Kihagyás

Dinamikai analízismódszerek

Ez a szakasz a dinamikai problémák közvetlen időintegrálással történő elemzési módszereit ismerteti. Az implicit és explicit módszerek megfogalmazása alább található.

A mozgásegyenlet diszkretizálása (közös keret)

TBD (a következő szakaszban kerül kiegészítésre).

Implicit módszer (Newmark-β módszer)

Dinamikai problémák esetén közvetlen időintegrálási módszerrel oldjuk meg az alább látható mozgásegyenletet.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Itt \(M\) a tömegmátrix, \(C\) a csillapítási mátrix, \(Q\) a belsőerő-vektor, \(F\) pedig a külsőerő-vektor. Feltételezzük, hogy a tömegmátrix a deformációtól függetlenül állandó marad, még nemlineáris analízis esetén is.

Az elmozdulás, sebesség és gyorsulás változását a \(\Delta t\) időlépés alatt a Newmark-\(\beta\) módszerrel közelítjük, az \(\eqref{eq:2.5.2}\) és \(\eqref{eq:2.5.3}\) egyenletek szerint.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Itt \(\gamma\) és \(\beta\) a Newmark-\(\beta\) módszer paraméterei.

Mint ismeretes, \(\gamma\) és \(\beta\) alábbi értékei rendre a lineáris gyorsulási módszernek és a trapézszabálynak felelnek meg.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (lineáris gyorsulási módszer)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapézszabály)

Az \(\eqref{eq:2.5.2}\) és \(\eqref{eq:2.5.3}\) egyenletek behelyettesítése az \(\eqref{eq:2.5.1}\) egyenletbe a következő egyenletet adja.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Lineáris probléma esetén különösen \(K_L\) a lineáris merevségi mátrix és \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). E kapcsolat behelyettesítése a fenti egyenletbe a következő egyenletet adja.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Azokon a helyeken, ahol a gyorsulás geometriai peremfeltételként előírt, az elmozdulás az \(\eqref{eq:2.5.2}\) egyenletből a következőképpen adódik.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Hasonlóan, azokon a helyeken, ahol a sebesség előírt, az elmozdulás az \(\eqref{eq:2.5.6}\) egyenletből a következőképpen adódik.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Itt \(u_{is}(t+\Delta{t})\) a csomóponti elmozdulás \(t+\Delta{t}\) időpontban, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) pedig a csomóponti sebesség \(t+\Delta{t}\) időpontban, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) a csomóponti gyorsulás \(t+\Delta{t}\) időpontban, \(i\) a csomóponti szabadságfok sorszáma, \(s\) pedig a csomópont száma. A tömeg- és csillapítási tagok kezelése a következő.

A tömegtag kezelése

Elvileg a tömegmátrixot koncentrált tömegmátrixként kezeljük.

A csillapítási tag kezelése

A csillapítási tagot az \(\eqref{eq:2.5.8}\) egyenlettel kifejezett Rayleigh-csillapításként kezeljük.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Itt \(R_m\) és \(R_k\) a Rayleigh-csillapítás paraméterei.

A !DYNAMIC kártyán megadott \(R_m\) és \(R_k\) értékek egységesen az egész modellre érvényesek. Ha anyagonként eltérő \(R_m\) és \(R_k\) értékeket szeretne megadni, az adott anyag !MATERIAL blokkjában adja meg a !DAMPING kártyát. Az olyan anyaghoz tartozó elemeknél, amelyhez !DAMPING van megadva, az elemi csillapítási mátrix az elemi tömegmátrixból \(M_i\) és az érintő merevségi mátrixból \(K_i\) számítódik \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) szerint, majd összeáll a globális csillapítási mátrixba. Ez a funkció csak az implicit módszernél hatásos.

Explicit módszer (központi differencia módszer)

Az explicit módszer az alább látható, t időpontbeli mozgásegyenleten alapul.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Itt a \(t + \Delta t\) és \(t - \Delta t\) időpontbeli elmozdulásokat a \(t\) időpont körüli Taylor-sorba fejtéssel írjuk fel, és a \(\Delta t\) másodrendű tagjáig megtartva a tagokat a következő egyenleteket kapjuk.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Az \(\eqref{eq:2.5.3}\) és \(\eqref{eq:2.5.4}\) egyenletek különbségét és összegét véve a következő egyenleteket kapjuk.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Az \(\eqref{eq:2.5.12}\) és \(\eqref{eq:2.5.13}\) egyenletek behelyettesítése az \(\eqref{eq:2.5.9}\) egyenletbe a következő egyenletet adja.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Lineáris probléma esetén különösen \(Q(t) = K_L U(t)\), és a fenti egyenlet alakja

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Ha az \(M\) tömegmátrixot koncentrált tömegmátrixnak, a csillapítási mátrixot pedig \(C = R_m M\) arányos csillapítási mátrixnak vesszük, az \(\eqref{eq:2.5.15}\) egyenlethez nincs szükség szimultán egyenletrendszer megoldására.

Ezért az \(\eqref{eq:2.5.15}\) egyenletből \(U(t+\Delta t)\) a következő egyenlettel határozható meg.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Kapcsolódó témák