Provjera na modelu jednostavnog oblika¶

Elastična statička analiza¶

Ova provjera koristi konzolnu gredu diskretiziranu mrežom kao što je prikazano na slici 9.1.1. Analize su provedene za sedam slučajeva, od exA do exG, uz promjenu uvjeta opterećenja kao što je prikazano na slici 9.1.2. Slučaj exG ima iste uvjete opterećenja kao exA, ali koristi izravni rješavač.

Rezultat provjere za svaki uvjet opterećenja prikazan je u tablicama 9.1.1–9.1.7.

Sl. 9.1.1 Primjer mreže konzolne grede (heksaedarski elementi)


	(a) exA,G: Koncentrirano opterećenje
	(b) exD: Gravitacija
	(c) exB: Površinski raspodijeljeno opterećenje
	(d) exE: Centrifugalna sila
	(e) exC: Volumensko opterećenje
	(f) exF: Toplinsko opterećenje

Stavka	Vrijednost
Youngov modul	\(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Duljina	\(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Poissonov omjer	\(\nu = 0.3\)
Površina presjeka	\(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Gustoća mase	\(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Drugi moment površine	\(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Gravitacijsko ubrzanje	\(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Koeficijent linearnog toplinskog širenja	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Sl. 9.1.2 Uvjeti provjere za model konzolne grede

Tablica 9.1.1: exA: Rezultati provjere problema koncentriranog opterećenja

Naziv slučaja	Broj elemenata		Predviđena vrijednost: \(\delta_{max}= -1.000\)		Napomene
		NASTRAN	Komercijalni softver	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 čvorova
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 čvorova
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 čvorova
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 čvorova
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 čvorova
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 čvorova
A731	40	-	-	-0.991	33 čvorova / izravna metoda
A741	20	-	-	-0.996	33 čvorova / izravna metoda

Tablica 9.1.2: exB: Rezultati provjere problema površinski raspodijeljenog opterećenja

Naziv slučaja	Broj elemenata		Predviđena vrijednost: \(\delta_{max}= -3.750\)		Napomene
		NASTRAN	Komercijalni softver	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 čvorova
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 čvorova
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 čvorova
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 čvorova
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 čvorova
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 čvorova
B731	40	-	-	-3.722	33 čvorova / izravna metoda
B741	20	-	-	-3.743	33 čvorova / izravna metoda

Tablica 9.1.3: exC: Rezultati provjere problema volumenskog opterećenja

Naziv slučaja	Broj elemenata		Predviđena vrijednost: \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\)		Napomene
		NASTRAN	Komercijalni softver	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 čvorova
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 čvorova
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 čvorova
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 čvorova
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 čvorova
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 čvorova
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 čvorova / izravna metoda
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 čvorova / izravna metoda

Tablica 9.1.4: exD: Rezultati provjere problema gravitacije

Naziv slučaja	Broj elemenata		Predviđena vrijednost: \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\)		Napomene
		NASTRAN	Komercijalni softver	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 čvorova
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 čvorova
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 čvorova
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 čvorova
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 čvorova
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 čvorova
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 čvorova / izravna metoda
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 čvorova / izravna metoda

Tablica 9.1.5: exE: Rezultati provjere problema centrifugalne sile

Naziv slučaja	Broj elemenata		Predviđena vrijednost: \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\)		Napomene
		NASTRAN	Komercijalni softver	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 čvorova
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 čvorova
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 čvorova
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 čvorova
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 čvorova
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 čvorova
E731	40	-	-	2.619e-3	33 čvorova / izravna metoda
E741	20	-	-	2.622e-3	33 čvorova / izravna metoda

Tablica 9.1.6: exF: Rezultati provjere problema opterećenja toplinskim naprezanjem

Naziv slučaja	Broj elemenata		Predviđena vrijednost: \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\)		Napomene
		NASTRAN	Komercijalni softver	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 čvorova
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 čvorova
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 čvorova
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 čvorova
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 čvorova
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 čvorova

Tablica 9.1.7: exG: Rezultati provjere izravne metode (problem koncentriranog opterećenja)

