Kihagyás

Az alakfüggvények térbeli deriváltjai

Az Alakfüggvények és végeselemes közelítés fejezetben bevezetett \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) alakfüggvények az elem lokális koordinátáiként szolgáló \(\boldsymbol{r}\) természetes koordináták függvényei. A gyenge alak integrandusaiban azonban az alakváltozás–elmozdulás kapcsolaton keresztül a fizikai koordinátákra (a referencia-konfiguráció \(\boldsymbol{X}\) vagy az aktuális konfiguráció \(\boldsymbol{x}\) koordinátáira) vett parciális deriváltak, vagyis \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) illetve \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) jelennek meg. Ez a fejezet azt az eljárást rendezi össze, amellyel ezek az alakfüggvények térbeli deriváltjai az elem csomóponti koordinátáiból és a természetes koordináták szerinti deriváltakból kiszámíthatók.

A térbeli deriváltak kifejezése a láncszabállyal

A \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) interpolációs képletre (előző fejezet) alkalmazva a láncszabályt, és a természetes koordinátákból a fizikai koordinátákba történő leképezés \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) Jacobi-mátrixát használva:

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Itt \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) és \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) olyan mátrixok, amelyekben az \(\alpha\) sor az \(\alpha\) csomópont parciálisderivált-vektorát tartalmazza; mindkettő \(n_e \times 3\) méretű mátrix.

A Jacobi-mátrix felépítése

Az interpolációs képletet \(\boldsymbol{r}\) szerint deriválva:

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Így a Jacobi-mátrix közvetlenül felépíthető az \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) elemcsomóponti koordinátákból és a \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) természeteskoordináta-deriváltakból. A természetes koordináták szerinti deriváltakat az alakfüggvények funkcionális alakja határozza meg, és elemtípusonként előre implementáltak.

A Jacobi-mátrix \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) determinánsa a numerikus integrálásban a térfogatelem \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) transzformációjához használatos. Ha a determináns \(0\), az elem degenerált, és a számítás meghiúsul.

Számítási folyamat

A fenti levezetés alapján a \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) térbeli deriváltak számítása a következő 4 lépésre bontható.

  1. A természetes koordináták szerinti deriváltak kiszámítása: Az elemtípust és a kiértékelési pont \(\boldsymbol{r}\) természetes koordinátáit bemenetként használva számítsuk ki a \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) természeteskoordináta-derivált mátrixot. Mivel az alakfüggvények funkcionális alakja elemtípusonként eltér, a feldolgozás az elemtípus szerint ágazik el.
  2. A Jacobi-mátrix kiszámítása: Az \(\boldsymbol{X}^e\) elemcsomóponti koordinátákból és a \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) mátrixból az előző fejezet egyenletével állítsuk össze a \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) Jacobi-mátrixot.
  3. Az inverz mátrix és a determináns kiszámítása: Számítsuk ki a Jacobi-mátrix \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) inverzét és determinánsát. A determináns a numerikus integrálás súlyozásában használatos.
  4. A térbeli deriváltak kiszámítása: A \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) és \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) szorzataként kapjuk a \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) térbeli deriváltakat.

Ez a 4 lépés az elemtípus és a tér dimenziója (2 vagy 3 dimenzió esetén) szerint ágazik el, de az általános folyamat közös.

A referencia- és az aktuális konfiguráció egységes kezelése

A fenti eljárás változtatás nélkül alkalmazható úgy is, hogy \(\boldsymbol{X}^e\) helyett az aktuális \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) csomóponti koordinátákat használjuk; ekkor az aktuális konfiguráció \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) térbeli deriváltjait kapjuk. Így a Total Lagrangian és az Updated Lagrangian formuláció ugyanazt az eljárást használhatja, csupán a bemeneti csomóponti koordinátákat kell átváltani.

Kapcsolódó témák