Kihagyás

Translation update pending

The Hungarian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Nagy teljesítményű elemformulációk

A 3D térfogati elemek megfogalmazása részben bemutatott szabványos, elmozdulásalapú megfogalmazás közel összenyomhatatlan anyagoknál vagy hajlítás által dominált vékonyfalú szerkezeteknél túlzott mesterséges merevséget, úgynevezett numerikus merevedést (locking) mutat, amely térfogati vagy nyírási merevedés formájában jelentkezik. Ennek elkerülésére a FrontISTR biztosítja a B-bar és F-bar módszereket, amelyek csak a B mátrix, illetve a deformációgradiens térfogati részét helyettesítik; a belső szabadságfokokkal rendelkező inkompatibilis elemeket; a nyomást független ismeretlen mezőként kezelő u-p vegyes elemeket; valamint a lemez- és gerendaszerkezetekre specializált MITC héj- és gerendaelemeket.

Ez a fejezet elemtípusonként foglalja össze e fejlett elemek és szerkezeti elemek megfogalmazásait.

B-bar módszer

Ha közel összenyomhatatlan anyaghoz 8 csomópontos lineáris hexaéderelemet használunk, az egy elemen belüli alakváltozási mező ellentmondásba kerülhet az állandó térfogat kényszerével, ami túlzott merevséget, térfogati merevedést okoz. A B-bar módszer ezt a túlkényszerezést úgy mérsékli, hogy a B mátrix térfogati táguláshoz hozzájáruló komponenseit az elem középpontjában kiértékelt értékekkel helyettesíti [Hughes1980].

Az elem középpontjában, \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) helyen, jelölje az alakfüggvények térbeli deriváltjaiból számított B mátrixot \(\bar{\boldsymbol{B}}\), az \(\boldsymbol{r}\) integrációs pontban pedig a szokásos B mátrixot \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Az \(\alpha\) csomópont és az \(i\) szabadságfok elmozdulás–alakváltozás kapcsolatában a térfogati alakváltozás komponenseit \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) a következő tag hozzáadásával módosítjuk

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

A nyírási komponensekhez \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) a szokásos \(\boldsymbol{B}\) mátrixot használjuk. Az elem merevsége és belsőerő-vektora az így kapott B-bar mátrix felhasználásával áll össze.

A FrontISTR ezt a megfogalmazást kifejezetten a 8 csomópontos lineáris hexaéderelemhez biztosítja (361-es elemazonosító; lásd az Elemszámozási rendszert), és kis alakváltozású, teljes Lagrange- és frissített Lagrange-megfogalmazásokhoz alkalmazható.

F-bar módszer

Véges alakváltozás esetén a térfogatváltozás nemlineárisan jelenik meg a \(\boldsymbol{F}\) deformációgradiensben. Az F-bar módszer [deSouzaNeto1996] a B-bar módszerhez hasonló térfogati merevedés elleni kezelést alkalmaz a deformációgradiens szintjén.

Legyen az elem középpontjában, \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) helyen kiértékelt deformációgradiens térfogataránya \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), az integrációs pontban pedig \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Az integrációs pont deformációgradiensét a következővel helyettesítjük

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Ekkor \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), vagyis az elem egészében a térfogatarány az elem középpontjában érvényes értékhez igazodik. A helyettesített \(\bar{\boldsymbol{F}}\) a feszültség kiértékeléséhez és az alakváltozás–elmozdulás mátrix összeállításához használatos, az elem érintőmerevsége pedig tartalmazza a helyettesítéshez kapcsolódó további tagokat.

A FrontISTR az F-bar módszert kifejezetten a 8 csomópontos lineáris hexaéderelemhez valósítja meg, és kis alakváltozású, valamint teljes Lagrange / frissített Lagrange nemlineáris geometriai megfogalmazásban is alkalmazható.

Inkompatibilis elemek

A 8 csomópontos lineáris hexaéderelem nem rendelkezik a hajlításhoz szükséges alakváltozási módusokkal, ezért hajlítás által dominált feladatokban hajlítási merevedést mutat. Az inkompatibilis elemek [Taylor1976] ezt a hiányosságot az elemen belül további elmozdulási módusok bevezetésével kompenzálják.

