Fizikai mennyiségek jelöléseinek listája
Ez az oldal a FrontISTR elméleti kézikönyvében használt fizikai mennyiségek jelöléseit sorolja fel. A jelölési szabályokat (vektorok és tenzorok félkövér jelölése, Einstein-féle összegzési konvenció, Voigt-jelölés) lásd a Tenzorjelölés és matematikai alapok fejezetben.
Konfigurációk és koordinátarendszerek
| Jelölés | Leírás |
| \(\boldsymbol{X}\) | Egy anyagi pont helyvektora a referencia- (kezdeti) konfigurációban (anyagi koordináták) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Egy anyagi pont helyvektora az aktuális konfigurációban (térbeli koordináták) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Mozgásleképezés: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | A test által elfoglalt tartomány a referencia-konfigurációban |
| \(\Omega\) | A test által elfoglalt tartomány az aktuális konfigurációban |
| \(\Gamma_0\) | Az \(\Omega_0\) határa |
| \(\Gamma\) | Az \(\Omega\) határa |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometriai (elmozdulási) határ: az aktuális/referencia-konfiguráció azon határa, ahol \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) elő van írva |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mechanikai határ: az aktuális/referencia-konfiguráció azon határa, ahol \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (vagy \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) elő van írva |
| \(\boldsymbol{n}\) | Egy felület kifelé mutató egységnormális vektora az aktuális konfigurációban |
| \(\boldsymbol{N}\) | Egy felület kifelé mutató egységnormális vektora a referencia-konfigurációban |
| \(t\) | Idő |
Konvenció: A referencia-konfiguráció fizikai mennyiségeit nagybetűvel vagy \(0\) alsó indexszel, az aktuális konfiguráció fizikai mennyiségeit kisbetűvel jelöljük.
Idő és növekmények (inkrementális analízis)
| Jelölés | Leírás |
| \(\Delta t\) | Időnövekmény: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fizikai mennyiség a \(t\) időpontban (bal oldali felső index). Példa: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) a Cauchy-feszültség a \(t\) időpontban |
| \(^{t}\Omega\) | Az aktuális konfiguráció tartománya a \(t\) időpontban |
| \(^{t}\Gamma\) | Az aktuális konfiguráció határa a \(t\) időpontban |
Konvenció: Inkrementális analízisben a \(t\) időpontig terjedő állapotot ismertnek tekintjük, és a \(t + \Delta t\) időpontbeli állapotot ismeretlenként határozzuk meg. Ha az időt nem szükséges kifejezetten feltüntetni, a bal oldali felső index elhagyható. A referencia-konfigurációként az \(\Omega_0\) referencia-konfigurációt használó formulációt Total Lagrange-formulációnak, az inkrementum kezdetén fennálló \(^{t}\Omega\) aktuális konfigurációt használó formulációt Updated Lagrange-formulációnak nevezzük.
Elmozdulás, sebesség, gyorsulás és tömegerő
| Jelölés | Leírás |
| \(\boldsymbol{u}\) | Elmozdulásvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | A \(\Gamma_B\) geometriai határon előírt elmozdulás |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuális elmozdulás (tesztfüggvény): \(\Gamma_B\)-n \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Sebességvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Gyorsulásvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Tömegerő (egységnyi tömegre) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Felületi erő vektora (egységnyi felületre): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | A \(\Gamma_t\) mechanikai határon előírt felületi erő (Neumann-adat) |
Differenciáloperátorok
| Jelölés | Leírás |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Anyagi időderivált (ugyanazt az anyagi pontot követő időderivált): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Referencia-konfigurációbeli gradiens (az \(\boldsymbol{X}\) anyagi koordináták szerinti gradiens): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Aktuális konfigurációbeli gradiens (az \(\boldsymbol{x}\) térbeli koordináták szerinti gradiens): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Szimmetrikus gradiensoperátor: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Megjegyzés: Az \(\nabla_X\) és \(\nabla_x\) kapcsolatát az \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) összefüggés adja. Az alsó index nélküli \(\nabla\) akkor használatos, ha a konfiguráció a szövegkörnyezetből egyértelmű, vagy ha a különbség eltűnik, például kis alakváltozás esetén.
