Kihagyás

Konvergenciakritériumok

A Newton-Raphson-iteráció (Newton-Raphson-módszer) leállításának feltételeként a FrontISTR a maradéknorma kritérium és a korrekciós norma kritérium két mértékegységtelenített mennyiségcsaládját használja. Mindkettő definíciója az analízistípustól (statikai analízis, implicit dinamikai analízis) és az érintkezés jelenlététől függetlenül azonos.

Az elbírálási mennyiségek felosztása

A csomóponti szabadságfokok különböző fizikai dimenziójú komponenseket tartalmaznak. Hat szabadságfokú elemeknél az eltolási szabadságfokok maradéka erő dimenziójú, az elfordulási szabadságfokoké pedig nyomaték dimenziójú. Ráadásul a Lagrange-multiplikátoros módszerrel végzett kontaktanalízisnél (Kontaktanalízis) a maradékvektorba az érintkezési résnek (hossz dimenzió) megfelelő sorok is beletartoznak.

Ha ezeket egyetlen négyzetösszegbe vonnánk össze, a norma értéke a mértékegységrendszer választásától tetszés szerint változna, és a küszöbérték jelentése nem lenne egyértelmű. Ezért a FrontISTR dimenziónként szétválasztja az elbírálási mennyiségeket, mindegyiket a hozzá tartozó referenciamennyiséggel mértékegységteleníti, majd elbírálja.

Jelölés Komponens Dimenzió
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Az eltolási szabadságfokok (csomóponti szabadságfokok 1–3) maradéka Erő
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Az elfordulási szabadságfokok (csomóponti szabadságfokok 4–6, csak hat szabadságfokú elemeknél) maradéka Nyomaték
\(d\boldsymbol{\lambda}\) A Lagrange-multiplikátorok korrekcióvektora Erő

A folyadékkal kapcsolt elemek (csomópontonként 4 szabadságfok, \(u,v,w,p\)) nyomás-szabadságfokát nem vonjuk be az elbírálásba.

A csomópontonként 3 szabadságfokkal rendelkező gerendaelem- és héjelemek (641/761/781) esetében az elfordulást az eltolási csomóponttal párt alkotó dummy csomópont 1–3. szabadságfokaival adjuk meg. Mivel az elbírálás nem különbözteti meg a dummy csomópontokat, a dummy csomópontok maradéka (nyomaték) szintén az eltolási komponens \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\)-be tartozik. Ez a korrekciós norma kritériumra és a maximumérték-alapú elbírálásra is vonatkozik.

A \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) maradék nem tartalmazza az elmozdulási kényszerekkel terhelt szabadságfokok komponenseit. Ennek oka, hogy ezen a szabadságfokokon megjelenő maradék kényszerreakcióknak felel meg, nem pedig egyensúlyi hibának (Newton-Raphson-módszer).

Maradéknorma kritérium

Az \(i\)-edik iteráció \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) maradékát az adott pillanatban a rendszerben fellépő erők nagyságával mértékegységtelenítjük. Az eltolási komponens referenciaerője \(F_\mathrm{ref}\), az elfordulási komponens referencianyomatéka \(M_\mathrm{ref}\) a következő:

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

ahol \(\boldsymbol{Q}\) a belsőerő-vektor, \(\boldsymbol{D}\) pedig a tehetetlenségi és viszkozitási erők összege (Dinamikai analízis):

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

Statikai analízisnél \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). A \(t, r\) indexek az előző szakasz eltolási, illetve elfordulási komponenseit jelölik. Az elbírálási mennyiségek

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

alakúak.

A referenciaerőt a belsőerő és a tehetetlenségi/viszkozitási erők normáinak maximumaként határozzuk meg, nem a vektorösszegük \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\) alapján. Ennek oka, hogy külső erő hatása nélkül bekövetkező szabad rezgésnél az egyensúlyi állapotban \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\), és a vektorösszeg alapján vett referenciamennyiség \(0\)-ra csökkenne. A normák maximuma esetén ez a kioltódás nem történik meg.

Ha a referenciamennyiség egy előre meghatározott alsó korlát (\(10^{-8}\)) alá esik (például a terhelésmentes állapotból indított első iterációnál), nem osztjuk el a referenciamennyiséggel, és maga a maradéknorma szolgál elbírálási mennyiségként. Ekkor az elbírálás a maradék abszolútértéke alapján történik.

Korrekciós norma kritérium

Az \(i\)-edik iterációban kapott korrekcióvektort \(d\boldsymbol{u}_i\) a részlépésben addig felhalmozódott elmozdulásnövekménnyel \(\Delta\boldsymbol{u}\) mértékegységtelenítjük:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

A korrekcióvektor addig felhalmozódott növekményhez képest elég kicsivé válása azt jelenti, hogy az iteráció leállt. Olyan feladatok esetén használjuk segédeltelbírálásként, ahol a maradék csak lassan csökken. Ha a nevező \(0\), a kritériumot nem teljesítve kezeljük.

Lagrange-multiplikátor kritérium

A Lagrange-multiplikátoros módszerrel végzett kontaktanalízisnél a multiplikátorok korrekcióvektorát a multiplikátorok saját nagyságával mértékegységtelenítve a következőt adjuk az elbíráláshoz:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Mivel az érintkezési rés kényszereit a Lagrange-multiplikátorokra vonatkozó egyenletekként építjük be az egyidejű egyenletrendszerbe, a kényszereket teljesítve tekintjük, ha a Lagrange-multiplikátorok konvergáltak. A hossz dimenziójú rés maradékvektorait nem vonjuk be a maradéknorma kritériumba, mert az erőmaradékokhoz nem lehet hozzáadni őket.