Az elem \(\boldsymbol{u}^e\) csomóponti elmozdulásai mellett olyan \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) inkompatibilis módusú szabadságfokokat vezetünk be, amelyek csak az elemen belül léteznek, elemenként 3 irány × 3 módus formájában, és az elmozdulási mezőt a következőképpen közelítjük

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

A \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) természetes koordináták esetén az inkompatibilis alakfüggvények \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) és \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Ezek nem garantálják a folytonosságot az elemhatárokon, de olyan belső teret adnak hozzá, amely képes reprodukálni a hajlítási módusokhoz kapcsolódó alakváltozásokat.

Az elem merevségét először külső/belső szabadságfok szerinti blokkos alakban állítjuk össze

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Az ilyen alakú összeállítás után a statikus kondenzáció a \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) összefüggéssel kiküszöböli a belső szabadságfokokat, így a csak a külső szabadságfokokat tartalmazó elemmerevség

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

kerül a globális összeállításba.

A FrontISTR az inkompatibilis elemet kifejezetten a 8 csomópontos lineáris hexaéderelemhez (C3D8IC) valósítja meg, és kis alakváltozású, teljes Lagrange- és frissített Lagrange-megfogalmazásokhoz alkalmazható.

U-P vegyes elemek

Míg a B-bar és F-bar módszerek az elmozdulásalapú kereten belül korrigálják a térfogati komponenst, az u-p vegyes (U-P) elem olyan vegyes megfogalmazást [Bathe1996] használ, amely a \(\lambda\) nyomást az elmozdulástól független ismeretlen mezőként vezeti be. Közel összenyomhatatlan anyagoknál, például olyan gumiszerű anyagoknál, amelyek Poisson-tényezője rendkívül közel van 0.5-höz, vagy képlékeny alakváltozás utáni fémeknél az állandó térfogat kényszerének kizárólag az elmozdulási mezővel való kikényszerítése térfogati merevedést okoz; a nyomás független változóként való kezelése enyhíti ezt a kényszert.

A feszültséget deviátoros és nyomási komponensekre bontjuk

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Itt \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) a deviátoros rugalmassági mátrix, amelyet úgy kapunk, hogy a rugalmassági mátrixból eltávolítjuk a \(K\) térfogati rugalmassági modulussal arányos térfogati részt. A \(\lambda\) nyomást és a \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) térfogati alakváltozást az \(\alpha^{-1} = 1/K\) összenyomhatóságon keresztül a következő kényszeregyenlet kapcsolja össze

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Az ismeretlenként \(\boldsymbol{u}\) elmozdulással és \(\lambda\) nyomással végzett diszkretizáció az elem kapcsolt rendszerét adja

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

ahol \(\mathbf{K}_{uu}\) tartalmazza a deviátoros rugalmas hozzájárulást és véges alakváltozás esetén a geometriai merevséget; \(\mathbf{K}_{up}\) összekapcsolja a térfogati alakváltozást és a nyomást; \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) pedig a nyomás stabilizációs tagja (\(\boldsymbol{N}_p\) a nyomás alakfüggvénye). Mivel a nyomás szabadságfokai az elemen belüliek,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ebben az alakban statikus kondenzáció történik, és csak a külső (elmozdulási) szabadságfokokat tartalmazó effektív merevség kerül a globális összeállításba.

A FrontISTR az U-P elemet kifejezetten a 8 csomópontos lineáris hexaéderelemhez valósítja meg, elemenként egy nyomási szabadságfokkal (az elemen belül állandó). Kis alakváltozású, teljes Lagrange- és frissített Lagrange-megfogalmazásokhoz alkalmazható. Frissített Lagrange-megfogalmazásban a deviátoros feszültség objektív feszültségráta (Jaumann/Hughes–Winget típus) segítségével frissül, majd a statikus kondenzációval kapott értékből a \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) nyomás kerül előírásra.

Héjelemek

Vékonyfalú lemez- és héjszerkezetekhez Reissner–Mindlin lemez-/héjelméleten alapuló héjelemek használatosak. A vastagság csökkenésével az alacsony rendű elmozdulásalapú lemez-/héjelemek a térfogati merevedéshez hasonló mechanizmussal túlbecsülik a keresztirányú nyírási alakváltozást (nyírási merevedés), ezért a hajlítási módusok merevsége túlzottan megnő. Az MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) módszer [Dvorkin1984] [Bathe1986] ezt a problémát úgy kerüli el, hogy csak a nyírási alakváltozás komponenseit mintavételezi újra az elem előre meghatározott kötési pontjaiban, majd a mintavételezett értékeket visszainterpolálja az elemre.