| Jelölés | Leírás |
| \(\boldsymbol{F}\) | Deformációs gradiens tenzora: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Térfogatarány: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Jobb Cauchy-Green-deformációs tenzor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Bal Cauchy-Green-deformációs tenzor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Sebességgradiens-tenzor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Deformációsebesség-tenzor (az \(\boldsymbol{L}\) szimmetrikus része): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spin-tenzor (az \(\boldsymbol{L}\) antiszimmetrikus része): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Alakváltozási tenzorok
| Jelölés | Leírás |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-alakváltozási tenzor (referencia-konfiguráció): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-alakváltozási tenzor (aktuális konfiguráció): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Az Almansi-alakváltozási tenzor lineáris része (szimmetrikus elmozdulásgradiens az aktuális konfigurációban): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitézimális alakváltozási tenzor (lineáris közelítés): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Megjegyzés: Az \(\boldsymbol{E}\) elsősorban a Total Lagrange-formulációban, az \(\boldsymbol{D}\) pedig elsősorban az Updated Lagrange-formulációban használatos.
Feszültségtenzorok
| Jelölés | Leírás |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-feszültségtenzor (valódi feszültség, aktuális konfiguráció): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Első Piola-Kirchhoff-feszültségtenzor (névleges feszültség): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Második Piola-Kirchhoff-feszültségtenzor (referencia-konfiguráció, szimmetrikus): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
A feszültségtenzorok közötti átszámítási összefüggések:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvenció: A Total Lagrange-formuláció a \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), az Updated Lagrange-formuláció pedig a \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) párt használja.
Sűrűség és tömeg
| Jelölés | Leírás |
| \(\rho\) | Tömegsűrűség az aktuális konfigurációban |
| \(\rho_0\) | Tömegsűrűség a referencia-konfigurációban |
Tömegmegmaradás: \(\rho_0 = J\rho\).
Anyagállandók (lineáris rugalmasság)
| Jelölés | Leírás |
| \(E\) | Young-modulus (hosszirányú rugalmassági modulus) |
| \(\nu\) | Poisson-tényező |
| \(\lambda\) | Első Lamé-állandó: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Második Lamé-állandó (nyírási modulus): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Rugalmassági tenzor (negyedrendű): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponensei \(C_{ijkl}\) |
| \(D\)（vagy \(\hat{\tilde{C}}\)） | Anyagmátrix (Voigt-jelölés, 3D-ben \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Izotróp lineárisan rugalmas anyag rugalmassági tenzorának komponensei:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hiperelasztikus anyagok
| Jelölés | Leírás |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Rugalmas potenciálfüggvény (alakváltozási energiasűrűség-függvény) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | A jobb Cauchy-Green-tenzor \(\boldsymbol{C}\) fő invariánsai |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | A \(\boldsymbol{C}\) redukált invariánsai (a térfogatváltozás leválasztásával) |
| \(C_1, C_2\) | A Mooney-Rivlin-modell anyagállandói |
| \(D\) | A térfogati rugalmassághoz tartozó anyagállandó |
Elasztoplasztikus anyagok
| Jelölés | Leírás |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | A deformációsebesség-tenzor rugalmas komponense |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | A deformációsebesség-tenzor képlékeny komponense |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Folyási függvény |
| \(\kappa\) | A képlékeny állapotot leíró belső változó (izotróp keményedési változó) |
| \(\lambda^p\) | Képlékenységi szorzó (képlékeny alakváltozási sebesség szorzója): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Képlékenységi potenciál (asszociált folyási szabálynál \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | Egyenértékű feszültség (például von Mises-feszültség) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Egyenértékű képlékeny alakváltozás |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Izotróp keményedési függvény |
Komplementaritási feltétel: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Végeselemes módszer
| Jelölés | Leírás |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | A végeselemes felosztással közelített aktuális és referencia-konfigurációbeli tartományok: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Az elem tartománya az aktuális, illetve referencia-konfigurációban |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Az elemhatár mechanikai határhoz tartozó része |
