | 80 | - | 1.031e-2 | 1.062e-2 | 99 नोड |
| F352 | 80 | - | 1.015e-2 | 1.017e-2 | 381 नोड |
| F361 | 40 | - | 1.026e-2 | 1.026e-2 | 99 नोड |
| F362 | 40 | - | 1.016e-2 | 1.016e-2 | 220 नोड |
तालिका 9.1.7: exG: प्रत्यक्ष विधि के सत्यापन परिणाम (संकेंद्रित भार समस्या)
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान: δmax= -1.000 | टिप्पणियाँ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | वाणिज्यिक | FrontISTR | |||
| G231 | 40 | -0.338 | -0.371 | -0.371 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| G232 | 40 | -0.942 | -1.002 | -1.002 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| G241 | 20 | -0.720 | -0.711 | -0.711 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| G242 | 20 | -0.910 | -1.002 | -1.002 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| G341 | 240 | -0.384 | -0.384 | -0.386 | 99 नोड |
| G342 | 240 | -0.990 | -0.990 | -0.999 | 525 नोड |
| G351 | 80 | -0.353 | -0.355 | -0.351 | 99 नोड |
| G352 | 80 | -0.993 | -0.993 | -0.992 | 381 नोड |
| G361 | 40 | -0.954 | -0.985 | -0.984 | 99 नोड |
| G362 | 40 | -0.994 | -0.993 | -0.993 | 220 नोड |
| G731 | 40 | - | - | -0.991 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
| G741 | 20 | - | - | -0.996 | 33 नोड / प्रत्यक्ष विधि |
अरैखिक स्थैतिक विश्लेषण¶
(2-1) exnl1: ज्यामितीय अरैखिक विश्लेषण¶
मामला exI का सत्यापन मॉडल exA से exG तक के मामलों के मॉडलों के समान है। चित्र 9.1.3 सत्यापन मॉडल का योजनात्मक चित्र दिखाता है। इस मॉडल पर ज्यामितीय अरैखिक विश्लेषण किया जाता है। सत्यापन परिणाम तालिका 9.1.8 में दिए गए हैं।
अरैखिक गणना में संदर्भ भार \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\) लिया जाता है, और \(0.1P\) की भार-वृद्धि के साथ 10 भार चरणों में गणना की जाती है।
चित्र 9.1.3 सत्यापन मॉडल
तालिका 9.1.8 exI: सत्यापन परिणाम (अधिकतम विक्षेप इतिहास)
| केस नाम | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | रैखिक समाधान |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| I231 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| I232 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| I241 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| I242 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| I341 | 0.039 | 0.077 | 0.116 | 0.154 | 0.193 | 0.232 | 0.270 | 0.309 | 0.348 | 0.386 | 0.386 |
| I342 | 0.099 | 0.200 | 0.300 | 0.400 | 0.499 | 0.599 | 0.698 | 0.797 | 0.896 | 0.995 | 0.999 |
| I351 | 0.035 | 0.070 | 0.105 | 0.141 | 0.176 | 0.211 | 0.246 | 0.281 | 0.316 | 0.351 | 0.351 |
| I352 | 0.099 | 0.198 | 0.298 | 0.397 | 0.496 | 0.595 | 0.693 | 0.792 | 0.890 | 0.987 | 0.992 |
| I361 | 0.070 | 0.139 | 0.209 | 0.278 | 0.348 | 0.417 | 0.487 | 0.556 | 0.625 | 0.694 | 0.984 |
| I362 | 0.099 | 0.197 | 0.298 | 0.397 | 0.496 | 0.595 | 0.694 | 0.793 | 0.891 | 0.988 | 0.993 |
(2-2) exnl2: प्रत्यास्थ-प्लास्टिक विरूपण विश्लेषण¶
यह सत्यापन समस्या National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) के NAFEMS Test NL1 पर आधारित है, और ज्यामितीय अरैखिकता तथा अनेक कठोरीकरण नियमों को सम्मिलित करते हुए प्रत्यास्थ-प्लास्टिक विरूपण विश्लेषण करती है। चित्र 9.1.4 विश्लेषण मॉडल दिखाता है।
चित्र 9.1.4 प्रत्यास्थ-प्लास्टिक विरूपण विश्लेषण मॉडल
(1) सत्यापन शर्तें
| मद | मान |
|---|---|
| पदार्थ | Mises प्रत्यास्थ-प्लास्टिक पदार्थ |
| यंग मापांक | \(E = 250\ \mathrm{GPa}\) |
| पॉइसन अनुपात | \(\nu=0.25\) |
| प्रारंभिक पराभव प्रतिबल | \(5\ \mathrm{MPa}\) |
| प्रारंभिक पराभव विकृति | \(0.25\times10^{-4}\) |
| समदैशिक कठोरीकरण गुणांक | \(H_i = 0\) या \(62.5\ \mathrm{GPa}\) |
(2) सीमा शर्तें
