Mozgás, deformáció és alakváltozás¶

Referencia- és aktuális konfiguráció¶

A konfigurációk definíciója¶

Annak megkülönböztetésére, hogy a fizikai mennyiségek leírásának alapjául az alak mely időpillanatbeli állapota szolgál, ez a kézikönyv két konfigurációt használ.

Referenciakonfiguráció: az analízis kezdetén (a \(0\) időpontban) fennálló deformálatlan alak, amelyet kezdeti konfigurációnak is nevezünk. A referenciakonfiguráció egy pontját a materiális koordináta \(\boldsymbol{X}\) jelöli; térfogata \(V\), felülete \(S\).
Aktuális konfiguráció: a \(t\) időpontban fennálló deformált alak. Az aktuális konfiguráció egy pontját a térbeli koordináta \(\boldsymbol{x}\) jelöli; térfogata \(v\), felülete \(s\).

A mozgást e két konfiguráció közötti leképezés, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) írja le, az elmozdulás pedig \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) alakban definiált.

Konfigurációfüggő jelölés (nagy- és kisbetűk)¶

A szimbólum betűmérete különbözteti meg, hogy egy fizikai mennyiség melyik konfigurációhoz tartozik.

A referenciakonfigurációhoz tartozó mennyiségeket nagybetűs szimbólumokkal írjuk (például \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Az aktuális konfigurációhoz tartozó mennyiségeket kisbetűs szimbólumokkal írjuk (például \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
A két konfigurációt összekötő mennyiségek, például az első Piola–Kirchhoff-feszültség \(\boldsymbol{P}\), a szokásos jelölést használják, és szükség szerint a szöveg kifejezetten azonosítja őket.
Kisdeformációs elméletben a két konfiguráció közötti különbség eltűnik, ezért csak kisbetűs szimbólumokat (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) használunk.

Referencia- és aktuális konfiguráció szerinti gradiensek¶

A jelölés és a jelentés attól függően különbözik, hogy a térbeli deriválást melyik konfiguráció szerint végezzük.

Referenciakonfiguráció szerinti gradiens \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): a materiális koordináták szerinti gradiens. Példa: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Aktuális konfiguráció szerinti gradiens \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): a térbeli koordináták szerinti gradiens. Példa: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Kapcsolatuk: \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Az időderiváltak jelölési konvenciójáról (materiális időderivált \(\dot{(\cdot)}\)) lásd a Tenzorjelölés és matematikai alapok részt.

A mozgás leírása¶

Mozgásleképezés, materiális és térbeli leírás¶

Ha a kontinuumot olyan anyagi pontok halmazának tekintjük, amelyeket a \(0\) időpontbeli helyzetük, \(\boldsymbol{X}\) címkéz, akkor a mozgást olyan leképezés adja meg, amely az anyagi pontot \(\boldsymbol{X}\) annak \(t\) időpontbeli helyzetéhez, \(\boldsymbol{x}\)-hez rendeli; ezt a leképezést \(\phi\) jelöli:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

A referenciakonfigurációt kezdeti konfigurációként választó konvenció esetén \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

A független változók megválasztása alapján kétféle leírást különböztetünk meg.

Materiális leírás (Lagrange-leírás): a fizikai mennyiségeket \((\boldsymbol{X}, t)\) függvényeként ábrázolja. Szilárdságtanban ez természetes választás, mivel a referenciakonfiguráció rögzített alakként adott.
Térbeli leírás (Euler-leírás): a fizikai mennyiségeket \((\boldsymbol{x}, t)\) függvényeként ábrázolja. Folyadékmechanikában ez a szabványos leírás.

A FrontISTR szerkezeti analízise alapvetően a materiális leírásra épül, de a frissített Lagrange-módszer az aktuális konfigurációt új referenciakonfigurációként használja, ezért térbeli leírású mennyiségeket is alkalmaz.

Elmozdulás, sebesség és gyorsulás¶

Az előző szakasz szerint az \(\boldsymbol{u}\) elmozdulás definíciója \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Nagyságára nem teszünk feltételezést, így a véges deformációt is magában foglalja. A sebesség- és gyorsulásvektorokat az \(\boldsymbol{u}\) materiális időderiváltjaként definiáljuk, az anyagi pontot rögzítve:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Ezek az egyenletek definiálják a sebességet és a gyorsulást.

