Kihagyás

Kúszás

Ez a fejezet a FrontISTR által alkalmazott kúszási konstitutív törvényt ismerteti. A kiválasztás és a bemeneti specifikációk részleteiért lásd a funkciókat ismertető 03_material részt.

A kúszás jelensége és az alakváltozás additív felbontása

Az állandó feszültségi állapot mellett fellépő időfüggő elmozdulás jelenségét „kúszásnak” nevezzük.

A fent ismertetett viszkoelasztikus viselkedés szintén tekinthető egyfajta lineáris kúszási jelenségnek. Itt többféle nemlineáris kúszási viselkedést tárgyalunk. Általános megközelítés, hogy a konstitutív összefüggést úgy fogalmazzuk meg, hogy ezt a viselkedést hozzáadjuk a pillanatszerűen kialakuló alakváltozáshoz, és az adott állandó terhelés fennállása alatt felhalmozódó alakváltozást kúszási alakváltozásként, \(\varepsilon^c\)-vel jelöljük. A kúszást tartalmazó konstitutív összefüggést rendszerint a \(\dot{\varepsilon}^c\) kúszási alakváltozási sebességgel fejezzük ki, amelyet a feszültség és a teljes kúszási alakváltozás függvényeként definiálunk.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Ha a pillanatszerűen fellépő alakváltozás a \(\varepsilon^e\) rugalmas alakváltozás, akkor a teljes alakváltozás a kúszási alakváltozást is tartalmazó következő összegként írható fel.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

ahol

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) a rugalmassági tenzor).

Norton-törvény

Konkrét kúszási konstitutív törvényként a FrontISTR a következő Norton-modellt alkalmazza. Ebben a konstitutív törvényben az egyenértékű \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) kúszási alakváltozási sebesség a \(q\) von Mises-feszültség és a \(t\) idő függvényeként a következőképpen fejezhető ki.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Itt \(A\), \(m\) és \(n\) anyagállandók.

Időintegrálás és feszültségfrissítés

A képlékeny anyagokhoz hasonlóan kúszást mutató konstitutív törvény esetén numerikus időintegrálási módszert kell megadni. Kúszás figyelembevételével a konstitutív összefüggés

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

ahol \(\beta_{n+\theta}\):

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Továbbá a \(\Delta \varepsilon^c\) kúszási alakváltozás-növekményt a nemlineáris egyenlet egyszerűsített alakjával definiáljuk:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

vagyis ezt nullával tesszük egyenlővé.

A Newton–Raphson-iteráció során a kezdeti feszültséget \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) értéknek véve és a végeselemes módszerből kapott alakváltozás-növekményt használva az iteratív megoldást és annak növekményét a következő egyenlet adja:

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

ahol

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

értendő. Amikor az iteratív megoldást addig végezzük, amíg az \(R\) maradék \(\mathbf{0}\) nem lesz, a \(\sigma_{n+1}\) feszültséget és az alábbi érintőmodulust

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

használjuk.

Kapcsolódó témák