Kihagyás

A külső erők virtuális munkája és a globális egyenletek összeállítása

A Belső erők virtuális munkájának diszkretizálása részben a gyenge alak bal oldalát az elemi belsőerő-vektorra, \(\boldsymbol{q}^e\) (UL módszer) vagy \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL módszer), vezettük vissza. Ez a fejezet a külső erők virtuális munkájából bevezeti az elemi csomóponti külsőerő-vektort \(\boldsymbol{F}^e\), majd alkalmazza az összeállítás műveletét, amely a globális csomópontszám szerint átrendezi és összegzi az elemi csomóponti mennyiségeket, végül előállítva a csomóponti elmozdulásokra vonatkozó nemlineáris egyenletrendszert, amelyet a FrontISTR nemlineáris szerkezeti analízise old meg.

A külső erők virtuális munkájának elemenkénti felbontása

A virtuális munka elvének jobb oldala elemenként felbontható a külső erők virtuális munkájára, amely a mechanikai határokon ható térfogati erőkből és előírt felületi terhelésekből áll. Az Alakfüggvények és végeselemes közelítés részben bevezetett elmozdulás-interpoláció mátrixos felírásához az \(\alpha\) csomópont \(N_\alpha^e\) alakfüggvényét a \(d \times d\) méretű \(\boldsymbol{N}_\alpha\) blokk diagonálisába helyezzük, majd ezeket egymás mellé rendezve képezzük \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) mátrixot, így \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Ezt a referencia-konfigurációban felírt külső virtuális munkába helyettesítve

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

ahol az elemi csomóponti külsőerő-vektor elrendezése \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Így a külső erők virtuális munkája ugyanarra az „elemi csomóponti vektor × tesztfüggvény” alakra vezethető vissza, mint a belsőerő-oldal (aktuális konfigurációban felírva ugyanez az alak adódik a \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) és \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) helyettesítésekkel).

Elemi csomóponti mennyiségek összeállítása

Az egyes elemekhez kapott \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) csomóponti mennyiségeket a globális csomópontszám szerint rendezett globális vektorokba összegezzük. Legyen az \(\Omega^e\) lokális csomópontszámhoz, az \(\alpha\) elemnél, tartozó globális csomópontszám

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Ekkor az elemi csomóponti mennyiség azonos a globális csomóponti mennyiség megfelelő komponensével (például \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Mivel általában az \(i_g\) csomópontot több elem osztja meg, definiáljuk azon elemi csomópontpárok halmazát, amelyek globális csomópontszáma \(i_g\), vagyis az \((e, \alpha)\) párok halmazát

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Ezzel a halmazzal a \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) alakban átírva az összeget megkapjuk a csomóponti belső erőt és a globális belsőerő-vektort mind az \(n_g\) csomópontra:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Itt \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) az \(i_g\) csomópontban ható elemi csomóponti belső erők eredője, és \(\boldsymbol{0}\), ha nem hat külső erő és fennáll az egyensúly. Ugyanez az eljárás az UL módszerben \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) értékeket ad; mivel numerikus értékeikre \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) teljesül, a továbbiakban a \(\boldsymbol{Q}\) jelölést használjuk, kivéve ahol megkülönböztetés szükséges. A globális külsőerő-vektor \(\boldsymbol{F}\) ugyanilyen összegzéssel adódik.

A megvalósításban a \(\mathcal{E}(i_g)\) halmaz nincs explicit módon felépítve; ehelyett a hozzájárulások az elemcikluson belül közvetlenül a megfelelő komponensekhez adódnak.

A globális belsőerő-vektor Q inicializálása 0-ra: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (elemek száma)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

A globális külsőerő-vektor \(\boldsymbol{F}\) ugyanezzel az eljárással készül. Az elemi csomóponti mennyiségek globális csomópontszámok szerint számozott vektorokba és mátrixokba való hozzáadásának és tárolásának műveletét összeállításnak nevezzük. Két csomópontszámhoz kapcsolódó másodrendű tenzoroknál (például merevségi mátrixoknál) ugyanilyen összeállítás adódik a \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) halmaz használatával (a konkrét felépítést lásd az Érintőmerevségi mátrix részben).

A megoldandó nemlineáris egyenletek

Az összeállított belső és külső erőket a virtuális munka elvébe helyettesítve, és felhasználva, hogy az minden olyan \(\delta\boldsymbol{u}^n\) tesztfüggvényre érvényes, amely kielégíti a geometriai peremfeltételeket, kapjuk

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

A növekményes analízis (A növekményes elemzés keretrendszere) összefüggésében visszaállítjuk a \(_{n+1}\) időindexet, és elhagyjuk a globális csomóponti vektort jelölő \(^n\) felső indexet. Ekkor a megoldandó egyenlet

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Így a \(t_{n+1}\) időpontbeli \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) csomóponti elmozdulás meghatározására szolgáló diszkretizált peremérték-probléma e nemlineáris elmozdulási egyenlet és a geometriai peremfeltételek együttes megoldására vezethető vissza. Az egyenlet linearizálását és az érintő merevségi mátrix felépítését az Érintőmerevségi mátrix, az iteratív megoldási módszert pedig a Newton–Raphson-módszer rész ismerteti.

Kapcsolódó témák