Popis simbola fizikalnih veličina
Ova stranica navodi simbole fizikalnih veličina koji se upotrebljavaju u teorijskom priručniku FrontISTR-a. Za konvencije notacije (podebljana notacija vektora i tenzora, Einsteinova konvencija zbrajanja i Voigtova notacija) pogledajte Tenzorsku notaciju i matematičke osnove.
Konfiguracije i koordinatni sustavi
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{X}\) | Vektor položaja materijalne točke u referentnoj (početnoj) konfiguraciji (materijalne koordinate) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Vektor položaja materijalne točke u trenutačnoj konfiguraciji (prostorne koordinate) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Preslikavanje gibanja: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Domena koju tijelo zauzima u referentnoj konfiguraciji |
| \(\Omega\) | Domena koju tijelo zauzima u trenutačnoj konfiguraciji |
| \(\Gamma_0\) | Granica \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Granica \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrijska granica (pomak): granica u trenutačnoj/referentnoj konfiguraciji na kojoj je zadano \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mehanička granica: granica u trenutačnoj/referentnoj konfiguraciji na kojoj je zadano \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ili \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Vanjski jedinični vektor normale na plohu u trenutačnoj konfiguraciji |
| \(\boldsymbol{N}\) | Vanjski jedinični vektor normale na plohu u referentnoj konfiguraciji |
| \(t\) | Vrijeme |
Konvencija: Fizikalne veličine u referentnoj konfiguraciji označavaju se velikim slovima ili donjim indeksom \(0\), dok se veličine u trenutačnoj konfiguraciji označavaju malim slovima.
Vrijeme i prirasti (inkrementalna analiza)
| Simbol | Opis |
| \(\Delta t\) | Vremenski prirast: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fizikalna veličina u vremenu \(t\) (lijevi gornji indeks). Primjer: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyjevo naprezanje u vremenu \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Domena trenutačne konfiguracije u vremenu \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Granica trenutačne konfiguracije u vremenu \(t\) |
Konvencija: U inkrementalnoj analizi stanje do vremena \(t\) smatra se poznatim, a stanje u vremenu \(t + \Delta t\) rješava se kao nepoznato. Lijevi gornji indeks izostavlja se kada vrijeme nije potrebno izričito navesti. Formulacija koja kao referencu koristi referentnu konfiguraciju \(\Omega_0\) naziva se totalna Lagrangeova formulacija, a formulacija koja kao referencu koristi trenutačnu konfiguraciju \(^{t}\Omega\) na početku prirasta naziva se ažurirana Lagrangeova formulacija.
Pomak, brzina, ubrzanje i volumna sila
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vektor pomaka: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Pomak zadan na geometrijskoj granici \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtualni pomak (testna funkcija): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) na \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vektor brzine: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vektor ubrzanja: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Volumna sila (po jedinici mase) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vektor površinske sile (po jedinici površine): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Površinska sila zadana na mehaničkoj granici \(\Gamma_t\) (Neumannovi podaci) |
Diferencijalni operatori
| Simbol | Opis |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materijalna vremenska derivacija (vremenska derivacija koja prati istu materijalnu točku): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradijent u referentnoj konfiguraciji (gradijent po materijalnim koordinatama \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradijent u trenutačnoj konfiguraciji (gradijent po prostornim koordinatama \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Operator simetričnog gradijenta: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Napomena: \(\nabla_X\) i \(\nabla_x\) povezani su odnosom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradijent bez donjeg indeksa, \(\nabla\), upotrebljava se kada je konfiguracija jasna iz konteksta ili kada razlika nestaje, kao u problemima malih deformacija.
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tenzor gradijenta deformacije: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Omjer volumena: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Desni Cauchy-Greenov tenzor deformacije: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Lijevi Cauchy-Greenov tenzor deformacije: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tenzor gradijenta brzine: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tenzor brzine deformacije (simetrični dio \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tenzor spina (antisimetrični dio \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrangeov tenzor deformacije (referentna konfiguracija): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansijev tenzor deformacije (trenutačna konfiguracija): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Linearni dio Almansijeva tenzora deformacije (simetrični gradijent pomaka u trenutačnoj konfiguraciji): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tenzor infinitezimalne deformacije (linearna aproksimacija): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Napomena: \(\boldsymbol{E}\) upotrebljava se prvenstveno u totalnoj Lagrangeovoj formulaciji, dok se \(\boldsymbol{D}\) prvenstveno upotrebljava u ažuriranoj Lagrangeovoj formulaciji.
Tenzori naprezanja
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchyjev tenzor naprezanja (stvarno naprezanje, trenutačna konfiguracija): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Prvi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja (nominalno naprezanje): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Drugi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja (referentna konfiguracija, simetričan): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Odnosi pretvorbe između tenzora naprezanja:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvencija: Totalna Lagrangeova formulacija koristi par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), dok ažurirana Lagrangeova formulacija koristi par \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Gustoća i masa
| Simbol | Opis |
| \(\rho\) | Gustoća mase u trenutačnoj konfiguraciji |
| \(\rho_0\) | Gustoća mase u referentnoj konfiguraciji |
Očuvanje mase: \(\rho_0 = J\rho\).