| मद | सीमा शर्तें | मान |
|---|---|---|
| चरण 1 | नोड 2 और 3 पर निर्दिष्ट विस्थापन | \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\) |
| चरण 2 | नोड 2 और 3 पर निर्दिष्ट विस्थापन | \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\) |
| चरण 3 | नोड 3 और 4 पर निर्दिष्ट विस्थापन | \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\) |
| चरण 4 | नोड 3 और 4 पर निर्दिष्ट विस्थापन | \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\) |
| चरण 5 | नोड 2 और 3 पर निर्दिष्ट विस्थापन | \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\) |
| चरण 6 | नोड 2 और 3 पर निर्दिष्ट विस्थापन | \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\) |
| चरण 7 | नोड 3 और 4 पर निर्दिष्ट विस्थापन | \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\) |
| चरण 8 | नोड 3 और 4 पर निर्दिष्ट विस्थापन | \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\) |
यहाँ सूचीबद्ध न किए गए सभी नोड पूर्णतः बाधित हैं। इस समस्या का सैद्धांतिक समाधान निम्न है।
| विकृति (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)] | समतुल्य प्रतिबल (MPa) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)] |
|---|---|
| 0.25, 0, 0 | 5.0; 5.0 |
| 0.50, 0, 0 | 5.0; 5.862 |
| 0.50, 0.25, 0 | 5.0; 5.482 |
| 0.50, 0.50, 0 | 5.0; 6.362 |
| 0.25, 0.50, 0 | 5.0; 6.640 |
| 0, 0.50, 0 | 5.0; 7.322 |
| 0, 0.25, 0 | 3.917; 4.230 |
| 0, 0, 0 | 5.0; 5.673 |
तुलना के लिए, गणना परिणाम निम्न हैं।
| विकृति (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)] | समतुल्य प्रतिबल (MPa) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)] |
|---|---|
| \(\varepsilon_{x}\) | \(\varepsilon_{y}\) |
| 0.25, 0, 0 | 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%) |
| 0.50, 0, 0 | 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%) |
| 0.50, 0.25, 0 | 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%) |
| 0.50, 0.50, 0 | 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%) |
| 0.25, 0.50, 0 | 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%) |
| 0, 0.50, 0 | 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%) |
| 0, 0.25, 0 | 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%) |
| 0, 0, 0 | 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%) |
संपर्क विश्लेषण (1)¶
यह सत्यापन समस्या National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) की संपर्क पैच परीक्षण समस्या CGS-4 पर आधारित है, और घर्षण सहित परिमित-स्लाइडिंग संपर्क क्षमता का परीक्षण करती है। चित्र 9.1.5 विश्लेषण मॉडल दिखाता है।
चित्र 9.1.5 संपर्क विश्लेषण मॉडल
इस समस्या की संतुलन शर्त निम्न है।
चिपके हुए घर्षण चरण में घर्षण बल है
और फिसलन घर्षण चरण में यह है
होता है।
गणना परिणामों और विश्लेषणात्मक समाधान की तुलना निम्न है।
| \(\mu\) | \(F/G\) विश्लेषणात्मक समाधान | \(F/G\) गणना परिणाम |
|---|---|---|
| 0.0 | 0.1 | 0.1 |
| 0.1 | 0.202 | 0.202 |
| 0.2 | 0.306 | 0.306 |
| 0.3 | 0.412 | 0.412 |
संपर्क विश्लेषण (2): Hertz संपर्क समस्या¶
इस सत्यापन में अनंत लंबाई के बेलन और अनंत समतल के बीच Hertz संपर्क समस्या का विश्लेषण किया जाता है। बेलन की त्रिज्या \(R = 8\ \mathrm{mm}\) है, और विरूपणीय पिंड का यंग मापांक \(E\) तथा पॉइसन अनुपात \(\mu\) क्रमशः \(1100\ \mathrm{MPa}\) और \(0.0\) हैं। संपर्क क्षेत्र को बेलन त्रिज्या की तुलना में पर्याप्त छोटा माना जाता है और समस्या की सममिति को ध्यान में रखते हुए चौथाई-बेलन मॉडल का विश्लेषण किया जाता है।
चित्र 9.1.6 Hertz संपर्क समस्या का विश्लेषण मॉडल
(1) संपर्क त्रिज्या के सत्यापन परिणाम¶
संपर्क त्रिज्या की गणना का सैद्धांतिक सूत्र निम्न है:
जहाँ
है। वर्तमान गणना शर्तों में, जब दाब \(F=100\) है, संपर्क त्रिज्या \(a=1.36\) है।
