Kihagyás

Translation update pending

The Hungarian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Fizikai mennyiségek jelöléseinek listája

Ez az oldal a FrontISTR elméleti kézikönyvében használt fizikai mennyiségek jelöléseit sorolja fel. A jelölési szabályokat (vektorok és tenzorok félkövér jelölése, Einstein-féle összegzési konvenció, Voigt-jelölés) lásd a Tenzorjelölés és matematikai alapok fejezetben.

Konfigurációk és koordinátarendszerek

Jelölés Leírás
\(\boldsymbol{X}\) Egy anyagi pont helyvektora a referencia- (kezdeti) konfigurációban (anyagi koordináták)
\(\boldsymbol{x}\) Egy anyagi pont helyvektora az aktuális konfigurációban (térbeli koordináták)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Mozgásleképezés: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) A test által elfoglalt tartomány a referencia-konfigurációban
\(\Omega\) A test által elfoglalt tartomány az aktuális konfigurációban
\(\Gamma_0\) Az \(\Omega_0\) határa
\(\Gamma\) Az \(\Omega\) határa
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometriai (elmozdulási) határ: az aktuális/referencia-konfiguráció azon határa, ahol \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) elő van írva
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mechanikai határ: az aktuális/referencia-konfiguráció azon határa, ahol \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (vagy \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) elő van írva
\(\boldsymbol{n}\) Egy felület kifelé mutató egységnormális vektora az aktuális konfigurációban
\(\boldsymbol{N}\) Egy felület kifelé mutató egységnormális vektora a referencia-konfigurációban
\(t\) Idő

Konvenció: A referencia-konfiguráció fizikai mennyiségeit nagybetűvel vagy \(0\) alsó indexszel, az aktuális konfiguráció fizikai mennyiségeit kisbetűvel jelöljük.

Idő és növekmények (inkrementális analízis)

Jelölés Leírás
\(\Delta t\) Időnövekmény: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fizikai mennyiség a \(t\) időpontban (bal oldali felső index). Példa: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) a Cauchy-feszültség a \(t\) időpontban
\(^{t}\Omega\) Az aktuális konfiguráció tartománya a \(t\) időpontban
\(^{t}\Gamma\) Az aktuális konfiguráció határa a \(t\) időpontban

Konvenció: Inkrementális analízisben a \(t\) időpontig terjedő állapotot ismertnek tekintjük, és a \(t + \Delta t\) időpontbeli állapotot ismeretlenként határozzuk meg. Ha az időt nem szükséges kifejezetten feltüntetni, a bal oldali felső index elhagyható. A referencia-konfigurációként az \(\Omega_0\) referencia-konfigurációt használó formulációt Total Lagrange-formulációnak, az inkrementum kezdetén fennálló \(^{t}\Omega\) aktuális konfigurációt használó formulációt Updated Lagrange-formulációnak nevezzük.

Elmozdulás, sebesség, gyorsulás és tömegerő

Jelölés Leírás
\(\boldsymbol{u}\) Elmozdulásvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) A \(\Gamma_B\) geometriai határon előírt elmozdulás
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtuális elmozdulás (tesztfüggvény): \(\Gamma_B\)-n \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\) Sebességvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Gyorsulásvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Tömegerő (egységnyi tömegre)
\(\boldsymbol{t}\) Felületi erő vektora (egységnyi felületre): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) A \(\Gamma_t\) mechanikai határon előírt felületi erő (Neumann-adat)

Differenciáloperátorok

Jelölés Leírás
\(\dot{(\cdot)}\) Anyagi időderivált (ugyanazt az anyagi pontot követő időderivált): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Referencia-konfigurációbeli gradiens (az \(\boldsymbol{X}\) anyagi koordináták szerinti gradiens): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Aktuális konfigurációbeli gradiens (az \(\boldsymbol{x}\) térbeli koordináták szerinti gradiens): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Szimmetrikus gradiensoperátor: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Megjegyzés: Az \(\nabla_X\) és \(\nabla_x\) kapcsolatát az \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) összefüggés adja. Az alsó index nélküli \(\nabla\) akkor használatos, ha a konfiguráció a szövegkörnyezetből egyértelmű, vagy ha a különbség eltűnik, például kis alakváltozás esetén.