A Lagrange-multiplikátorok érintkezési erők, és ugyanazt a dimenziót viselik, mint a referenciaerő \(F_\mathrm{ref}\), ezért a nevezőt alulról \(F_\mathrm{ref}\)-rel határoljuk. Ha csak \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\)-val mértékegységtelenítenénk, olyan állapotban, amikor az érintkezés alig visel terhelést, az elbírálás korlátlanul szigorúvá válna. Ráadásul az épp most az érintkezésbe kerülő csomópontoknál \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\), de \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), ezért az elbírálás teljesíthetetlen lenne. A nevező alsó korlátnál alacsonyabb értékeinek kezelése megegyezik a maradéknorma kritériumével.

Maximumérték-alapú kritérium

Mivel az L2-norma az összes szabadságfok négyzetösszege, egy csupán egyes csomópontokon fennmaradó maradék annál jobban hígul a teljes rendszerben, minél több a csomópont, és kisebbnek minősül. Ahhoz, hogy olyan lokálisan kiegyensúlyozatlan állapotokat is érzékeljünk, mint az érintkező csomópontoké, az eddigi kritériumokban az L2-normát a szabadságfok-komponensek abszolútértékének maximumával helyettesítve is alkalmazhatjuk.

Egy \(\boldsymbol{v}\) vektor eltolási komponensének maximumát az \(I\) csomópont és a \(k\) csomóponti szabadságfok tekintetében a következőképpen határozzuk meg:

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Az elfordulási komponens \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\)-t hasonlóan határozzuk meg \(k = 4,5,6\) esetén, a Lagrange-multiplikátoroknál pedig a komponensek abszolútértékének maximumát vesszük. Az elbírálási mennyiséget úgy kapjuk, hogy a kritériumok L2-normáját mind a számlálóban, mind a nevezőben e maximumra cseréljük:

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Az elfordulási komponensekkel hasonlóan járunk el. A referenciamennyiség alsó korlátnál alacsonyabb esete, valamint a nevező \(0\) esete kezelése megegyezik az L2-normás kritériumokével.

A referenciamennyiséget is ugyanilyen alakú maximumként határozzuk meg, hogy az elbírálási mennyiségek nagysága az L2-normás kritériumokéhoz hasonló mértékű maradjon, és hasonló küszöbértékekkel lehessen használni. A szabadságfok-komponenseket nem egyenként, külön-külön referenciamennyiséggel osztjuk, mert a terhelés nélküli irányokban a referenciamennyiség \(0\)-hoz közelít, és az elbírálási mennyiség elveszítené a jelentését.

A maximumérték-alapú elbírálás esetén egyértelműen meghatározható a maximumot megadó csomópont és szabadságfok. A FrontISTR ezt a maradék és a korrekcióvektor vonatkozásában az iterációnkénti naplóba kiírja.

Az elbírálások kombinálása

Az eddigi elbírálási mennyiségek (maradék, korrekció, Lagrange-multiplikátor; eltolási és elfordulási komponens; L2-norma és maximumérték-alapú változat) egyenként jelölhetők meg, hogy az elbírálásban részt vesznek (CHECK) vagy sem (SKIP). Alapértelmezés szerint az L2-norma alapján végzett elbírálások mind CHECK, a maximumérték alapján végzött elbírálások mind SKIP.

A maradéknorma kritérium és a korrekciós norma kritérium közül elegendő az egyik teljesítése a konvergencia eléréséhez. A Lagrange-multiplikátor kritérium ezzel szemben az érintkezési kényszerek teljesülésének megerősítése, ezért minden Lagrange-multiplikátort tartalmazó analízisnél mindig előírva van. Egyetlen kritériumon belül az eltolási és elfordulási komponensek, valamint az L2-norma és a maximumérték közül a CHECK-kel jelöltek mind teljesülniük kell.

Ennek képlettel való kifejezéséhez a \(G\) elbírálási mennyiség-csoportra a következő két definíciót vezetjük be:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ teljesül} \ \vee\ m \text{ SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) igaz, ha \(G\)-ben egyetlen CHECK-kel jelölt elbírálási mennyiség sincs. A konvergenciafeltétel:

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{Lagrange-multiplikátor kritérium}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Korrekciós norma kritérium}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Korrekciós norma kritérium}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Maradéknorma kritérium}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Maradéknorma kritérium}) \right) \right\} \]

A „vagy"-val összekötött két csoportra illesztett \(\mathrm{any\_check}\) biztosítja, hogy egy CHECK-kel sem jelölt csoport ne kerülhessen el elbírálás nélkül. Az elfordulási szabadságfok nélküli analízis elfordulási komponenseit, valamint a Lagrange-multiplikátor nélküli analízis Lagrange-multiplikátor kritériumát akkor sem vesszük fel az elbírálásba, ha CHECK-ket jelöltek meg. Alapértelmezett beállításoknál a konvergenciafeltétel:

\[ \left( \text{Lagrange-multiplikátor kritérium} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{Korrekciós norma kritérium} \right) \ \vee\ \left( \text{Maradéknorma kritérium} \right) \right\} \]

Így az elfordulási szabadságfokkal rendelkező analízisnél az eltolási és az elfordulási komponensek egyaránt értékelődnek, a Lagrange-multiplikátor nélküli analízisnél pedig a Lagrange-multiplikátor kritériumot kihagyó feltétel értékelődik.

Az L2-norma alapján végzett elbírálások \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) küszöbértékeinek megadási módjáról és alapértelmezett értékeiről lásd !STEP; a CHECK/SKIP beállításokról és a maximumérték-alapú elbírálások küszöbértékeiről lásd !CONVERG_PARAM; a kritériumok közti választás irányelveiről pedig a Nemlineáris iteráció és időintegrálás (funkció) oldalt.

Kapcsolódó témák