Naziv slučaja	Broj elemenata		Predviđena vrijednost: δmax= -1.000		Napomene
		NASTRAN	Komercijalni softver	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 čvorova
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 čvorova
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 čvorova
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 čvorova
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 čvorova
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 čvorova
G731	40	-	-	-0.991	33 čvorova / izravna metoda
G741	20	-	-	-0.996	33 čvorova / izravna metoda

Nelinearna statička analiza¶

(2-1) exnl1: Geometrijski nelinearna analiza¶

Model provjere za slučaj exI jednak je modelima za slučajeve exA do exG. Slika 9.1.3 prikazuje shematski prikaz modela provjere. Na tom se modelu provodi geometrijski nelinearna analiza. Rezultati provjere prikazani su u tablici 9.1.8.

Nelinearni proračun provodi se za referentno opterećenje \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), uz prirast opterećenja \(0.1P\) u 10 koraka.

Sl. 9.1.3 Model provjere

Tablica 9.1.8 exI: Rezultati provjere (povijest maksimalnog progiba)

Naziv slučaja	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	linearno rješenje
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2: Analiza elastoplastične deformacije¶

Ovaj problem provjere temelji se na National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): testu NL1 organizacije NAFEMS, i provodi analizu elastoplastične deformacije koja uključuje geometrijsku nelinearnost i više zakona očvršćivanja. Slika 9.1.4 prikazuje model analize.

Model analize elastoplastične deformacije

Sl. 9.1.4 Model analize elastoplastične deformacije

(1) Uvjeti provjere

Stavka	Vrijednost
Materijal	Misesov elastoplastični materijal
Youngov modul	\(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Poissonov omjer	\(\nu=0.25\)
Početno naprezanje tečenja	\(5\ \mathrm{MPa}\)
Početna deformacija tečenja	\(0.25\times10^{-4}\)
Koeficijent izotropnog očvršćivanja	\(H_i = 0\) ili \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Rubni uvjeti

Stavka	Rubni uvjet	Vrijednost
korak 1	zadani pomak u čvorovima 2 i 3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
korak 2	zadani pomak u čvorovima 2 i 3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
korak 3	zadani pomak u čvorovima 3 i 4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
korak 4	zadani pomak u čvorovima 3 i 4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
korak 5	zadani pomak u čvorovima 2 i 3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
korak 6	zadani pomak u čvorovima 2 i 3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
korak 7	zadani pomak u čvorovima 3 i 4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
korak 8	zadani pomak u čvorovima 3 i 4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Svi čvorovi koji ovdje nisu navedeni potpuno su ograničeni. Teorijsko rješenje ovog problema glasi kako slijedi.

Deformacija (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Ekvivalentno naprezanje (MPa) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

Za usporedbu, rezultati izračuna su sljedeći.

Deformacija (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Ekvivalentno naprezanje (MPa) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Kontaktna analiza (1)¶

Ovaj problem provjere temelji se na kontaktnom problemu patch-testa CGS-4 organizacije National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), i ispituje mogućnost kontakta s konačnim klizanjem uz trenje. Slika 9.1.5 prikazuje model analize.

Model kontaktne analize

Sl. 9.1.5 Model kontaktne analize

Uvjet ravnoteže za ovaj problem glasi kako slijedi.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

U fazi lijepljenja zbog trenja sila trenja je

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

U fazi klizanja s trenjem vrijedi

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Time se dobiva navedeni odnos.

Usporedba rezultata izračuna i analitičkog rješenja prikazana je kako slijedi.

\(\mu\)	\(F/G\) analitičko rješenje	\(F/G\) rezultat izračuna
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Kontaktna analiza (2): Hertzov kontaktni problem¶

Ova provjera analizira Hertzov kontaktni problem između beskonačno dugog cilindra i beskonačne ravnine. Polumjer cilindra je \(R = 8\ \mathrm{mm}\), a Youngov modul \(E\) i Poissonov omjer \(\mu\) deformabilnog tijela iznose redom \(1100\ \mathrm{MPa}\) i \(0.0\). Pretpostavlja se da je kontaktno područje dovoljno malo u usporedbi s polumjerom cilindra te se, uzimajući u obzir simetriju problema, analizira model četvrtine cilindra.

