Preskoči na sadržaj

Kriteriji konvergencije

Kao uvjet za prekid Newton-Raphsonove iteracije (Newton-Raphsonova metoda), FrontISTR koristi dvije obitelji bezdimenzijskih veličina: kriterij norme reziduala i kriterij norme korekcije. Oba imaju istu definiciju, neovisno o vrsti analize (statička analiza, dinamička analiza implicitnom metodom) i o prisutnosti kontakta.

Podjela veličina za procjenu

Stupnjevi slobode čvorova sadrže komponente različitih fizičkih dimenzija. Kod elemenata s 6 stupnjeva slobode reziduali translacijskih stupnjeva slobode imaju dimenziju sile, dok reziduali rotacijskih stupnjeva slobode imaju dimenziju momenta. Osim toga, u kontaktnoj analizi metodom Lagrangeovih množitelja (Kontaktna analiza) vektoru reziduala dodaju se redovi koji odgovaraju kontaktnom razmaku (dimenzija duljine).

Kada bi se te veličine sažele u jedan zbroj kvadrata, vrijednost norme proizvoljno bi se mijenjala ovisno o odabiru jediničnog sustava, a značenje praga ne bi bilo određeno. Zato FrontISTR veličine za procjenu dijeli prema dimenzijama, svaku ih bezdimenzijski normalizira s pripadnom referentnom veličinom i tek tada vrši procjenu.

Simbol Komponenta Dimenzija
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Reziduali translacijskih stupnjeva slobode (stupnjevi slobode čvorova 1–3) Sila
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Reziduali rotacijskih stupnjeva slobode (stupnjevi slobode čvorova 4–6, samo elementi s 6 stupnjeva slobode) Moment
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Korekcija Lagrangeovog množitelja Sila

Stupanj slobode tlaka elemenata s vezanjem fluida (4 stupnja slobode čvorova, \(u,v,w,p\)) ne uključuje se u procjenu.

Kod gređnih i ljuskastih elemenata s 3 stupnja slobode čvorova (641/761/781) rotacije se izražavaju stupnjevima slobode 1–3 lažnih čvorova koji su upareni s translacijskim čvorovima. Budući da procjena ne razlikuje lažne čvorove, reziduali lažnih čvorova (momenti) također su sadržani u translacijskoj komponenti \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Isto vrijedi i za kriterij norme korekcije i za procjenu po maksimalnoj vrijednosti.

Rezidual \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) ne sadrži komponente stupnjeva slobode kojima su nametnuta ograničenja pomaka. To je zato što reziduali koji se javljaju na tim stupnjevima slobode odgovaraju reakcijskim silama ograničenja, a ne pogreškama ravnoteže (Newton-Raphsonova metoda).

Kriterij norme reziduala

Rezidual \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) na \(i\)-toj iteraciji bezdimenzijski se normalizira s veličinom sila prisutnih u sustavu u tom trenutku. Referentna sila \(F_\mathrm{ref}\) za translacijsku komponentu i referentni moment \(M_\mathrm{ref}\) za rotacijsku komponentu određuju se kao

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

gdje je \(\boldsymbol{Q}\) vektor unutrašnjih sila, a \(\boldsymbol{D}\) zbroj inersijskih i viskoznih sila

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(Dinamička analiza). U statičkoj analizi vrijedi \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Indeks \(t, r\) označava translacijsku, odnosno rotacijsku komponentu iz prethodne sekcije. Veličine za procjenu su

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

Referentna veličina uzima se kao maksimalna vrijednost normi unutrašnjih sila i inersijskih te viskoznih sila, a ne kao njihov vektorski zbroj \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\), jer je u slobodnim vibracijama bez vanjskih sila u stanju ravnoteže \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) i referentna veličina temeljena na vektorskom zbroju spustila bi se na \(0\). Kod maksimalne vrijednosti normi to poništavanje ne dolazi do izražaja.

Ako se referentna veličina spusti ispod unaprijed određene donje granice (\(10^{-8}\)) (primjerice kod prve iteracije započete iz stanja bez opterećenja), ne dijeli se s referentnom veličinom, već se sama norma reziduala uzima za veličinu za procjenu. U tom slučaju procjena se temelji na apsolutnoj vrijednosti reziduala.

Kriterij norme korekcije

Korekcija \(d\boldsymbol{u}_i\) dobivena na \(i\)-toj iteraciji bezdimenzijski se normalizira s prirastom pomaka \(\Delta\boldsymbol{u}\) akumuliranim do tada u tom podkoraku.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Činjenica da je korekcija u odnosu na akumulirani prirast postala dovoljno mala znači da se iteracija zaustavila. Koristi se kao pomoćna procjena za zadatke kod kojih se rezidual smanjuje samo postepeno. Ako je nazivnik \(0\), smatra se da ovaj kriterij nije zadovoljen.

Kriterij Lagrangeovih množitelja

U kontaktnoj analizi metodom Lagrangeovih množitelja, uz veličine za procjenu dodaje se korekcija množitelja bezdimenzijski normalizirana s veličinom samih množitelja:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Budući da su ograničenja kontaktnog razmaka u sustav jednadžbi uključena kao jednadžbe za Lagrangeove množitelje, ako su množitelji konvergirani, smatra se da su ograničenja zadovoljena. Sami reziduali razmaka, koji imaju dimenziju duljine, ne uključuju se u kriterij norme reziduala jer se ne mogu zbrojivati s rezidualima sila.