चित्र 9.1.7 संपर्क बिंदुओं पर समतुल्य नोडीय बल दिखाता है। इस नोडीय-बल वितरण के बहिर्वेशन से संपर्क त्रिज्या प्राप्त की जाती है।
चित्र 9.1.7 संपर्क बिंदुओं पर समतुल्य नोडीय-बल वितरण
(2) अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के सत्यापन परिणाम¶
सैद्धांतिक समाधान में, संपर्क स्थिति पर
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल है
होता है। वर्तमान गणना शर्तों में,
होता है। तुलना में, गणना से मिलता है
का गणना परिणाम प्राप्त हुआ।
चित्र 9.1.8 अपरूपण-प्रतिबल वितरण (अधिकतम मान = 15.6)
(3) मोडल विश्लेषण¶
मामलों exJ और exK के सत्यापन मॉडल exA से exG तक के मॉडलों के समान हैं। चित्र 9.1.9 सत्यापन मॉडल का योजनात्मक चित्र दिखाता है। इस मॉडल पर मोडल विश्लेषण किया जाता है। प्रथम तीन प्राकृतिक आवृत्तियों की गणना की जाती है। मामला exJ पुनरावृत्त सॉल्वर उपयोग करता है, जबकि मामला exK प्रत्यक्ष सॉल्वर उपयोग करता है। सत्यापन परिणाम तालिकाओं 9.1.9 से 9.1.12 में दिए गए हैं।
चित्र 9.1.9 सत्यापन मॉडल
कैंटिलीवर बीम की प्राकृतिक आवृत्तियाँ निम्न समीकरणों से प्राप्त होती हैं।
प्रथम प्राकृतिक आवृत्ति
द्वितीय प्राकृतिक आवृत्ति
तृतीय प्राकृतिक आवृत्ति
सत्यापन मॉडल के गुण मान हैं
| मद | मान |
|---|---|
| \(I\) | \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\) |
| \(E\) | \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\) |
| \(l\) | \(10.0\ \mathrm{mm}\) |
| \(\omega\) | \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\) |
| \(g\) | \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\) |
अतः तृतीय मोड तक की प्राकृतिक आवृत्तियाँ निम्न हैं:
| मोड संख्या | मान |
|---|---|
| \(n_1\) | 3.609e3 |
| \(n_2\) | 2.262e4 |
| \(n_3\) | 6.335e4 |
तालिका 9.1.9: exJ: प्रथम प्राकृतिक आवृत्ति के लिए पुनरावृत्त विधि सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान : n1=3.609e3 | टिप्पणियाँ | |
|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | FrontISTR | |||
| J231 | 40 | 5.861e3 | 5.861e3 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J232 | 40 | 3.596e3 | 3.593e3 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J241 | 20 | 3.586e3 | 4.245e3 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J242 | 20 | 3.590e3 | 3.587e3 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J341 | 240 | 5.442e3 | 5.429e3 | 99 नोड |
| J342 | 240 | 3.621e3 | 3.595e3 | 525 नोड |
| J351 | 80 | 3.695e3 | 4.298e3 | 99 नोड |
| J352 | 80 | 3.610e3 | 3.609e3 | 381 नोड |
| J361 | 40 | 3.679e3 | 3.619e3 | 99 नोड |
| J362 | 40 | 3.611e3 | 3.606e3 | 220 नोड |
तालिका 9.1.10: द्वितीय प्राकृतिक आवृत्ति के लिए exJ के पुनरावृत्त विधि सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान : n2=2.262e4 | टिप्पणियाँ | |
|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | FrontISTR | |||
| J231 | 40 | 3.350e4 | 3.351e4 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J232 | 40 | 2.163e4 | 2.156e4 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J241 | 20 | 2.149e4 | 2.516e4 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J242 | 20 | 2.149e4 | 2.143e4 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J341 | 240 | 3.145e4 | 3.138e4 | 99 नोड |
| J342 | 240 | 2.171e4 | 2.155e4 | 525 नोड |
| J351 | 80 | 2.208e4 | 2.546e4 | 99 नोड |
| J352 | 80 | 2.156e4 | 2.149e4 | 381 नोड |
| J361 | 40 | 2.202e4 | 2.168e4 | 99 नोड |
| J362 | 40 | 2.154e4 | 2.144e4 | 220 नोड |
टिप्पणी: त्रिविम (3D) मॉडलों में प्रथम और द्वितीय मोड एक ही प्राकृतिक आवृत्ति से संबद्ध होते हैं। अतः तृतीय गणना की गई प्राकृतिक आवृत्ति को तालिका में द्वितीय प्राकृतिक आवृत्ति के रूप में दर्शाया गया है।
