Preskoči na sadržaj

Translation update pending

The Croatian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Popis simbola fizikalnih veličina

Ova stranica navodi simbole fizikalnih veličina koji se upotrebljavaju u teorijskom priručniku FrontISTR-a. Za konvencije notacije (podebljana notacija vektora i tenzora, Einsteinova konvencija zbrajanja i Voigtova notacija) pogledajte Tenzorsku notaciju i matematičke osnove.

Konfiguracije i koordinatni sustavi

Simbol Opis
\(\boldsymbol{X}\) Vektor položaja materijalne točke u referentnoj (početnoj) konfiguraciji (materijalne koordinate)
\(\boldsymbol{x}\) Vektor položaja materijalne točke u trenutačnoj konfiguraciji (prostorne koordinate)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Preslikavanje gibanja: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Domena koju tijelo zauzima u referentnoj konfiguraciji
\(\Omega\) Domena koju tijelo zauzima u trenutačnoj konfiguraciji
\(\Gamma_0\) Granica \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Granica \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrijska granica (pomak): granica u trenutačnoj/referentnoj konfiguraciji na kojoj je zadano \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mehanička granica: granica u trenutačnoj/referentnoj konfiguraciji na kojoj je zadano \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ili \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Vanjski jedinični vektor normale na plohu u trenutačnoj konfiguraciji
\(\boldsymbol{N}\) Vanjski jedinični vektor normale na plohu u referentnoj konfiguraciji
\(t\) Vrijeme

Konvencija: Fizikalne veličine u referentnoj konfiguraciji označavaju se velikim slovima ili donjim indeksom \(0\), dok se veličine u trenutačnoj konfiguraciji označavaju malim slovima.

Vrijeme i prirasti (inkrementalna analiza)

Simbol Opis
\(\Delta t\) Vremenski prirast: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fizikalna veličina u vremenu \(t\) (lijevi gornji indeks). Primjer: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyjevo naprezanje u vremenu \(t\)
\(^{t}\Omega\) Domena trenutačne konfiguracije u vremenu \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Granica trenutačne konfiguracije u vremenu \(t\)

Konvencija: U inkrementalnoj analizi stanje do vremena \(t\) smatra se poznatim, a stanje u vremenu \(t + \Delta t\) rješava se kao nepoznato. Lijevi gornji indeks izostavlja se kada vrijeme nije potrebno izričito navesti. Formulacija koja kao referencu koristi referentnu konfiguraciju \(\Omega_0\) naziva se totalna Lagrangeova formulacija, a formulacija koja kao referencu koristi trenutačnu konfiguraciju \(^{t}\Omega\) na početku prirasta naziva se ažurirana Lagrangeova formulacija.

Pomak, brzina, ubrzanje i volumna sila

Simbol Opis
\(\boldsymbol{u}\) Vektor pomaka: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Pomak zadan na geometrijskoj granici \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtualni pomak (testna funkcija): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) na \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vektor brzine: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vektor ubrzanja: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Volumna sila (po jedinici mase)
\(\boldsymbol{t}\) Vektor površinske sile (po jedinici površine): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Površinska sila zadana na mehaničkoj granici \(\Gamma_t\) (Neumannovi podaci)

Diferencijalni operatori

Simbol Opis
\(\dot{(\cdot)}\) Materijalna vremenska derivacija (vremenska derivacija koja prati istu materijalnu točku): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradijent u referentnoj konfiguraciji (gradijent po materijalnim koordinatama \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradijent u trenutačnoj konfiguraciji (gradijent po prostornim koordinatama \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operator simetričnog gradijenta: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Napomena: \(\nabla_X\) i \(\nabla_x\) povezani su odnosom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradijent bez donjeg indeksa, \(\nabla\), upotrebljava se kada je konfiguracija jasna iz konteksta ili kada razlika nestaje, kao u problemima malih deformacija.

Tenzori deformacije

Simbol Opis
\(\boldsymbol{F}\) Tenzor gradijenta deformacije: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Omjer volumena: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Desni Cauchy-Greenov tenzor deformacije: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Lijevi Cauchy-Greenov tenzor deformacije: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tenzor gradijenta brzine: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tenzor brzine deformacije (simetrični dio \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tenzor spina (antisimetrični dio \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tenzori deformacije

Simbol Opis
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrangeov tenzor deformacije (referentna konfiguracija): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansijev tenzor deformacije (trenutačna konfiguracija): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Linearni dio Almansijeva tenzora deformacije (simetrični gradijent pomaka u trenutačnoj konfiguraciji): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tenzor infinitezimalne deformacije (linearna aproksimacija): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Napomena: \(\boldsymbol{E}\) upotrebljava se prvenstveno u totalnoj Lagrangeovoj formulaciji, dok se \(\boldsymbol{D}\) prvenstveno upotrebljava u ažuriranoj Lagrangeovoj formulaciji.

Tenzori naprezanja

Simbol Opis
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchyjev tenzor naprezanja (stvarno naprezanje, trenutačna konfiguracija): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Prvi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja (nominalno naprezanje): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Drugi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja (referentna konfiguracija, simetričan): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Odnosi pretvorbe između tenzora naprezanja:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvencija: Totalna Lagrangeova formulacija koristi par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), dok ažurirana Lagrangeova formulacija koristi par \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Gustoća i masa

Simbol Opis
\(\rho\) Gustoća mase u trenutačnoj konfiguraciji
\(\rho_0\) Gustoća mase u referentnoj konfiguraciji

Očuvanje mase: \(\rho_0 = J\rho\).