| \(\boldsymbol{r}\) | Természetes koordináták (az elem lokális koordinátái) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Az \(\alpha\) csomóponthoz tartozó pont a természetes koordinátákban |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Az \(e\) elem \(\alpha\) csomópontjához tartozó alakfüggvény |
| \(n_e\) | Az elemet alkotó csomópontok száma |
| \(n_g\) | Globális csomópontok teljes száma |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Az \(\alpha\) elemcsomópont koordinátái és elmozdulása |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Elemcsomóponti koordináta- és elmozdulásvektorok: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) stb. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globális csomóponti koordináta- és elmozdulásvektorok (csomópontszám, majd szabadságfok szerint rendezve) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Alakváltozás–elmozdulás kapcsolati mátrix (B-mátrix) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Alakfüggvénymátrix: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) egy \(d \times d\) blokk, amelynek átlóján az \(\alpha\) csomóponthoz tartozó \(N_\alpha^e\) alakfüggvény áll, és \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elemmerevségi mátrix |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Az elemmerevségi mátrix integrandusai (referencia-, illetve aktuális konfigurációban kifejezve): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\)（TL-formuláció），\(\boldsymbol{q}^e\)（UL-formuláció） | Elem belsőerő-vektora |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Az \(\alpha\) elemcsomópontra ható csomóponti külső erő és az elem csomóponti külsőerő-vektora: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globális belsőerő-vektor és globális külsőerő-vektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\), és hasonlóan \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Csomóponti belső erő és csomóponti külső erő az \(i_g\) globális csomópontban (a \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) csomóponti blokkjai) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globális érintőmerevségi mátrix: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). A \(3\times 3\) méretű \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) blokkokat az \(i_g\) sor és \(i_h\) oszlop szerint elrendező mátrix |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Maradékvektor a Newton-Raphson-iterációban: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korrekció a Newton-Raphson-iterációban (az \(i\)-edik iterációban a \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) lineáris egyenlet megoldásával kapjuk) |
| \(i_g\) | Globális csomópontszám (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Az \(e\) elem \(\alpha\) elemhelyi csomópontszámának megfelelő globális csomópontszám: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Az \(i_g\) globális csomópontszámhoz tartozó \((e, \alpha)\) párok halmaza: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Az összeállítási műveletben használatos |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Az \((i_g, i_h)\) globális csomópontszámpárhoz tartozó \((e, \alpha, \beta)\) hármasok halmaza: a merevségi mátrix összeállításánál használatos |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Az elemet alkotó csomópontokhoz tartozó indexek |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | A szabadságfokokhoz tartozó indexek (3 dimenzióban \(1, 2, 3\)) |
Speciális és szerkezeti elemek
| Jelölés | Leírás |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Térfogati részében módosított alakváltozás–elmozdulás kapcsolati mátrix a B-bar módszerben (a térfogati komponenst az elem középpontjában kiértékelt B-mátrix helyettesíti) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Térfogati részében módosított deformációs gradiens az F-bar módszerben: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Az elem \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) középpontjában kiértékelt deformációs gradiens térfogataránya: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Belső szabadságfok-vektor inkompatibilis módusú elemben (az elemhatáron folytonosságot nem biztosító további elmozdulásmódusok együtthatói) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Az inkompatibilis módusok alakfüggvényei: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Héjelem lemezvastagsága |
| \(A\) | Gerendaelem keresztmetszeti területe |
| \(I\) | Gerendaelem keresztmetszetének másodrendű nyomatéka |
| \(G\) | Nyírási modulus: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Kapcsolódó témák