Modalna analiza¶

Generalizirani problem svojstvenih vrijednosti¶

Pri analizi slobodnih vibracija kontinuuma konstrukcija se prostorno diskretizira i modelira kao sustav s više stupnjeva slobode i koncentriranim masama, kao što je prikazano na slici 2.3.1. Za problem neprigušenih slobodnih vibracija upravljačka jednadžba (jednadžba gibanja) glasi kako slijedi.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Ovdje je $u$ generalizirani vektor pomaka, $M$ matrica mase, a $K$ matrica krutosti. Neka je $\omega$ vlastita kružna frekvencija, neka su $a$ i $b$ proizvoljne konstante koje nisu istodobno jednake nuli te neka je $x$ vektor. Definira se funkcija

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Njezina druga derivacija glasi

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Uvrštavanjem jednadžbe $\eqref{eq:2.3.2}$ i jednadžbe $\eqref{eq:2.3.3}$ u jednadžbu $\eqref{eq:2.3.1}$ dobiva se

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Time se dobiva gornja jednadžba.

Za netrivijalnu vibraciju izraz $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ nije identički jednak nuli.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Stoga slijedi gornja relacija. Ako se postavi $\lambda=\omega^2$, dobiva se

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Time se dobiva gornja jednadžba.

Skalar $\lambda$ naziva se svojstvenom vrijednošću, vektor $x$ svojstvenim vektorom, a problem izražen jednadžbom $\eqref{eq:2.3.5}$ naziva se generaliziranim problemom svojstvenih vrijednosti.

Vlastita kružna frekvencija $\omega$ dobiva se iz svojstvene vrijednosti $\lambda=\omega^2$, a pripadni svojstveni vektor $x$ predstavlja oblik vibriranja.

Primjer sustava s više stupnjeva slobode za neprigušene slobodne vibracije

Slika 2.3.1 Primjer sustava s više stupnjeva slobode za neprigušene slobodne vibracije

Svojstva matrica i pretpostavke¶

Za generalizirani problem svojstvenih vrijednosti $Kx=\lambda Mx$, dobiven u prethodnom odjeljku, u ovom se priručniku pretpostavlja da su matrice simetrične. Za kompleksne matrice to odgovara hermitskim matricama, a za realne matrice simetričnim matricama.

Neka je $k_{ij}$ element $ij$ matrice $K$. Hermitsko svojstvo glasi

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

kako je izraženo gornjom jednadžbom, pri čemu je $\bar{k}_{ji}$ kompleksno konjugirana vrijednost od $k_{ji}$. Za realne matrice ta relacija postaje $k_{ij}=k_{ji}$.

Realna simetrična matrica $H$ je pozitivno definitna ako za svaki nenulti vektor $x$

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

vrijedi gornja nejednakost. U tom su slučaju sve svojstvene vrijednosti matrice $H$ pozitivne.

U strukturnom problemu svojstvenih vrijednosti matrica mase $M$ obično se smatra pozitivno definitnom. Matrica krutosti $K$, međutim, ovisno o ograničenjima može biti pozitivno semidefinitna i može imati nulte svojstvene vrijednosti koje odgovaraju modovima krutog tijela.

Pomaknuta inverzna iteracija¶

U praktičnoj strukturnoj analizi metodom konačnih elemenata uglavnom nisu potrebne sve svojstvene vrijednosti; često je dovoljno najviše nekoliko svojstvenih vrijednosti nižeg reda. HEC-MW namijenjen je problemima velikih razmjera, u kojima su matrice velike i izrazito rijetke, s mnogo nultih elemenata. Stoga je važno učinkovito izračunati svojstvene vrijednosti modova nižeg reda uzimajući u obzir ta svojstva.

Za pomak $\sigma$, ako $-\sigma$ nije svojstvena vrijednost i $K+\sigma M$ je regularna matrica, jednadžba $\eqref{eq:2.3.5}$ može se transformirati kako slijedi.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Tom se transformacijom svojstveni vektor $x$ ne mijenja, a svojstvena vrijednost $\lambda$ preslikava se u $1/(\lambda+\sigma)$.

Prema tome, što je $\lambda$ bliže vrijednosti $-\sigma$, to je apsolutna vrijednost transformirane svojstvene vrijednosti veća. U strukturnom problemu svojstvenih vrijednosti vrijedi $\lambda \geq 0$ i $\sigma \geq 0$, pa se najniža svojstvena vrijednost preslikava u svojstvenu vrijednost najveće apsolutne vrijednosti. Primjenom tog svojstva i iteracijske metode koja najprije teži konvergirati svojstvenim vrijednostima velike apsolutne vrijednosti na jednadžbu $\eqref{eq:2.3.8}$, svojstvene vrijednosti nižeg reda mogu se učinkovito dobiti uzlaznim redoslijedom.

Ta se metoda naziva pomaknuta inverzna iteracija.

Za analize s ograničenjima FrontISTR postavlja $\sigma = 0$, a jednadžba $\eqref{eq:2.3.8}$ postaje $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, odnosno nepomaknuta inverzna iteracija. U slobodno-slobodnoj analizi bez ograničenja $K$ je singularna jer ima nulte svojstvene vrijednosti koje odgovaraju modovima krutog tijela; dodjeljivanjem pozitivne vrijednosti parametru $\sigma$ regularizira se $K+\sigma M$. Vrijednost $\sigma$ zadaje se pomoću SIGMA u !EIGEN.

Lanczosova metoda¶

Razlog primjene (usporedba s Jacobijevom metodom)¶

Jacobijeva metoda dobro je poznata klasična metoda.