Deformációs tenzorok

Jelölés Leírás
\(\boldsymbol{F}\) Deformációs gradiens tenzora: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Térfogatarány: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Jobb Cauchy-Green-deformációs tenzor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Bal Cauchy-Green-deformációs tenzor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Sebességgradiens-tenzor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Deformációsebesség-tenzor (az \(\boldsymbol{L}\) szimmetrikus része): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Spin-tenzor (az \(\boldsymbol{L}\) antiszimmetrikus része): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Alakváltozási tenzorok

Jelölés Leírás
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange-alakváltozási tenzor (referencia-konfiguráció): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi-alakváltozási tenzor (aktuális konfiguráció): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Az Almansi-alakváltozási tenzor lineáris része (szimmetrikus elmozdulásgradiens az aktuális konfigurációban): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Infinitézimális alakváltozási tenzor (lineáris közelítés): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Megjegyzés: Az \(\boldsymbol{E}\) elsősorban a Total Lagrange-formulációban, az \(\boldsymbol{D}\) pedig elsősorban az Updated Lagrange-formulációban használatos.

Feszültségtenzorok

Jelölés Leírás
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-feszültségtenzor (valódi feszültség, aktuális konfiguráció): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Első Piola-Kirchhoff-feszültségtenzor (névleges feszültség): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Második Piola-Kirchhoff-feszültségtenzor (referencia-konfiguráció, szimmetrikus): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

A feszültségtenzorok közötti átszámítási összefüggések:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvenció: A Total Lagrange-formuláció a \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), az Updated Lagrange-formuláció pedig a \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) párt használja.

Sűrűség és tömeg

Jelölés Leírás
\(\rho\) Tömegsűrűség az aktuális konfigurációban
\(\rho_0\) Tömegsűrűség a referencia-konfigurációban

Tömegmegmaradás: \(\rho_0 = J\rho\).

Anyagállandók (lineáris rugalmasság)

Jelölés Leírás
\(E\) Young-modulus (hosszirányú rugalmassági modulus)
\(\nu\) Poisson-tényező
\(\lambda\) Első Lamé-állandó: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Második Lamé-állandó (nyírási modulus): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Rugalmassági tenzor (negyedrendű): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponensei \(C_{ijkl}\)
\(D\)（vagy \(\hat{\tilde{C}}\)） Anyagmátrix (Voigt-jelölés, 3D-ben \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Izotróp lineárisan rugalmas anyag rugalmassági tenzorának komponensei:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hiperelasztikus anyagok

Jelölés Leírás
\(W(\boldsymbol{C})\) Rugalmas potenciálfüggvény (alakváltozási energiasűrűség-függvény)
\(I_1, I_2, I_3\) A jobb Cauchy-Green-tenzor \(\boldsymbol{C}\) fő invariánsai
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) A \(\boldsymbol{C}\) redukált invariánsai (a térfogatváltozás leválasztásával)
\(C_1, C_2\) A Mooney-Rivlin-modell anyagállandói
\(D\) A térfogati rugalmassághoz tartozó anyagállandó

Elasztoplasztikus anyagok

Jelölés Leírás
\(\boldsymbol{D}^e\) A deformációsebesség-tenzor rugalmas komponense
\(\boldsymbol{D}^p\) A deformációsebesség-tenzor képlékeny komponense
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Folyási függvény
\(\kappa\) A képlékeny állapotot leíró belső változó (izotróp keményedési változó)
\(\lambda^p\) Képlékenységi szorzó (képlékeny alakváltozási sebesség szorzója): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Képlékenységi potenciál (asszociált folyási szabálynál \(\Theta = F\))
\(\bar{\sigma}\) Egyenértékű feszültség (például von Mises-feszültség)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Egyenértékű képlékeny alakváltozás
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Izotróp keményedési függvény

Komplementaritási feltétel: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Végeselemes módszer

