Kihagyás

A virtuális munka elve

Az Feszültség és megmaradási törvények fejezetben levezetett egyensúlyi egyenletből és peremfeltételekből levezetjük a virtuális munka elvét, amely a kontinuummechanikai peremérték-feladat gyenge alakja. A végeselemes diszkretizáció ebből a gyenge alakból indul ki. Ez a fejezet bemutatja mind az aktuális konfigurációban felírt alakot (Cauchy-feszültséggel és az Almansi-alakváltozás lineáris részével), mind a referenciakonfigurációban felírt alakot (a második Piola–Kirchhoff-feszültséggel és Green–Lagrange-alakváltozással), megmutatja ezek ekvivalenciáját, majd igazolja a kis alakváltozásra való redukciót.

Egyensúlyi egyenlet és peremfeltételek

Legyen \(\boldsymbol{g}\) a kontinuumra egységnyi tömegre ható térfogati erő, és tekintsünk egy testet, amely az aktuális konfigurációban az \(\Omega\) tartományt foglalja el. A \(\Gamma\) határt felosztjuk a \(\bar{\boldsymbol{u}}\) előírt elmozdulású geometriai határra, \(\Gamma_B\)-re, valamint a \(\bar{\boldsymbol{t}}\) előírt felületi erővel rendelkező mechanikai határra, \(\Gamma_t\)-re, ahol \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) és \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Statikus feladat esetén az egyensúlyi egyenletet a Feszültség és megmaradási törvények fejezetben megadott impulzusmegmaradási törvény tehetetlenségi tagjának elhagyásával kapjuk:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{itt:} \ \Omega \]

A peremfeltételek:

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{ezen:} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{ezen:} \ \Gamma_B \]

A továbbiakban a virtuális munka elvét az egyensúlyi egyenlet és a \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) mechanikai peremfeltétel gyenge alakjaként vezetjük le. A \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) geometriai peremfeltételt a tesztfüggvény megválasztásával vesszük figyelembe.

Gyenge alak az aktuális konfigurációban

A gyenge alakban az ismeretlen elmozdulás megengedett terét, illetve a tesztfüggvények terét rendre így definiáljuk:

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{ezen:} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{ezen:} \ \Gamma_B \} \]

Itt \(d\) a tér dimenziója, \(H^1(\Omega)\) azon függvények Sobolev-tere, amelyek első gyenge deriváltjaikkal együtt négyzetesen integrálhatók, \(\delta\) pedig a variációt jelöli. Az aktuális konfiguráció szerinti leírásban \(\Omega\) a deformált konfiguráció; a tényleges numerikus megoldás során ezt visszatranszformáljuk a referenciakonfigurációra vagy egy ismert közbenső konfigurációra.

Az egyensúlyi egyenletet a \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) súlyfüggvénnyel megszorozva, majd a Gauss-féle divergenciatételt és a mechanikai peremfeltételt alkalmazva az aktuális konfigurációban a virtuális munka alábbi elvét kapjuk.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Itt \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) az Almansi-alakváltozási tenzor lineáris része, amelyet a következőképpen definiálunk:

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Ennek variációja \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Tehát olyan \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) mezőt keresünk, amelyre a virtuális munka egyenlete minden \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) esetén teljesül. A bal oldal a belső erők virtuális munkája, a jobb oldal pedig az előírt felületi erő és a térfogati erő külső virtuális munkája.

Mivel ez az egyenlet a deformált (aktuális konfigurációbeli) tartományon van felírva, a tényleges megoldási eljárás az \(\Omega_0\) kezdeti konfigurációt (referenciakonfigurációt) vagy egy ismert közbenső konfigurációt választja újra referenciakonfigurációként, az egyenletet inkrementális alakba írja, majd megoldja. A referenciakonfiguráció konkrét megválasztásáról (Total Lagrange / Updated Lagrange) és az inkrementális felbontásról lásd az Növekményes elemzés keretrendszere fejezetet.

Gyenge alak a kezdeti konfigurációban

Tekintsünk egy testet, amely a referenciakonfigurációban az \(\Omega_0\) tartományt foglalja el, és amelynek \(\Gamma_0\) határa \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) részekre oszlik. Az aktuális konfiguráció szerinti leírást a referenciakonfigurációra visszatranszformálva a második Piola–Kirchhoff-feszültség \(\boldsymbol{S}\) és a Green–Lagrange-alakváltozás \(\boldsymbol{E}\) konjugált feszültség–alakváltozás párját kapjuk. A virtuális munka elve a kezdeti konfigurációban ekkor

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Itt \(\rho_0\) a referenciakonfigurációbeli tömegsűrűség, és a \(\rho_0 = J\rho\) tömegmegmaradási összefüggés alapján ez ekvivalens az aktuális konfigurációbeli térfogatierő-leírással.

Az aktuális és a kezdeti konfiguráció szerinti leírás ekvivalenciája

A belső erők virtuális munkája a két leírásban a \(\boldsymbol{F}\) deformációgradiens és a \(J = \det \boldsymbol{F}\) térfogatarány szerinti transzformáció révén megegyezik, azaz

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

A külsőerő-tagok szintén ekvivalensek a tömegmegmaradás és a felületi erő transzformációja alapján. Ezért az aktuális konfiguráció és a kezdeti konfiguráció virtuális munka egyenlete ugyanazt az elvet fejezi ki különböző konfigurációkban. A referenciakonfigurációra hivatkozó megoldási módszer a Total Lagrange-módszernek, míg az aktuális konfigurációra (a közvetlenül megelőző konvergált konfigurációra) hivatkozó megoldási módszer az Updated Lagrange-módszernek felel meg.

Redukció kis alakváltozásra

A \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) és \(J \approx 1\) kis alakváltozási feltevések mellett az aktuális és a referenciakonfiguráció közötti különbség eltűnik, a második PK-feszültség egybeesik a Cauchy-feszültséggel (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), és mind a Green–Lagrange-alakváltozás, mind az Almansi-alakváltozás lineáris része az infinitézimális alakváltozásra \(\boldsymbol{\varepsilon}\) redukálódik.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

A virtuális munka elve ekkor a Cauchy-feszültséggel \(\boldsymbol{\sigma}\) és az infinitézimális alakváltozással \(\boldsymbol{\varepsilon}\) kifejezett gyenge alakra redukálódik:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{ezen:} \ \Gamma_B \]

Ez az a gyenge alak, amelyet közvetlenül diszkretizálnak a kis alakváltozású lineárisan rugalmas statikai analízisben (a Lineárisan rugalmas statikai analízis (bevezetés és függelék) ebből az alakból indul ki, és bemutatja az elem merevségi mátrixának \(\boldsymbol{K}^e\) felépítését a \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) globális egyenlet összeállításán keresztül).

A \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) lineárisan rugalmas anyagtörvényt behelyettesítve, és Voigt-jelöléssel \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) alakban írva a gyenge alak

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

alakot ölti.

Kapcsolódó témák