तालिका 9.1.11: प्रथम प्राकृतिक आवृत्ति के लिए exK के प्रत्यक्ष विधि सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान : n1=3.609e3 | टिप्पणियाँ | |
|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | FrontISTR | |||
| J231 | 40 | 5.861e3 | 5.861e3 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J232 | 40 | 3.596e3 | 3.593e3 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J241 | 20 | 3.586e3 | 4.245e3 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J242 | 20 | 3.590e3 | 3.587e3 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J341 | 240 | 5.442e3 | 5.429e3 | 99 नोड |
| J342 | 240 | 3.621e3 | 3.595e3 | 525 नोड |
| J351 | 80 | 3.695e3 | 4.298e3 | 99 नोड |
| J352 | 80 | 3.610e3 | 3.609e3 | 381 नोड |
| J361 | 40 | 3.679e3 | 3.619e3 | 99 नोड |
| J362 | 40 | 3.611e3 | 3.606e3 | 220 नोड |
| J731 | 40 | - | 3.606e3 | 220 नोड |
| J741 | 20 | - | 3.594e3 | 220 नोड |
तालिका 9.1.12: द्वितीय प्राकृतिक आवृत्ति के लिए exK के प्रत्यक्ष विधि सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्वों की संख्या | अनुमानित मान : n2=2.262e4 | टिप्पणियाँ | |
|---|---|---|---|---|
| NASTRAN | FrontISTR | |||
| J231 | 40 | 3.350e4 | 3.351e4 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J232 | 40 | 2.163e4 | 2.156e4 | 105 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J241 | 20 | 2.149e4 | 2.516e4 | 33 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J242 | 20 | 2.149e4 | 2.143e4 | 85 नोड / समतल प्रतिबल अवस्था समस्या |
| J341 | 240 | 3.145e4 | 3.138e4 | 99 नोड |
| J342 | 240 | 2.171e4 | 2.155e4 | 525 नोड |
| J351 | 80 | 2.208e4 | 2.546e4 | 99 नोड |
| J352 | 80 | 2.156e4 | 2.149e4 | 381 नोड |
| J361 | 40 | 2.202e4 | 2.168e4 | 99 नोड |
| J362 | 40 | 2.154e4 | 2.144e4 | 220 नोड |
| J731 | 40 | - | 2.156e4 | 220 नोड |
| J741 | 20 | - | 2.153e4 | 220 नोड |
टिप्पणी: 3D मॉडलों में प्रथम और द्वितीय मोड एक ही प्राकृतिक आवृत्ति से संबद्ध होते हैं। अतः तृतीय गणना की गई प्राकृतिक आवृत्ति को तालिका में द्वितीय प्राकृतिक आवृत्ति के रूप में दर्शाया गया है।
(4) ऊष्मा चालन विश्लेषण¶
स्थिर-अवस्था ऊष्मा-चालन विश्लेषणों की सामान्य शर्तें चित्र 9.1.10 में दिखाई गई हैं। सत्यापन मामलों exM से exT की अलग-अलग शर्तें चित्र 9.1.11 में दिखाई गई हैं। जाल विभाजन exA में उपयोग किए गए विभाजन के समतुल्य है।
प्रत्येक मामले के सत्यापन परिणाम (तापमान वितरण तालिका) तालिकाओं 9.1.13–9.1.20 में दिए गए हैं।
| AB के बीच लंबाई | \(L = 10.0\ \mathrm{m}\) |
| अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल | \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\) |
ऊष्मा चालकता की तापमान निर्भरता
| ऊष्मा चालकता \(\lambda\) (W/(m·K)) | तापमान (°C) |
|---|---|
| 50.0 | 0.0 |
| 35.0 | 500.0 |
| 20.0 | 1000.0 |
चित्र 9.1.10: स्थिर ऊष्मा चालन विश्लेषण की सत्यापन शर्तें
| exM: रैखिक पदार्थ | |
| exN: निर्दिष्ट तापमान समस्या |  |
| exO: संकेंद्रित ऊष्मा-अभिवाह समस्या |  |
| exP: वितरित ऊष्मा-अभिवाह समस्या |  |
| exQ: संवहनी ऊष्मा-संचरण समस्या |  |
| exR: विकिरण ऊष्मा-संचरण समस्या |  |
| exS: आयतन ऊष्मा-उत्पादन समस्या |  |
| exT: आंतरिक अंतराल समस्या |  |
चित्र 9.1.11: प्रत्येक सत्यापन मामले की विश्लेषण शर्तें
तालिका 9.1.13: exM के सत्यापन परिणाम (रैखिक पदार्थ की स्थिर-अवस्था गणना)
| केस नाम | तत्व प्रकार | तत्व/नोड | छोर A से दूरी (m) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| छोर A | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8,0 | छोर B | |||
| M361A | 361 | 40/33 | 0.0 | 100.0 | 200.0 | 300.0 | 400.0 | 500.0 |
| M361B | 361 | 40/105 | 0.0 | 100.0 | 200.0 | 300.0 | 400.0 | 500.0 |
