Kihagyás

Alakfüggvények és végeselemes közelítés

A virtuális munka elvének gyenge alakját számításra alkalmassá téve a test tartományát véges számú elemre osztjuk, és az egyes elemeken belüli anyagi pont koordinátáit, elmozdulását és tesztfüggvényét csomóponti értékekből és alakfüggvényekből interpoláljuk. Az alakfüggvények térbeli deriváltjait az Alakfüggvények térbeli deriváltjai, a gyenge alak diszkretizálását a Belső erők virtuális munkájának diszkretizálása, az egyes elemtípusok alakfüggvényeinek konkrét alakját pedig az Elemszámozási rendszer és alakfüggvény-könyvtár és az azt követő fejezetek tárgyalják.

Tartományfelosztás és integrálok elemenkénti összege

A referencia-konfiguráció \(\Omega_0\) tartományát, illetve az aktuális konfiguráció \(\Omega\) tartományát rendre az \(\Omega^e_0\) és \(\Omega^e\) elemek uniójával közelítjük:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) az elemszám, az elemhatárok pedig a szomszédos elemek között közösek.) Így a virtuális munka elvében szereplő térfogati és felületi integrálok elemenkénti integrálok összegére bonthatók:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Az aktuális konfigurációra ugyanez érvényes a \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) és \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) helyettesítésekkel.) A továbbiakban a gyenge alak kiértékelése elemenkénti integrálok felépítésére vezethető vissza.

Interpoláció csomóponti értékekkel és alakfüggvényekkel (izoparametrikus elemek)

Minden \(\Omega^e_0\) elemhez \(n_e\) csomópont tartozik. Az \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) elemcsomópont referencia-konfigurációbeli koordinátáit és csomóponti elmozdulását jelölje \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Ezeket sorba rendezve kapjuk a csomóponti elemvektorokat: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) és \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\); ezek az \(e\) elemet alkotó csomópontok komponenseit tartalmazzák, amelyeket a globális \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) csomóponti vektorokból veszünk ki (\(n_g\) az összes csomópont száma).

Az elemen belüli lokális koordinátaként szolgáló természetes koordinátákat, \(\boldsymbol{r}\)-t paraméterként használva az \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) alakfüggvényekkel ugyanazon alakfüggvények segítségével interpoláljuk az elemen belüli anyagi koordinátákat, elmozdulást és tesztfüggvényt (izoparametrikus elem, illetve Galerkin-módszer):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Az alakfüggvényeket úgy konstruáljuk, hogy teljesítsék az alábbi két tulajdonságot, az elemgeometriát pedig úgy választjuk meg, hogy a természetes koordinátákból az anyagi koordinátákba történő \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) leképezés az elemen belül egy-egyértelmű legyen:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) az \(\alpha\) csomóponthoz tartozó pont a természetes koordinátákban, \(\delta_{\alpha\beta}\) pedig a Kronecker-delta.) Az első egyenlet biztosítja a merevtest-eltolás reprodukálását, a második pedig azt, hogy az interpolált érték minden csomópontban megegyezzen a csomóponti értékkel. Az egyes elemtípusokhoz tartozó \(n_e\) és \(N_\alpha^e\) konkrét alakját az Elemszámozási rendszer és alakfüggvény-könyvtár és az azt követő fejezetek adják meg. A túlzott jelölésbonyolultság elkerülésére az elemtípustól való függést az elemenkénti \(e\) felső index képviseli.

A fenti interpolációs szabályokkal a gyenge alak integrandusa kizárólag a \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) elemcsomóponti értékek és az \(N_\alpha^e\) alakfüggvények segítségével írható fel. Az alakváltozást viszont az interpolált elmozdulásból és az alakváltozás–elmozdulás kapcsolatból, a feszültséget pedig az így kapott alakváltozásból és az anyagi anyagtörvényből származtatjuk; ezeket a mennyiségeket nem interpoláljuk közvetlenül csomóponti értékekből. Kiértékelésük az elem integrációs pontjaiban történik (Numerikus integrálás).

A globális csomóponti vektorok rendezési szabálya

A csomópontokhoz rendelt fizikai mennyiségeket a globális csomóponti vektorban csomópontszám → szabadságfok növekvő sorrendjében rendezzük. Ha az \(\alpha\) csomópont \(i\) szabadságfok-komponensét \(u_{i\alpha}\) jelöli, akkor három dimenzióban (\(i=1,2,3\)), illetve két dimenzióban (\(i=1,2\)):

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

A \(\boldsymbol{X}^n\) koordináták és a \(\delta\boldsymbol{u}^n\) tesztfüggvény ugyanilyen sorrendet követnek. A továbbiakban a mátrix- és vektoralakú levezetések reprezentatív esetként a háromdimenziós esetet használják.

Kapcsolódó témák