Sl. 9.1.6 Model analize Hertzova kontaktnog problema

(1) Rezultati provjere polumjera kontakta¶

Teorijska formula za izračun polumjera kontakta glasi:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

gdje

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Time je definirana navedena veličina. U ovim uvjetima izračuna, kada je tlak \(F=100\), polumjer kontakta iznosi \(a=1.36\).

Slika 9.1.7 prikazuje ekvivalentne čvorne sile u kontaktnim točkama. Polumjer kontakta dobiva se ekstrapolacijom te raspodjele čvornih sila.

Raspodjela ekvivalentnih čvornih sila u kontaktnim točkama

Sl. 9.1.7 Raspodjela ekvivalentnih čvornih sila u kontaktnim točkama

(2) Rezultati provjere maksimalnog posmičnog naprezanja¶

U teorijskom rješenju, na položaju kontakta

\[ z = 0.78a \]

maksimalno posmično naprezanje je

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

To je teorijsko maksimalno posmično naprezanje. U ovim uvjetima izračuna,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

To je teorijska vrijednost pri zadanim uvjetima. Nasuprot tome,

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

To je dobiveni rezultat izračuna.

Sl. 9.1.8 Raspodjela posmičnog naprezanja (maksimalna vrijednost = 15.6)

(3) Modalna analiza¶

Modeli provjere za slučajeve exJ i exK jednaki su modelima za slučajeve exA do exG. Slika 9.1.9 prikazuje shematski prikaz modela provjere. Na ovom se modelu provodi modalna analiza. Izračunavaju se prve tri vlastite frekvencije. Slučaj exJ koristi iterativni rješavač, dok slučaj exK koristi izravni rješavač. Rezultati provjere prikazani su u tablicama 9.1.9 do 9.1.12.

Sl. 9.1.9 Model provjere

Vlastite frekvencije konzolne grede dobivaju se iz sljedećih jednadžbi.

prvi mod

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

drugi mod

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

treći mod

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Vrijednosti svojstava modela provjere su

Stavka	Vrijednost
\(I\)	\(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\)	\(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\)	\(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\)	\(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\)	\(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Stoga su prve tri vlastite frekvencije sljedeće:

Broj moda	Vrijednost
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Tablica 9.1.9: exJ: Rezultati provjere iterativne metode za prvu vlastitu frekvenciju

Naziv slučaja	Broj elemenata	Predviđena vrijednost: n1=3.609e3		Napomene
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 čvorova
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 čvorova
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 čvorova
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 čvorova
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 čvorova
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 čvorova

Tablica 9.1.10: Rezultati provjere iterativne metode za exJ za drugu vlastitu frekvenciju

Naziv slučaja	Broj elemenata	Predviđena vrijednost: n2=2.262e4		Napomene
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 čvorova
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 čvorova
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 čvorova
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 čvorova
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 čvorova
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 čvorova

Napomena: u trodimenzijskim (3D) modelima prvi i drugi mod su degenerirani. Stoga je treća izračunana vlastita frekvencija u tablici navedena kao druga vlastita frekvencija.

Tablica 9.1.11: Rezultati provjere izravne metode za exK za prvu vlastitu frekvenciju

Naziv slučaja	Broj elemenata	Predviđena vrijednost: n1=3.609e3		Napomene
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 čvorova
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 čvorova
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 čvorova
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 čvorova
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 čvorova
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 čvorova
J731	40	-	3.606e3	220 čvorova
J741	20	-	3.594e3	220 čvorova

Tablica 9.1.12: Rezultati provjere izravne metode za exK za drugu vlastitu frekvenciju

Naziv slučaja	Broj elemenata	Predviđena vrijednost: n2=2.262e4		Napomene
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 čvorova / problem ravninskog stanja naprezanja
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 čvorova
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 čvorova
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 čvorova
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 čvorova
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 čvorova
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 čvorova
J731	40	-	2.156e4	220 čvorova
J741	20	-	2.153e4	220 čvorova

Napomena: u 3D modelima prvi i drugi mod su degenerirani. Stoga je treća izračunana vlastita frekvencija u tablici navedena kao druga vlastita frekvencija.