Az MITC héjelem csomópontjai a középfelületen helyezkednek el, és minden csomópontnak hat szabadságfoka van: három eltolási komponens és három forgási komponens a középfelület normál-koordináta-rendszeréhez képest. Az elemmerevség kiértékelése háromdimenziós Gauss-integrálással történik a középfelület természetes koordinátái és a vastagsági irány mentén, a \(h\) vastagság pedig elemtulajdonságként kerül megadásra a konstitutív kiértékelés során.

A FrontISTR biztosít MITC3 (731-es elemazonosító), MITC4 (741) és MITC9 (743) elemeket, amelyeket egyetlen középfelületi réteg reprezentál, továbbá réteges MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 csomópont, csomópontonként 3 szabadságfok) és MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 csomópont, csomópontonként 3 szabadságfok) héjelemeket, amelyek csomópontjai a vastagság mentén két rétegben helyezkednek el. A réteges héjelemekben a csomóponti szabadságfokok csak három eltolási komponensből állnak, míg a forgási szabadságfokoknak megfelelő hajlítási módusokat a kétrétegű elrendezés képviseli.

Gerendaelemek

A tartókhoz és keretszerkezetekhez hasonló vonalas szerkezeti tagokat gerendaelemekkel diszkretizáljuk. A gerendaelemek a gerendatengelyen fekvő csomópontok eltolásaival és elfordulásaival írják le a tengelyirányú alakváltozást, a hajlítást és a csavarást, míg a keresztmetszeten belüli deformációt szelvényállandók képviselik.

Minden gerendacsomópontnak hat szabadságfoka van: három eltolási és három elfordulási komponens. Az elemmerevséghez zárt képletű merevségi mátrixokat képezünk tengelyirányú alakváltozásra, kétirányú hajlításra és csavarásra az elemtengely és a szelvényadatokban megadott referenciatengely által meghatározott lokális koordináta-rendszerben, majd ezeket a globális koordináta-rendszerbe transzformáljuk. Az \(A\) keresztmetszeti területet, a lokális \(y\) és \(z\) tengelyre vonatkozó \(I_y\) és \(I_z\) másodrendű nyomatékokat, valamint a csavarási állandót a szelvényadatok adják meg; az anyag \(E\) Young-modulusával és a Young-modulusból, illetve a Poisson-tényezőből származtatott \(G\) nyírási modulussal együtt ezek határozzák meg a megfelelő merevségi együtthatókat.

Hajlításra két megfogalmazás áll rendelkezésre: a Bernoulli-Euler-gerenda, amely feltételezi, hogy a keresztmetszet a deformáció után is merőleges marad a gerendatengelyre, és elhanyagolja a nyírási deformációt, valamint a Timoshenko-gerenda, amely figyelembe veszi a nyírási deformációt. A kétcsomópontos 611-es gerendaelemnél mindkettő választható, az alapértelmezett a Bernoulli-Euler-gerenda. A Timoshenko-gerendánál, \(L\) elemhossz esetén, a nyírási deformáció hozzájárulását leíró

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

együtthatók szerepelnek az egyes hajlítási síkok merevségi együtthatóiban. Például a lokális \(y\) irányú lehajláshoz tartozó merevségi együttható \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Itt \(A_s\) a nyírási keresztmetszeti terület. Mivel a FrontISTR szelvényadatai nem tartalmaznak külön \(A_s\) értéket, \(A_s = A\) használatos. Ez 1 értékű nyírási korrekciós tényezőnek felel meg. \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) esetén a Bernoulli-Euler-gerenda merevsége adódik.

A 641-es elem vegyes szabadságfokú elem: a gerendát két transzlációs szabadságfokokkal rendelkező és két rotációs szabadságfokokkal rendelkező csomóponttal reprezentálja, és Bernoulli-Euler-gerendaként van megfogalmazva.

Kapcsolódó témák