| M361C | 361 | 20/33 | 0.0 | 100.0 | 200.0 | 300.0 | 400.0 | 500.0 |
| M361D | 361 | 20/85 | 0.0 | 100.0 | 200.0 | 300.0 | 400.0 | 500.0 |
| M361E | 361 | 240/99 | 0.0 | 100.0 | 200.0 | 300.0 | 400.0 | 500.0 |
| M361F | 361 | 24/525 | 0.0 | 100.0 | 200.0 | 300.0 | 400.0 | 500.0 |
| M361G | 361 | 80/99 | 0.0 | 100.0 | 200.0 | 300.0 | 400.0 | 500.0 |
तालिका 9.1.14: exN के सत्यापन परिणाम (निर्दिष्ट तापमान समस्या)
| केस नाम | तत्व प्रकार | तत्व/नोड | छोर A से दूरी (m) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| छोर A | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8,0 | छोर B | |||
| वाणिज्यिक | 361 | 40/99 | 0.0 | 87.3 | 179.7 | 278.2 | 384.3 | 500.0 |
| N231 | 231 | 40/33 | 0.0 | 87.2 | 179.5 | 278.0 | 384.1 | 500.0 |
| N232 | 232 | 40/105 | 0.0 | 86.0 | 178.3 | 276.8 | 382.9 | 500.0 |
| N241 | 241 | 20/33 | 0.0 | 87.3 | 179.7 | 278.2 | 384.3 | 500.0 |
| N242 | 242 | 20/85 | 0.0 | 87.3 | 179.7 | 278.2 | 384.3 | 500.0 |
| N341 | 341 | 240/99 | 0.0 | 87.3 | 179.7 | 278.2 | 384.3 | 500.0 |
| N342 | 342 | 24/525 | 0.0 | 87.9 | 179.9 | 278.0 | 383.6 | 500.0 |
| N351 | 351 | 80/99 | 0.0 | 87.3 | 179.7 | 278.2 | 384.3 | 500.0 |
| N352 | 352 | 80/381 | 0.0 | 87.3 | 179.7 | 278.2 | 384.3 | 500.0 |
| N361 | 361 | 40/99 | 0.0 | 87.3 | 179.7 | 278.2 | 384.3 | 500.0 |
| N362 | 362 | 40/330 | 0.0 | 87.3 | 179.7 | 278.2 | 384.3 | 500.0 |
| N731 | 731 | 40/33 | 0.0 | 87.3 | 179.7 | 278.2 | 384.3 | 500.0 |
| N741 | 741 | 20/33 | 0.0 | 87.3 | 179.7 | 278.2 | 384.3 | 500.0 |
तालिका 9.1.15: exO के सत्यापन परिणाम (संकेंद्रित ऊष्मा-अभिवाह समस्या)
| केस नाम | तत्व प्रकार | तत्व/नोड | छोर A से दूरी (m) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| छोर A | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8,0 | छोर B | |||
| वाणिज्यिक | 361 | 40/99 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| O231 | 231 | 40/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| O232 | 232 | 40/105 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| O241 | 241 | 20/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| O242 | 242 | 20/85 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.4 | 465.2 | 618.0 |
| O341 | 341 | 240/99 | - | - | - | - | - | - |
| O342 | 342 | 24/525 | 0.0 | 104.4 | 214.9 | 334.7 | 466.3 | 614.6 |
| O351 | 351 | 80/99 | - | - | - | - | - | - |
| O352 | 352 | 80/381 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 465.0 | 624.2 |
| O361 | 361 | 40/99 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| O362 | 362 | 40/330 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.4 | 465.5 | 623.5 |
| O731 | 731 | 40/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.5 |
| O741 | 741 | 20/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
तालिका 9.1.16: exP के सत्यापन परिणाम (वितरित ऊष्मा-अभिवाह समस्या)
| केस नाम | तत्व प्रकार | तत्व/नोड | छोर A से दूरी (m) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| छोर A | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8,0 | छोर B | |||
| वाणिज्यिक | 361 | 40/99 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| P231 | 231 | 40/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| P232 | 232 | 40/105 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| P241 | 241 | 20/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| P242 | 242 | 20/85 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| P341 | 341 | 240/99 | - | - | - | - | - | - |
