Kihagyás

Elasztoplaszticitás

Ez a fejezet a FrontISTR által alkalmazott elasztoplasztikus anyagtörvény keretrendszerét ismerteti. A kiválasztás és a bemeneti megadás részleteit lásd a Funkciók rész 03_material fejezetében.

Jelenség (képlékeny alakváltozás)

Kidolgozandó (a következő fázisban kerül kidolgozásra).

Konstitutív keretrendszer

A FrontISTR kapcsolt folyási szabályon alapuló elasztoplasztikus anyagegyenletet alkalmaz. Az anyagegyenlet a Kirchhoff-feszültség Jaumann-féle objektív sebessége és az alakváltozási sebesség tenzora közötti kapcsolatot írja le, a deformációanalízis pedig az aktualizált Lagrange-formulációt használja.

Tegyük fel, hogy az elasztoplasztikus anyag folyási feltételét az alábbiak adják meg.

Kezdeti folyási feltétel:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Későbbi folyási feltétel:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

ahol

  • \(F\): folyási függvény
  • \(\sigma_{y_0}\): kezdeti folyási feszültség
  • \(\sigma_y\): későbbi folyási feszültség
  • \(\sigma\): feszültségtenzor
  • \(e\): infinitezimális alakváltozási tenzor
  • \(e^p\): képlékeny alakváltozási tenzor
  • \(\overline{e}^p\): egyenértékű képlékeny alakváltozás

Feltételezzük, hogy a folyási feszültség és az egyenértékű képlékeny alakváltozás közötti kapcsolat megegyezik az egytengelyű állapot feszültség–képlékeny alakváltozás kapcsolatával.

Feszültség–képlékeny alakváltozás kapcsolat egytengelyű állapotban

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

ahol \(H'\) az alakváltozási keményedési modulusz.

Egyenértékű feszültség–egyenértékű képlékeny alakváltozás kapcsolat

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Általánosan a későbbi folyási függvény a hőmérséklet és a képlékeny alakváltozási munka függvénye, itt azonban az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy csak az \(\overline{e}^p\) egyenértékű képlékeny alakváltozástól függ. A képlékeny alakváltozás előrehaladása során az \(F = 0\) feltételnek folyamatosan fenn kell állnia, ezért a következő egyenletnek kell teljesülnie.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Itt \(\dot{F}\) az \(F\) idő szerinti deriváltját jelenti. A továbbiakban egy \(A\) mennyiség idő szerinti deriváltját \(\dot{A}\) jelöli.

Tegyük fel egy \(\Theta\) képlékeny potenciál létezését, és írjuk fel a képlékeny alakváltozás sebességét a következő egyenlettel.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Itt \(\dot{\lambda}\) egy együttható.

Továbbá feltételezve, hogy a \(\Theta\) képlékeny potenciál megegyezik az \(F\) folyási függvénnyel, a következő kapcsolt folyási szabályt használjuk.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Ezt az egyenletet a konzisztenciafeltételbe helyettesítve a következő egyenlet adódik.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Itt \(D\) a rugalmassági mátrix, továbbá

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Az elasztoplasztikus feszültség–alakváltozás kapcsolat a következőképpen írható fel.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Ha ismert az elasztoplasztikus anyag \(F\) folyási függvénye, ebből a kifejezésből meghatározható az anyagegyenlete.

Folyási függvények

A FrontISTR által alkalmazott elasztoplasztikus folyási függvények az alábbiak.

Von Mises-féle folyási függvény

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Itt \(J_2\) a deviátoros feszültségtenzor második invariánsa.

Mohr–Coulomb-féle folyási függvény

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Itt \(\sigma_1, \sigma_3\) a legnagyobb és legkisebb főfeszültség, \(c\) a kohézió, \(\phi\) pedig a belső súrlódási szög.

Drucker–Prager-féle folyási függvény

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Itt az \(\alpha\) és \(\sigma_y\) anyagállandók az anyag kohéziójából és súrlódási szögéből a következőképpen számíthatók.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Kapcsolódó témák