Jelölés Leírás
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) A végeselemes felosztással közelített aktuális és referencia-konfigurációbeli tartományok: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Az elem tartománya az aktuális, illetve referencia-konfigurációban
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Az elemhatár mechanikai határhoz tartozó része
\(\boldsymbol{r}\) Természetes koordináták (az elem lokális koordinátái)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Az \(\alpha\) csomóponthoz tartozó pont a természetes koordinátákban
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Az \(e\) elem \(\alpha\) csomópontjához tartozó alakfüggvény
\(n_e\) Az elemet alkotó csomópontok száma
\(n_g\) Globális csomópontok teljes száma
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Az \(\alpha\) elemcsomópont koordinátái és elmozdulása
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Elemcsomóponti koordináta- és elmozdulásvektorok: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) stb.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globális csomóponti koordináta- és elmozdulásvektorok (csomópontszám, majd szabadságfok szerint rendezve)
\(\boldsymbol{B}\) Alakváltozás–elmozdulás kapcsolati mátrix (B-mátrix)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Alakfüggvénymátrix: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) egy \(d \times d\) blokk, amelynek átlóján az \(\alpha\) csomóponthoz tartozó \(N_\alpha^e\) alakfüggvény áll, és \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Elemmerevségi mátrix
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Az elemmerevségi mátrix integrandusai (referencia-, illetve aktuális konfigurációban kifejezve): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\)（TL-formuláció），\(\boldsymbol{q}^e\)（UL-formuláció） Elem belsőerő-vektora
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Az \(\alpha\) elemcsomópontra ható csomóponti külső erő és az elem csomóponti külsőerő-vektora: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globális belsőerő-vektor és globális külsőerő-vektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\), és hasonlóan \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Csomóponti belső erő és csomóponti külső erő az \(i_g\) globális csomópontban (a \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) csomóponti blokkjai)
\(\boldsymbol{K}\) Globális érintőmerevségi mátrix: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). A \(3\times 3\) méretű \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) blokkokat az \(i_g\) sor és \(i_h\) oszlop szerint elrendező mátrix
\(\boldsymbol{R}_i\) Maradékvektor a Newton-Raphson-iterációban: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korrekció a Newton-Raphson-iterációban (az \(i\)-edik iterációban a \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) lineáris egyenlet megoldásával kapjuk)
\(i_g\) Globális csomópontszám (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Az \(e\) elem \(\alpha\) elemhelyi csomópontszámának megfelelő globális csomópontszám: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Az \(i_g\) globális csomópontszámhoz tartozó \((e, \alpha)\) párok halmaza: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Az összeállítási műveletben használatos
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Az \((i_g, i_h)\) globális csomópontszámpárhoz tartozó \((e, \alpha, \beta)\) hármasok halmaza: a merevségi mátrix összeállításánál használatos
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Az elemet alkotó csomópontokhoz tartozó indexek
\(i, j, k, l, \ldots\) A szabadságfokokhoz tartozó indexek (3 dimenzióban \(1, 2, 3\))

Speciális és szerkezeti elemek

Jelölés Leírás
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Térfogati részében módosított alakváltozás–elmozdulás kapcsolati mátrix a B-bar módszerben (a térfogati komponenst az elem középpontjában kiértékelt B-mátrix helyettesíti)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Térfogati részében módosított deformációs gradiens az F-bar módszerben: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Az elem \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) középpontjában kiértékelt deformációs gradiens térfogataránya: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Belső szabadságfok-vektor inkompatibilis módusú elemben (az elemhatáron folytonosságot nem biztosító további elmozdulásmódusok együtthatói)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Az inkompatibilis módusok alakfüggvényei: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Héjelem lemezvastagsága
\(A\) Gerendaelem keresztmetszeti területe
\(I\) Gerendaelem keresztmetszetének másodrendű nyomatéka (a lokális \(y\) és \(z\) tengely körül \(I_y\), illetve \(I_z\) jelöléssel)
\(G\) Nyírási modulus: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
\(L\) A gerendaelem hossza
\(A_s\) Gerendaelem keresztmetszetének nyírási területe (a FrontISTR-ben \(A_s = A\))
\(\Phi_y, \Phi_z\) A nyírási alakváltozás hozzájárulását leíró együtthatók Timoshenko-gerendában: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\)

Kapcsolódó témák