Lagrangeovi množitelji sile su kontakta i imaju istu dimenziju kao referentna sila \(F_\mathrm{ref}\), zato se nazivnik ispod ograničava s \(F_\mathrm{ref}\). Bezdimenzijska normalizacija samo s \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) učinila bi procjenu bezmjerno strogom kada kontakt gotovo nema opterećenja, a kod čvorova koji su upravo došli u kontakt vrijedi \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) uz \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), pa procjenu ne bi bilo moguće zadovoljiti. Postupak kada se nazivnik spusti ispod donje granice isti je kao kod kriterija norme reziduala.

Procjena po maksimalnoj vrijednosti

Budući da je L2 norma zbroj kvadrata po svim stupnjevima slobode, rezidual koji preostaje samo na nekim čvorovima s povećanjem broja čvorova sve se više razrjeđuje u cjelini i procjenjuje se kao manji. Da bi se uhvatile lokalno neravnotežna stanja, poput onih na kontaktnim čvorovima, može se istodobno koristiti i procjena dobivena zamjenom L2 norme s maksimalnom vrijednošću apsolutnih vrijednosti komponenti stupnjeva slobode u svakom od kriterija iz dosadašnjih sekcija.

Maksimalna vrijednost translacijske komponente vektora \(\boldsymbol{v}\) određuje se za čvor \(I\) i stupanj slobode čvorova \(k\) kao

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Rotacijska komponenta \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) određuje se na isti način za \(k = 4,5,6\), a za Lagrangeove množitelje uzima se maksimalna vrijednost apsolutnih vrijednosti svih komponenti. Veličine za procjenu dobivaju se zamjenom L2 norme u svakom kriteriju, i u brojniku i u nazivniku, s ovom maksimalnom vrijednošću.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Rotacijske komponente tretiraju se slično. Postupak kada se referentna veličina spusti ispod donje granice i kada je nazivnik \(0\) isti je kao kod kriterija L2 norme.

Referentne veličine također se uzimaju kao maksimalne vrijednosti istog oblika kako bi se veličina veličina za procjenu održala u razini usporedivoj s kriterijima L2 norme i kako bi se mogle koristiti s približno jednakim pragovima. Ne dijeli se s posebnom referentnom veličinom za svaku komponentu stupnjeva slobode, jer se u smjerovima bez opterećenja referentna veličina približava \(0\) i veličina za procjenu gubi značenje.

Kod procjene po maksimalnoj vrijednosti određuju se čvor i stupanj slobode koji daju maksimalnu vrijednost. FrontISTR to za rezidual i korekciju izlaže u zapisniku za svaku iteraciju.

Kombinacija procjena

Svaka od dosad navedenih veličina za procjenu (rezidual, korekcija i Lagrangeov množitelj, za translacijske i rotacijske komponente, razlikujući L2 normu i maksimalnu vrijednost) može se pojedinačno odrediti da se koristi u procjeni (CHECK) ili ne (SKIP). Zadano je da su sve procjene temeljene na L2 normi CHECK, a sve procjene temeljene na maksimalnoj vrijednosti SKIP.

Ako je zadovoljen bilo koji od kriterija norme reziduala i kriterija norme korekcije, smatra se da je postignuta konvergencija. Kriterij Lagrangeovih množitelja pak, budući da je potvra da su ograničenja kontakta zadovoljena, u analizama u kojima Lagrangeovi množitelji postoje uvijek se zahtijeva. Unutar jednog kriterija moraju biti zadovoljene sve stavke označene kao CHECK, i među translacijskom i rotacijskom komponentom i između L2 norme i maksimalne vrijednosti.

Da bi se to izrazilo formulama, za skup veličina za procjenu \(G\) definiraju se sljedeće dvije:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ je zadovoljena} \ \vee\ m \text{ je označena kao SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ je označena kao CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) je istinito ako u \(G\) ne postoji nijedna veličina za procjenu označena kao CHECK. Uvjet konvergencije je

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{kriterij Lagrangeovih množitelja}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{kriterij norme korekcije}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{kriterij norme korekcije}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{kriterij norme reziduala}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{kriterij norme reziduala}) \right) \right\} \]

Dodavanje \(\mathrm{any\_check}\) dva skupa povezana "ili" sprječava da skup bez ijedne veličine za procjenu označene kao CHECK prođe procjenu nekontrolirano. Rotacijska komponenta u analizama bez rotacijskih stupnjeva slobode i kriterij Lagrangeovih množitelja u analizama bez Lagrangeovih množitelja u procjeni se ne koriste čak ni ako je navedeno CHECK. Uz zadano postavljanje uvjet konvergencije je

\[ \left( \text{kriterij Lagrangeovih množitelja} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{kriterij norme korekcije} \right) \ \vee\ \left( \text{kriterij norme reziduala} \right) \right\} \]

tako da se u analizama s rotacijskim stupnjevima slobode procjenjuju i translacijska i rotacijska komponenta, a u analizama bez Lagrangeovih množitelja procjenjuje se uvjet bez kriterija Lagrangeovih množitelja.

Način navođenja i zadane vrijednosti pragova \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) procjena temeljenih na L2 normi navedeni su u !STEP, postavke CHECK/SKIP i pragovi procjena temeljenih na maksimalnoj vrijednosti u !CONVERG_PARAM, a za smjernice za odabir među njima vidi Nelinearne iteracije i vremenska integracija (funkcija).

Povezane teme