Deformációgradiens és deformációs tenzorok¶

Deformációgradiens-tenzor¶

A véges deformációk kontinuummechanikájának alapvető mennyisége a deformációgradiens-tenzor \(\boldsymbol{F}\). Ez az a lineáris leképezés, amely a referenciakonfiguráció \(d\boldsymbol{X}\) infinitezimális vonalelemét az aktuális konfiguráció \(d\boldsymbol{x}\) infinitezimális vonalelemére képezi le, és a mozgásleképezés materiális koordináták szerinti gradienseként definiált:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Az így definiált kapcsolatban (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) deformálatlan állapotban \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). A \(\boldsymbol{F}\) tenzort széles körben használjuk az alakváltozás és a feszültség definiálására, valamint fizikai mennyiségek konfigurációk közötti transzformációjára.

Térfogatváltozási arány¶

A referenciakonfiguráció \(dV\) infinitezimális térfogatának és az aktuális konfiguráció megfelelő \(dv\) infinitezimális térfogatának arányát térfogatváltozási aránynak, \(J\)-nek nevezzük:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

A kontinuum invertálhatóságához \(J > 0\) szükséges. A tömegmegmaradás összefüggése \(\rho_0 = J\rho\).

Jobb és bal Cauchy–Green-deformációs tenzor¶

Mivel a \(\boldsymbol{F}\) deformációgradiens merevtest-forgást is tartalmaz, magának a deformációnak a mérésére olyan mennyiségeket használunk, amelyekből a merevtest-forgást eltávolítottuk. A jobb Cauchy–Green-deformációs tenzor \(\boldsymbol{C}\) (referenciakonfiguráció) és a bal Cauchy–Green-deformációs tenzor \(\boldsymbol{b}\) (aktuális konfiguráció) definíciója:

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Mindkettő szimmetrikus tenzor, és ugyanazokkal a sajátértékekkel rendelkezik (a főnyúlások négyzeteivel). A hiperelasztikus alakváltozási energiafüggvények fő invariánsait ezekkel a tenzorokkal fejezzük ki.

Alakváltozási tenzorok¶

Green–Lagrange-alakváltozási tenzor¶

A referenciakonfigurációhoz tartozó alakváltozási mértékként a Green–Lagrange-alakváltozási tenzor \(\boldsymbol{E}\) definíciója:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Ez szimmetrikus tenzor, amely a referenciakonfiguráció infinitezimális vektorai skalárszorzatának változását fejezi ki; merevtest-forgással szemben invariáns, és deformálatlan állapotban \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). A \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) összefüggést használva:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Ez az alakváltozást az elmozdulásgradiens első- és másodrendű tagjainak összegeként fejezi ki; a másodrendű tag a geometriai nemlinearitást képviseli. A teljes Lagrange-módszerben a \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) munkakonjugált párként használatos.

Almansi-alakváltozási tenzor¶

Az aktuális konfigurációhoz tartozó alakváltozási mértékként az Almansi-alakváltozási tenzor \(\boldsymbol{e}\) definíciója:

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

A Green–Lagrange-alakváltozással a \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) összefüggés (visszahúzás) kapcsolja össze.

Infinitezimális alakváltozási tenzor¶

Ha az elmozdulásgradiens kicsi (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), a Green–Lagrange-alakváltozás másodrendű tagja elhanyagolható. Ekkor a két konfiguráció közötti különbség is eltűnik, és az infinitezimális alakváltozási tenzorra, \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-ra redukálódik, ahol a gradienst térbeli koordináták szerint írjuk fel:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

A FrontISTR ezt az alakváltozási mértéket használja lineáris statikus analízishez, modálanalízishez, frekvenciaválasz-analízishez és lineáris dinamikai analízishez. Véges deformációs analízisben a teljes Lagrange-módszer a \(\boldsymbol{E}\) tenzort, a frissített Lagrange-módszer pedig az aktuális konfigurációhoz tartozó \(\boldsymbol{D}\) deformációsebesség-tenzort használja.