Materijalne konstante (linearna elastičnost)

Simbol Opis
\(E\) Youngov modul
\(\nu\) Poissonov omjer
\(\lambda\) Prva Laméova konstanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Druga Laméova konstanta (modul smicanja): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tenzor elastičnosti (četvrtog reda): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponente \(C_{ijkl}\)
\(D\) (ili \(\hat{\tilde{C}}\)) Materijalna matrica (Voigtova notacija, \(6\times6\) u 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Komponente tenzora elastičnosti za izotropni linearno elastični materijal:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hiperelastični materijali

Simbol Opis
\(W(\boldsymbol{C})\) Funkcija elastičnog potencijala (funkcija gustoće energije deformacije)
\(I_1, I_2, I_3\) Glavne invarijante desnog Cauchy-Greenova tenzora \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Reducirane invarijante \(\boldsymbol{C}\) (izdvojena volumenska promjena)
\(C_1, C_2\) Materijalne konstante Mooney-Rivlinova modela
\(D\) Materijalna konstanta povezana s volumenskom elastičnošću

Elastoplastični materijali

Simbol Opis
\(\boldsymbol{D}^e\) Elastična komponenta tenzora brzine deformacije
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastična komponenta tenzora brzine deformacije
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funkcija tečenja
\(\kappa\) Unutarnja varijabla koja predstavlja plastično stanje (varijabla izotropnog očvršćivanja)
\(\lambda^p\) Plastični multiplikator (multiplikator brzine plastične deformacije): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastični potencijal (\(\Theta = F\) za pridruženo pravilo tečenja)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalentno naprezanje (npr. von Misesovo naprezanje)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalentna plastična deformacija
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funkcija izotropnog očvršćivanja

Uvjet komplementarnosti: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metoda konačnih elemenata

Simbol Opis
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Domene u trenutačnoj i referentnoj konfiguraciji aproksimirane diskretizacijom konačnim elementima: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Domena elementa u trenutačnoj i referentnoj konfiguraciji
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Dio granice elementa koji pripada mehaničkoj granici
\(\boldsymbol{r}\) Prirodne koordinate (lokalne koordinate elementa)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Točka u prirodnim koordinatama koja odgovara čvoru \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Funkcija oblika koja odgovara čvoru \(\alpha\) elementa \(e\)
\(n_e\) Broj čvorova koji čine element
\(n_g\) Ukupan broj globalnih čvorova
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Koordinate i pomak čvora elementa \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Čvorni vektori koordinata i pomaka elementa: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) itd.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globalni čvorni vektori koordinata i pomaka (redoslijed po broju čvora, zatim po stupnju slobode)
\(\boldsymbol{B}\) Matrica odnosa deformacija–pomak (B-matrica)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matrica funkcija oblika: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) je blok \(d \times d\) s funkcijom oblika \(N_\alpha^e\) za čvor \(\alpha\) na dijagonali, a \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matrica krutosti elementa
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrandi matrice krutosti elementa (izraženi u referentnoj i trenutačnoj konfiguraciji): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL formulacija), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL formulacija) Vektor unutarnjih sila elementa
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Čvorna vanjska sila koja djeluje na čvor elementa \(\alpha\) i čvorni vektor vanjskih sila elementa: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globalni vektor unutarnjih sila i globalni vektor vanjskih sila: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogno za \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Čvorna unutarnja i čvorna vanjska sila u globalnom čvoru \(i_g\) (čvorni blokovi \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Globalna tangentna matrica krutosti: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrica nastala postavljanjem bloka \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) u redak \(i_g\), stupac \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vektor reziduala u Newton-Raphsonovoj iteraciji: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korekcija u Newton-Raphsonovoj iteraciji (dobiva se rješavanjem linearne jednadžbe \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) u iteraciji \(i\))
\(i_g\) Broj globalnog čvora (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Broj globalnog čvora koji odgovara lokalnom broju čvora \(\alpha\) elementa \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Skup parova \((e, \alpha)\) koji odgovaraju broju globalnog čvora \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Upotrebljava se pri sastavljanju
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Skup trojki \((e, \alpha, \beta)\) koje odgovaraju paru brojeva globalnih čvorova \((i_g, i_h)\); upotrebljava se za sastavljanje matrice krutosti
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indeksi čvorova koji čine element
\(i, j, k, l, \ldots\) Indeksi stupnjeva slobode (\(1, 2, 3\) u 3D)

Napredni i konstrukcijski elementi

Simbol Opis
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matrica odnosa deformacija–pomak čiji je volumenski dio izmijenjen B-bar metodom (volumenska komponenta zamjenjuje se B-matricom izračunanom u središtu elementa)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradijent deformacije čiji je volumenski dio izmijenjen F-bar metodom: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Omjer volumena gradijenta deformacije izračunanog u središtu elementa \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vektor unutarnjih stupnjeva slobode za element s nekompatibilnim modovima (koeficijenti dodatnih modova pomaka koji ne nameću kontinuitet na granici elementa)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Funkcije oblika za nekompatibilne modove: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Debljina ljuskastog elementa
\(A\) Površina poprečnog presjeka grednog elementa
\(I\) Drugi moment površine poprečnog presjeka grednog elementa (oko lokalnih osi \(y\) i \(z\) označava se s \(I_y\) i \(I_z\))
\(G\) Modul smicanja: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
\(L\) Duljina grednog elementa
\(A_s\) Posmična površina poprečnog presjeka grednog elementa (u FrontISTR-u je \(A_s = A\))
\(\Phi_y, \Phi_z\) Koeficijenti koji predstavljaju doprinos posmične deformacije Timoshenkove grede: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\)

Povezane teme