Učinkovita je kada je matrica mala i gusta. Međutim, budući da su matrice koje obrađuje HEC-MW velike i rijetke, Jacobijeva se metoda ne primjenjuje; umjesto nje primjenjuje se iteracijska Lanczosova metoda.

Algoritam i značajke¶

Ova metoda, koju je C. Lanczos predložio 1950-ih, algoritam je za trodijagonalizaciju matrice i ima sljedeće značajke.

To je iteracijska metoda koja može provoditi izračun uz zadržavanje rijetkosti matrice.
Operacije se ponajprije sastoje od umnožaka matrice i vektora, zbog čega je metoda prikladna za paralelizaciju.
Prikladna je za geometrijsku podjelu domene povezanu s mrežama konačnih elemenata.
Omogućuje učinkovite izračune ograničavanjem broja svojstvenih vrijednosti ili raspona modova koje treba dobiti.

Lanczosova metoda polazi od početnog vektora, uzastopno konstruira ortogonalne vektore i dobiva bazu Krylovljeva potprostora.

U aritmetici konačne preciznosti pogreške zaokruživanja mogu uzrokovati gubitak ortogonalnosti vektora. Kako bi se taj učinak smanjio, implementacija u FrontISTR-u ponovno ortogonalizira svaki vektor u odnosu na već dobivene Lanczosove bazne vektore.

Geometrijsko tumačenje (Krylovljev potprostor)¶

Primjenom sljedećih transformacija varijabli na jednadžbu $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problem se može prepisati kao

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Time se dobiva gornja jednadžba.

Za proizvoljan nenulti vektor $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

prostor razapet tim vektorima,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

naziva se Krylovljevim potprostorom.

Lanczosova metoda uzastopno konstruira bazu tog Krylovljeva potprostora.

FrontISTR upotrebljava sljedeći skalarni produkt povezan s matricom mase $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

za ortonormiranje baze. Skalarni produkt $\langle x,y\rangle$ i norma $\|x\|$, prikazani na sljedećim slikama, u izračunima FrontISTR-a tumače se kao ovaj $M$-skalarni produkt i pripadna $M$-norma

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

redom.

Na proizvoljan vektor $q_0$ primjenjuje se linearna transformacija definirana matricom $A$, kao što je prikazano na slici 2.3.2.

$Linearna transformacija vektora $q_0$ matricom $A$$

Slika 2.3.2 Linearna transformacija vektora $q_0$ matricom $A$

Transformirani vektor ortogonalizira se unutar prostora koji razapinje zajedno s izvornim vektorom. Točnije, provodi se Gram-Schmidtova ortogonalizacija kao što je prikazano na slici 2.3.3. Neka je dobiveni vektor $r_1$; njegovim normiranjem dobiva se $q_1$.

$Vektor $q_1$ ortogonalan na $q_0$$

Slika 2.3.3 Vektor $q_1$ ortogonalan na $q_0$

Istim se postupkom iz $q_1$ dobiva $q_2$. Pritom je $q_2$ ortogonalan i na $q_1$ i na $q_0$, kao što je prikazano na slici 2.3.4.

$Vektor $q_2$ ortogonalan na $q_1$ i $q_0$$

Slika 2.3.4 Vektor $q_2$ ortogonalan na $q_1$ i $q_0$

Na taj način Lanczosova metoda uzastopno konstruira ortonormiranu bazu Krylovljeva potprostora. Teorijski, simetrija problema svojstvenih vrijednosti omogućuje da se ta iteracija izrazi kao tročlana rekurzijska relacija koja uključuje najnovije bazne vektore.

Implementacija u FrontISTR-u ipak ponovno ortogonalizira svaki vektor u odnosu na već dobivene Lanczosove bazne vektore primjenom $M$-skalarnog produkta kako bi se smanjio gubitak ortogonalnosti uzrokovan aritmetikom konačne preciznosti.

Trodijagonalizacija¶

U Lanczosovoj iteraciji u FrontISTR-u bazni se vektori ortonormiraju s obzirom na $M$-skalarni produkt opisan u prethodnom odjeljku, pa

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

vrijedi gornja relacija.

Uz matricu $A$ iz jednadžbe $\eqref{eq:2.3.10}$, teorijska Lanczosova iteracija glasi

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

kako je prikazano gornjom tročlanom rekurzijskom relacijom.

Najprije se $\alpha_i$ definira kako slijedi.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Zatim se privremeni rezidual definira kao

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

što je prikazano gore.

Kako bi se smanjio gubitak ortogonalnosti uzrokovan aritmetikom konačne preciznosti, implementacija u FrontISTR-u ponovno ortogonalizira $\tilde{r}_{i+1}$ u odnosu na već dobivene Lanczosove bazne vektore primjenom $M$-skalarnog produkta. Ako je $r_{i+1}$ rezidual nakon ponovne ortogonalizacije, tada

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

vrijede gornje relacije.

Skupimo $m$ baznih vektora dobivenih Lanczosovom iteracijom u

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Tada, nakon konačnog broja Lanczosovih iteracija,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

vrijedi gornja relacija.

Ovdje je $e_m$ $m$-dimenzionalni jedinični vektor čija je $m$-ta komponenta 1, a sve ostale komponente su nula, i

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

jest simetrična trodijagonalna matrica.

Stoga se svojstvene vrijednosti izvornog problema svojstvenih vrijednosti velikih razmjera mogu aproksimirati izračunavanjem svojstvenih vrijednosti trodijagonalne matrice $T_m$.

Povezane teme¶

Analiza frekvencijskog odziva — Frekvencijski odziv uz primjenu rezultata modalne analize
Vrste analiza — Funkcionalni pregled modalne analize