| P342 | 342 | 24/525 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| P351 | 351 | 80/99 | - | - | - | - | - | - |
| P352 | 352 | 80/381 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| P361 | 361 | 40/99 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| P362 | 362 | 40/330 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.4 | 465.5 | 612.6 |
| P731 | 731 | 40/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.5 |
| P741 | 741 | 20/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
तालिका 9.1.17: exQ के सत्यापन परिणाम (संवहनी ऊष्मा-संचरण समस्या)
| केस नाम | तत्व प्रकार | तत्व/नोड | छोर A से दूरी (m) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| छोर A | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8,0 | छोर B | |||
| वाणिज्यिक | 361 | 40/99 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
| Q231 | 231 | 40/33 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
| Q232 | 232 | 40/105 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
| Q241 | 241 | 20/33 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
| Q242 | 242 | 20/85 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
| Q341 | 341 | 240/99 | - | - | - | - | - | - |
| Q342 | 342 | 24/525 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
| Q351 | 351 | 80/99 | - | - | - | - | - | - |
| Q352 | 352 | 80/381 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
| Q361 | 361 | 40/99 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
| Q362 | 362 | 40/330 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
| Q731 | 731 | 40/33 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
| Q741 | 741 | 20/33 | 0.0 | 89.2 | 183.8 | 284.8 | 393.9 | 513.2 |
तालिका 9.1.18: exR के सत्यापन परिणाम (विकिरण ऊष्मा-संचरण समस्या)
| केस नाम | तत्व प्रकार | तत्व/नोड | छोर A से दूरी (m) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| छोर A | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8,0 | छोर B | |||
| वाणिज्यिक | 361 | 40/99 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
| R231 | 231 | 40/33 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
| R232 | 232 | 40/105 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
| R241 | 241 | 20/33 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
| R242 | 242 | 20/85 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
| R341 | 341 | 240/99 | - | - | - | - | - | - |
| R342 | 342 | 24/525 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
| R351 | 351 | 80/99 | - | - | - | - | - | - |
| R352 | 352 | 80/381 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
| R361 | 361 | 40/99 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
| R362 | 362 | 40/330 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
| R731 | 731 | 40/33 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
| R741 | 741 | 20/33 | 0.0 | 89.5 | 184.4 | 285.8 | 395.3 | 515.2 |
तालिका 9.1.19: exS के सत्यापन परिणाम (आयतन ऊष्मा-उत्पादन समस्या)
| केस नाम | तत्व प्रकार | तत्व/नोड | छोर A से दूरी (m) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| छोर A | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8,0 | छोर B | |||
| वाणिज्यिक | 361 | 40/99 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| S231 | 231 | 40/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| S232 | 232 | 40/105 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| S241 | 241 | 20/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| S242 | 242 | 20/85 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| S341 | 341 | 240/99 | - | - | - | - | - | - |