Materijalne konstante (linearna elastičnost)
| Simbol | Opis |
| \(E\) | Youngov modul |
| \(\nu\) | Poissonov omjer |
| \(\lambda\) | Prva Laméova konstanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Druga Laméova konstanta (modul smicanja): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tenzor elastičnosti (četvrtog reda): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponente \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (ili \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materijalna matrica (Voigtova notacija, \(6\times6\) u 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Komponente tenzora elastičnosti za izotropni linearno elastični materijal:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hiperelastični materijali
| Simbol | Opis |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Funkcija elastičnog potencijala (funkcija gustoće energije deformacije) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Glavne invarijante desnog Cauchy-Greenova tenzora \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Reducirane invarijante \(\boldsymbol{C}\) (izdvojena volumenska promjena) |
| \(C_1, C_2\) | Materijalne konstante Mooney-Rivlinova modela |
| \(D\) | Materijalna konstanta povezana s volumenskom elastičnošću |
Elastoplastični materijali
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastična komponenta tenzora brzine deformacije |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastična komponenta tenzora brzine deformacije |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Funkcija tečenja |
| \(\kappa\) | Unutarnja varijabla koja predstavlja plastično stanje (varijabla izotropnog očvršćivanja) |
| \(\lambda^p\) | Plastični multiplikator (multiplikator brzine plastične deformacije): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastični potencijal (\(\Theta = F\) za pridruženo pravilo tečenja) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekvivalentno naprezanje (npr. von Misesovo naprezanje) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekvivalentna plastična deformacija |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Funkcija izotropnog očvršćivanja |
Uvjet komplementarnosti: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Metoda konačnih elemenata
| Simbol | Opis |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Domene u trenutačnoj i referentnoj konfiguraciji aproksimirane diskretizacijom konačnim elementima: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Domena elementa u trenutačnoj i referentnoj konfiguraciji |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Dio granice elementa koji pripada mehaničkoj granici |
| \(\boldsymbol{r}\) | Prirodne koordinate (lokalne koordinate elementa) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Točka u prirodnim koordinatama koja odgovara čvoru \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Funkcija oblika koja odgovara čvoru \(\alpha\) elementa \(e\) |
| \(n_e\) | Broj čvorova koji čine element |
| \(n_g\) | Ukupan broj globalnih čvorova |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Koordinate i pomak čvora elementa \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Čvorni vektori koordinata i pomaka elementa: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) itd. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globalni čvorni vektori koordinata i pomaka (redoslijed po broju čvora, zatim po stupnju slobode) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matrica odnosa deformacija–pomak (B-matrica) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matrica funkcija oblika: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) je blok \(d \times d\) s funkcijom oblika \(N_\alpha^e\) za čvor \(\alpha\) na dijagonali, a \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matrica krutosti elementa |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrandi matrice krutosti elementa (izraženi u referentnoj i trenutačnoj konfiguraciji): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL formulacija), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL formulacija) | Vektor unutarnjih sila elementa |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Čvorna vanjska sila koja djeluje na čvor elementa \(\alpha\) i čvorni vektor vanjskih sila elementa: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globalni vektor unutarnjih sila i globalni vektor vanjskih sila: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogno za \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Čvorna unutarnja i čvorna vanjska sila u globalnom čvoru \(i_g\) (čvorni blokovi \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globalna tangentna matrica krutosti: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrica nastala postavljanjem bloka \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) u redak \(i_g\), stupac \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vektor reziduala u Newton-Raphsonovoj iteraciji: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korekcija u Newton-Raphsonovoj iteraciji (dobiva se rješavanjem linearne jednadžbe \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) u iteraciji \(i\)) |
| \(i_g\) | Broj globalnog čvora (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Broj globalnog čvora koji odgovara lokalnom broju čvora \(\alpha\) elementa \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Skup parova \((e, \alpha)\) koji odgovaraju broju globalnog čvora \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Upotrebljava se pri sastavljanju |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Skup trojki \((e, \alpha, \beta)\) koje odgovaraju paru brojeva globalnih čvorova \((i_g, i_h)\); upotrebljava se za sastavljanje matrice krutosti |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indeksi čvorova koji čine element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indeksi stupnjeva slobode (\(1, 2, 3\) u 3D) |
Napredni i konstrukcijski elementi
| Simbol | Opis |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matrica odnosa deformacija–pomak čiji je volumenski dio izmijenjen B-bar metodom (volumenska komponenta zamjenjuje se B-matricom izračunanom u središtu elementa) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Gradijent deformacije čiji je volumenski dio izmijenjen F-bar metodom: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Omjer volumena gradijenta deformacije izračunanog u središtu elementa \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vektor unutarnjih stupnjeva slobode za element s nekompatibilnim modovima (koeficijenti dodatnih modova pomaka koji ne nameću kontinuitet na granici elementa) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Funkcije oblika za nekompatibilne modove: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Debljina ljuskastog elementa |
| \(A\) | Površina poprečnog presjeka grednog elementa |
| \(I\) | Drugi moment površine poprečnog presjeka grednog elementa |
| \(G\) | Modul smicanja: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Povezane teme