Preskoči na sadržaj

Translation update pending

The Croatian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Numerička integracija

Vektori unutarnjih sila elementa \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) i matrica krutosti elementa \(\boldsymbol{K}^e\), dobiveni u Diskretizaciji unutarnjeg virtualnog rada i Vanjski virtualni rad i sastavljanje globalne jednadžbe, imaju oblik integrala po domeni elementa \(\Omega^e\) ili \(\Omega^e_0\). FrontISTR ih numerički izračunava Gaussovom kvadraturom.

Gaussova kvadratura i promjena varijabli

Gaussova kvadratura aproksimira integral po referentnoj domeni \(\Xi\) linearnom kombinacijom vrijednosti integranda u integracijskim točkama \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) i težina \(w_i\). Primjena na domenu elementa \(\Omega^e\) uključuje promjenu varijabli preko preslikavanja \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), pa vrijedi

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

gdje je \(n_q\) broj integracijskih točaka, a \(J_{\xi_i}\) determinanta Jacobijeve matrice transformacije. Referentna domena \(\Xi\) definirana je za svaki tip elementa (za heksaedar \([-1,1]^3\); za trokute, tetraedre i klinove odgovarajući referentni oblici), a integracijske točke \(\boldsymbol{\xi}_i\) i težine \(w_i\) zadane su numeričkim tablicama. Površinski integrali obrađuju se na isti način preslikavanjem strane elementa iz dvodimenzijske referentne domene.

Reprezentativni brojevi integracijskih točaka koje koristi FrontISTR prikazani su u nastavku (za vezu s tipovima elemenata vidi Shema numeriranja elemenata i biblioteka funkcija oblika).

Tip elementa Pravilo kvadrature Broj integracijskih točaka
4-čvorni tetraedar (tet4n) pravilo s 1 točkom 1
10-čvorni tetraedar (tet10n) pravilo s 4 točke 4
6-čvorna trokutna prizma (prism6n) pravilo s 2 točke 2
15-čvorna trokutna prizma (prism15n) pravilo s 9 točaka 9
8-čvorni heksaedar (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20-čvorni heksaedar (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4-čvorni četverokut (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8-čvorni četverokut (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3-čvorni trokut (tri3n) pravilo s 1 točkom 1
6-čvorni trokut (tri6n) pravilo s 3 točke 3

Za heksaedarske, četverokutne i linijske elemente koriste se tenzorski produkti Gauss-Legendreova pravila u svakom koordinatnom smjeru. Trokuti, tetraedri i trokutne prizme koriste posebna pravila prilagođena geometrijama simpleksnog tipa (rasporedi točaka koji polinome integriraju točno po samom trokutu).

Primjena na integraciju elementa

Pri integraciji elementa prirodne koordinate \(\boldsymbol{r}\) koriste se kao koordinate referentne domene (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), a preslikavanje u fizičke koordinate dano je interpolacijom koordinata čvorova pomoću funkcija oblika. Ovisno o izboru referentne konfiguracije (Okvir inkrementalne analize), koriste se sljedeće formulacije.

Totalna Lagrangeova metoda (integracija po referentnoj konfiguraciji \(\Omega^e_0\)): preslikavanje i Jacobijan su

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

a unutarnja sila elementa i matrica krutosti aproksimiraju se kao

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Sve veličine \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) vrednuju se u integracijskoj točki \(\boldsymbol{r}_i\).

Ažurirana Lagrangeova metoda (integracija po trenutačnoj konfiguraciji \(\Omega^e\)): preslikavanje i Jacobijan su

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

i

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

koriste se kao aproksimacije.

Jedina razlika između dviju formulacija jest jesu li koordinate čvorova dane preslikavanju \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ili \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integracijske točke, težine i struktura petlje po integracijskim točkama zajedničke su.

Potpuna i reducirana integracija

Integracija s dovoljnim brojem integracijskih točaka za točno integriranje polinomskog stupnja integranda naziva se potpuna integracija, dok se integracija s jednom razinom manje integracijskih točaka naziva reducirana integracija. Reducirana integracija koristi se za ublažavanje smičnog i volumenskog blokiranja, ali zahtijeva obradu neželjenih deformacijskih modova kao što su hourglass modovi. Broj integracijskih točaka za svaki tip elementa i izbor između potpune i reducirane integracije obrađeni su u Shemi numeriranja elemenata i biblioteci funkcija oblika i sljedećim odjeljcima te u Naprednim formulacijama elemenata.

Povezane teme