| S342 | 342 | 24/525 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| S351 | 351 | 80/99 | - | - | - | - | - | - |
| S352 | 352 | 80/381 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| S361 | 361 | 40/99 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| S362 | 362 | 40/330 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| S731 | 731 | 40/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
| S741 | 741 | 20/33 | 0.0 | 103.2 | 213.7 | 333.3 | 464.8 | 612.6 |
तालिका 9.1.20: exT के सत्यापन परिणाम (आंतरिक अंतराल समस्या)
| केस नाम | तत्व प्रकार | तत्व/नोड | छोर A से दूरी (m) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| छोर A | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8,0 | छोर B | |||
| वाणिज्यिक | 361 | 40/99 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
| S231 | 231 | 40/33 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
| S232 | 232 | 40/105 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
| S241 | 241 | 20/33 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
| S242 | 242 | 20/85 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
| S341 | 341 | 240/99 | - | - | - | - | - | - |
| S342 | 342 | 24/525 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
| S351 | 351 | 80/99 | - | - | - | - | - | - |
| S352 | 352 | 80/381 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
| S361 | 361 | 40/99 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
| S362 | 362 | 40/330 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
| S731 | 731 | 40/33 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
| S741 | 741 | 20/33 | 0.0 | 88.6 | 182.4 | 282.6 | 387.7 | 500.0 |
रैखिक गतिशील विश्लेषण¶
exW में मद (1) वाले उसी कैंटिलीवर बीम पर रैखिक गतिशील विश्लेषण किया जाता है। चित्र 9.1.12 सत्यापन शर्तें दिखाता है। समान जाल विभाजन के लिए परिणामों पर समय-वृद्धि के प्रभाव का सत्यापन किया जाता है। तत्व प्रकार 361 और 342 के साथ अंतर्निहित तथा स्पष्ट दोनों समय-समाकलन विधियाँ उपयोग की जाती हैं। सत्यापन परिणाम तालिका 9.1.22 और चित्रों 9.1.13 से 9.1.15 में दिए गए हैं।
विश्लेषण मॉडल
बाह्य बल F का समय इतिहास
कंपन बिंदु विस्थापन का सैद्धांतिक समाधान निम्न है:
जहाँ
चित्र 9.1.12: रैखिक गतिशील विश्लेषण की सत्यापन शर्तें
सत्यापन शर्तें:
| लंबाई | \(L\) | \(10.0\ \mathrm{mm}\) |
| अनुप्रस्थ काट चौड़ाई | \(a\) | \(1.0\ \mathrm{mm}\) |
| अनुप्रस्थ काट ऊँचाई | \(b\) | \(1.0\ \mathrm{mm}\) |
| यंग मापांक | \(E\) | \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\) |
| पॉइसन अनुपात | \(\nu\) | \(0.3\) |
| घनत्व | \(\rho\) | \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\) |
| गुरुत्वीय त्वरण | \(g\) | \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\) |
| बाह्य बल | \(F_0\) | \(1.0\ \mathrm{kgf}\) |
| तत्व | षट्फलकीय रैखिक तत्व |
| द्वितीय-कोटि चतुष्फलकीय तत्व | |
| समाधान | अंतर्निहित विधि |
| Newmark-\(\beta\) विधि पैरामीटर \(\gamma\) | 1/2 |
| Newmark-\(\beta\) विधि का पैरामीटर \(\beta\) | 1/4 |
| स्पष्ट विधि | |
| अवमंदन | कोई नहीं |
तालिका 9.1.21: रैखिक गतिशील विश्लेषण की सत्यापन शर्तें (जारी)
| केस नाम | तत्व प्रकार | नोडों की संख्या | तत्वों की संख्या | समाधान विधि | समय-वृद्धि \(\Delta t\) (s) |
|---|---|---|---|---|---|
| W361_c0_im_m2_t1 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.0E-06 |
| W361_c0_im_m2_t2 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.0E-05 |
| W361_c0_im_m2_t3 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.0E-04 |
| W361_c0_ex_m2_t1 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.0E-08 |