(4) Analiza provođenja topline¶

Zajednički uvjeti za stacionarne analize provođenja topline prikazani su na slici 9.1.10. Pojedinačni uvjeti za slučajeve provjere exM do exT prikazani su na slici 9.1.11. Podjela mreže jednaka je onoj korištenoj za exA.

Rezultati provjere (tablica raspodjele temperature) za svaki slučaj prikazani su u tablicama 9.1.13–9.1.20.

Analiza provođenja topline


Duljina između AB	\(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Površina poprečnog presjeka	\(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Temperaturna ovisnost toplinske vodljivosti

Toplinska vodljivost \(\lambda\) (W/(m·K))	Temperatura (°C)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Sl. 9.1.10: Uvjeti provjere stacionarne analize provođenja topline


exM: linearni materijal
exN: problem zadane temperature
exO: problem koncentriranog toplinskog toka
exP: Problem raspodijeljenog toplinskog toka
exQ: Problem konvektivnog prijelaza topline
exR: Problem prijenosa topline zračenjem
exS: problem volumenskog stvaranja topline
exT: Problem unutarnjeg zazora

Sl. 9.1.11: Uvjeti analize za svaki slučaj provjere

Tablica 9.1.13: Rezultati provjere exM (stacionarni izračun linearnog materijala)

Naziv slučaja	Vrsta elementa	Elementi/čvorovi	Udaljenost od kraja A (m)
			rub A	2.0	4.0	6.0	8,0	rub B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Tablica 9.1.14: Rezultati provjere exN (problem zadane temperature)

Naziv slučaja	Vrsta elementa	Elementi/čvorovi	Udaljenost od kraja A (m)
			rub A	2.0	4.0	6.0	8,0	rub B
Komercijalni softver	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Tablica 9.1.15: Rezultati provjere exO (problem koncentriranog toplinskog toka)

Naziv slučaja	Vrsta elementa	Elementi/čvorovi	Udaljenost od kraja A (m)
			rub A	2.0	4.0	6.0	8,0	rub B
Komercijalni softver	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tablica 9.1.16: Rezultati provjere exP (problem raspodijeljenog toplinskog toka)

Naziv slučaja	Vrsta elementa	Elementi/čvorovi	Udaljenost od kraja A (m)
			rub A	2.0	4.0	6.0	8,0	rub B
Komercijalni softver	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tablica 9.1.17: Rezultati provjere exQ (problem konvektivnog prijenosa topline)

Naziv slučaja	Vrsta elementa	Elementi/čvorovi	Udaljenost od kraja A (m)
			rub A	2.0	4.0	6.0	8,0	rub B
Komercijalni softver	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Tablica 9.1.18: Rezultati provjere exR (problem prijenosa topline zračenjem)

Naziv slučaja	Vrsta elementa	Elementi/čvorovi	Udaljenost od kraja A (m)
			rub A	2.0	4.0	6.0	8,0	rub B
Komercijalni softver	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Tablica 9.1.19: Rezultati provjere exS (problem volumenskog stvaranja topline)

Naziv slučaja	Vrsta elementa	Elementi/čvorovi	Udaljenost od kraja A (m)
			rub A	2.0	4.0	6.0	8,0	rub B
Komercijalni softver	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tablica 9.1.20: Rezultati provjere exT (problem unutarnjeg zazora)

Naziv slučaja	Vrsta elementa	Elementi/čvorovi	Udaljenost od kraja A (m)
			rub A	2.0	4.0	6.0	8,0	rub B
Komercijalni softver	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

Linearna dinamička analiza¶

U exW provodi se linearna dinamička analiza iste konzolne grede kao u stavci (1). Slika 9.1.12 prikazuje uvjete provjere. Za istu podjelu mreže provjerava se utjecaj vremenskog prirasta na rezultate. Koriste se implicitne i eksplicitne metode vremenske integracije, s vrstama elemenata 361 i 342. Rezultati provjere prikazani su u tablici 9.1.22 i na slikama 9.1.13 do 9.1.15.