| W361_c0_ex_m2_t2 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.0E-07 |
| W361_c0_ex_m2_t3 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.0E-06 |
| W342_c0_im_m2_t1 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.0E-06 |
| W342_c0_im_m2_t2 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.0E-05 |
| W342_c0_im_m2_t3 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.0E-04 |
| W342_c0_ex_m2_t1 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.0E-08 |
| W342_c0_ex_m2_t2 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 5.0E-08 |
| W342_c0_ex_m2_t3 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.0E-07 |
तालिका 9.1.22: exW (कैंटिलीवर) के रैखिक गतिशील विश्लेषण के सत्यापन परिणाम
| केस नाम | तत्व प्रकार | नोडों की संख्या | तत्वों की संख्या | विधि | समय \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) पर z-दिशा विस्थापन (mm) | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| W361_c0_im_m2_t1 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.9753 | 1.9302 |
| W361_c0_im_m2_t2 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.9753 | 1.8686 |
| W361_c0_im_m2_t3 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.9753 | 0.3794 |
| W361_c0_ex_m2_t1 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.9753 | 1.9302 |
| W361_c0_ex_m2_t2 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.9753 | 1.9247 |
| W361_c0_ex_m2_t3 | 361 | 99 | 40 | अंतर्निहित विधि | 1.9753 | अपसारित |
| W342_c0_im_m2_t1 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.9753 | 1.9431 |
| W342_c0_im_m2_t2 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.9753 | 1.8719 |
| W342_c0_im_m2_t3 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.9753 | 0.3873 |
| W342_c0_ex_m2_t1 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.9753 | 1.9359 |
| W342_c0_ex_m2_t2 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.9753 | 1.9358 |
| W342_c0_ex_m2_t3 | 342 | 525 | 240 | स्पष्ट विधि | 1.9753 | अपसारित |
चित्र 9.1.13: कैंटिलीवर का विरूपण आरेख और समतुल्य प्रतिबल वितरण
(a) तत्व प्रकार 361 : अंतर्निहित विधि
(b) तत्व प्रकार 361: स्पष्ट विधि
चित्र 9.1.14 उत्तेजना-बिंदु विस्थापन का समय इतिहास \(u_z\)
(a) तत्व प्रकार 342: अंतर्निहित विधि
(b) तत्व प्रकार 342: स्पष्ट विधि
चित्र 9.1.15: उत्तेजना-बिंदु विस्थापन का समय इतिहास \(u_z\)
आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण¶
इस सत्यापन में कैंटिलीवर बीम पर आवृत्ति-प्रतिक्रिया विश्लेषण किया जाता है और सामान्य-उद्देश्य वाणिज्यिक सॉल्वर के परिणामों से तुलना करके सत्यापित किया जाता है। विश्लेषण मॉडल और सत्यापन शर्तें नीचे दिखाई गई हैं।
विश्लेषण शर्तें:
| यंग मापांक | \(E\) | \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\) |
| पॉइसन अनुपात | \(\nu\) | \(0.3\) |
| घनत्व | \(\rho\) | \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\) |
| गुरुत्वीय त्वरण | \(g\) | \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\) |
| भार | \(F_0\) | \(1.0\ \mathrm{N}\) |
| Rayleigh अवमंदन पैरामीटर | \(R_m\) | \(0.0\) |
| Rayleigh अवमंदन पैरामीटर | \(R_k\) | \(7.2E-07\) |
चित्र 9.1.16 : विश्लेषण मॉडल (प्रथम-कोटि चतुष्फलकीय तत्व (126 तत्व और 55 नोड))
मोडल विश्लेषण से प्राप्त प्रथम पाँच प्राकृतिक आवृत्तियाँ और उत्तेजना-बिंदु की आवृत्ति प्रतिक्रिया निम्न हैं:
| मोड | FrontISTR | वाणिज्यिक |
|---|---|---|
| 1 | 14952 | 14952 |
| 2 | 15002 | 15003 |
| 3 | 84604 | 84539 |
| 4 | 84771 | 84697 |
| 5 | 127054 | 126852 |
चित्र 9.1.17 : कंपन बिंदुओं के विस्थापन परिमाण की आवृत्ति निर्भरता