Model analize

Vremenska povijest vanjske sile F

Teorijsko rješenje pomaka pobudne točke glasi:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

gdje

\[ \(F_0:\ \text{Konstantni vektor}\) \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Sl. 9.1.12: Uvjeti provjere linearne dinamičke analize

Uvjeti provjere:


Duljina	\(L\)	\(10.0\ \mathrm{mm}\)
Širina poprečnog presjeka	\(a\)	\(1.0\ \mathrm{mm}\)
Visina poprečnog presjeka	\(b\)	\(1.0\ \mathrm{mm}\)
Youngov modul	\(E\)	\(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Poissonov omjer	\(\nu\)	\(0.3\)
Gustoća	\(\rho\)	\(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Gravitacijsko ubrzanje	\(g\)	\(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Vanjska sila	\(F_0\)	\(1.0\ \mathrm{kgf}\)


Element	heksaedarski linearni element
Tetraedarski element drugog reda
Metoda rješavanja	implicitna metoda
Parametar \(\beta\) Newmark-\(\gamma\) metode	1/2
Parametar \(\beta\) Newmark-\(\beta\) metode	1/4
eksplicitna metoda
Prigušenje	Nema

Tablica 9.1.21: Uvjeti provjere linearne dinamičke analize (nastavak)

Naziv slučaja	Vrsta elementa	Broj čvorova	Broj elemenata	Metoda rješavanja	Vremenski inkrement \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	implicitna metoda	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	implicitna metoda	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	implicitna metoda	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	implicitna metoda	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	implicitna metoda	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	implicitna metoda	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	eksplicitna metoda	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	eksplicitna metoda	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	eksplicitna metoda	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	eksplicitna metoda	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	eksplicitna metoda	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	eksplicitna metoda	1.0E-07

Tablica 9.1.22: Rezultati provjere linearne dinamičke analize exW (konzola)

Naziv slučaja	Vrsta elementa	Broj čvorova	Broj elemenata	Metoda rješavanja	Pomak u smjeru z u trenutku \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	implicitna metoda	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	implicitna metoda	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	implicitna metoda	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	implicitna metoda	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	implicitna metoda	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	implicitna metoda	1.9753	Divergencija
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	eksplicitna metoda	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	eksplicitna metoda	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	eksplicitna metoda	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	eksplicitna metoda	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	eksplicitna metoda	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	eksplicitna metoda	1.9753	Divergencija

Sl. 9.1.13: Deformirani oblik i raspodjela ekvivalentnog naprezanja konzole

(a) Vrsta elementa 361: implicitna metoda

(b) Vrsta elementa 361: eksplicitna metoda

Sl. 9.1.14 Vremenska povijest pomaka pobudne točke \(u_z\)

(a) Vrsta elementa 342: implicitna metoda

(b) Vrsta elementa 342: eksplicitna metoda

Sl. 9.1.15: Vremenska povijest pomaka pobudne točke \(u_z\)

Analiza frekvencijskog odziva¶

U ovoj provjeri provodi se analiza frekvencijskog odziva konzolne grede i potvrđuje usporedbom s rezultatima općenamjenskog komercijalnog softvera. Model analize i uvjeti provjere prikazani su u nastavku.

Uvjeti analize:


Youngov modul	\(E\)	\(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Poissonov omjer	\(\nu\)	\(0.3\)
Gustoća	\(\rho\)	\(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Gravitacijsko ubrzanje	\(g\)	\(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Opterećenje	\(F_0\)	\(1.0\ \mathrm{N}\)
Parametar Rayleighova prigušenja	\(R_m\)	\(0.0\)
Parametar Rayleighova prigušenja	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Sl. 9.1.16: Model analize (tetraedarski element prvog reda (126 elemenata i 55 čvorova))

U nastavku su prikazane prvih pet vlastitih frekvencija dobivenih modalnom analizom i frekvencijski odziv u pobudnoj točki:

Mod	FrontISTR	Komercijalni softver
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Sl. 9.1.17: Frekvencijska ovisnost amplitude pomaka pobudne točke