Modálanalízis¶

Általánosított sajátérték-probléma¶

Egy kontinuum szabadrezgés-vizsgálatához a szerkezetet térben diszkretizáljuk, és koncentrált tömegekkel rendelkező, több szabadságfokú rendszerként modellezzük, amint azt a 2.3.1. ábra mutatja. Csillapítatlan szabadrezgési probléma esetén az irányító egyenlet (mozgásegyenlet) a következő.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Itt $u$ az általánosított elmozdulásvektor, $M$ a tömegmátrix, $K$ pedig a merevségi mátrix. Legyen $\omega$ a sajátkörfrekvencia, $a$ és $b$ két tetszőleges, nem egyszerre nulla állandó, $x$ pedig egy vektor. Definiáljuk a következő függvényt:

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Ennek második deriváltja:

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

A $\eqref{eq:2.3.2}$ és a $\eqref{eq:2.3.3}$ egyenletet a $\eqref{eq:2.3.1}$ egyenletbe helyettesítve:

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Ebből a fenti egyenlet adódik.

Nemtriviális rezgés esetén $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ nem azonosan nulla.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Ezért a fenti összefüggés teljesül. Így $\lambda=\omega^2$ választásával:

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Ebből a fenti egyenlet adódik.

A $\lambda$ skalárt sajátértéknek, az $x$ vektort sajátvektornak, a $\eqref{eq:2.3.5}$ egyenlettel leírt problémát pedig általánosított sajátérték-problémának nevezzük.

A $\omega$ sajátkörfrekvencia a $\lambda=\omega^2$ sajátértékből adódik, a hozzá tartozó $x$ sajátvektor pedig egy rezgési módust ír le.

Több szabadságfokú rendszer példája csillapítatlan szabadrezgéshez

2.3.1. ábra Több szabadságfokú rendszer példája csillapítatlan szabadrezgéshez

Mátrixtulajdonságok és feltételezések¶

Az előző szakaszban kapott $Kx=\lambda Mx$ általánosított sajátérték-probléma esetén ez a kézikönyv szimmetrikus mátrixokat feltételez. Komplex mátrixok esetén ez Hermitikus, valós mátrixok esetén szimmetrikus mátrixokat jelent.

Legyen $k_{ij}$ a $K$ mátrix $ij$ eleme. A Hermitikus tulajdonság:

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

a fenti egyenlettel fejezhető ki, ahol $\bar{k}_{ji}$ a $k_{ji}$ komplex konjugáltja. Valós mátrixok esetén ez az összefüggés $k_{ij}=k_{ji}$ alakú.

Egy valós szimmetrikus $H$ mátrix pozitív definit, ha minden nem nulla $x$ vektorra

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

a fenti egyenlőtlenség teljesül. Ebben az esetben $H$ minden sajátértéke pozitív.

Szerkezeti sajátérték-problémában az $M$ tömegmátrixot rendszerint pozitív definitnek tekintjük. A $K$ merevségi mátrix azonban a kényszerektől függően pozitív szemidefinit lehet, és a merevtest-módusokhoz tartozó nulla sajátértékeket tartalmazhat.

Eltolásos inverz iteráció¶

A gyakorlati végeselemes szerkezeti analízisben általában nincs szükség minden sajátértékre; gyakran legfeljebb néhány alacsony rendű sajátérték elegendő. A HEC-MW nagyméretű problémákhoz készült, amelyekben a mátrixok nagyok és rendkívül ritkák, sok nulla elemmel. Ezért fontos, hogy e tulajdonságokat figyelembe véve hatékonyan számítsuk ki az alacsony rendű módusok sajátértékeit.

Egy $\sigma$ eltolás esetén, ha $-\sigma$ nem sajátérték, és $K+\sigma M$ nem szinguláris, a $\eqref{eq:2.3.5}$ egyenlet a következőképpen alakítható át.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Ez az átalakítás változatlanul hagyja az $x$ sajátvektort, a $\lambda$ sajátértéket pedig $1/(\lambda+\sigma)$-ra képezi le.

Következésképpen minél közelebb van $\lambda$ a $-\sigma$ értékhez, annál nagyobb az átalakított sajátérték abszolút értéke. Szerkezeti sajátérték-probléma esetén $\lambda \geq 0$ és $\sigma \geq 0$, ezért a legkisebb sajátérték a legnagyobb abszolút értékű sajátértékre képeződik le. E tulajdonságot kihasználva, ha a $\eqref{eq:2.3.8}$ egyenletre olyan iteratív módszert alkalmazunk, amely először a nagy abszolút értékű sajátértékekhez konvergál, az alacsony rendű sajátértékek növekvő sorrendben, hatékonyan meghatározhatók.

Ezt a módszert eltolásos inverz iterációnak nevezzük.

Kényszereket tartalmazó analíziseknél a FrontISTR $\sigma = 0$-t állít be, és a $\eqref{eq:2.3.8}$ egyenlet $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$ alakúvá válik, vagyis eltolás nélküli inverz iterációt kapunk. Kényszerek nélküli szabad–szabad analízisben $K$ szinguláris, mert a merevtest-módusokhoz tartozó nulla sajátértékeket tartalmaz; $\sigma$ pozitív értéke regularizálja a $K+\sigma M$ mátrixot. A $\sigma$ értékét a !EIGEN parancs SIGMA paraméterével kell megadni.

Lanczos-módszer¶

Indoklás (összehasonlítás a Jacobi-módszerrel)¶

A Jacobi-módszer jól ismert klasszikus módszer.

Kis méretű és sűrű mátrixok esetén hatékony. Mivel azonban a HEC-MW nagy és ritka mátrixokat kezel, a Jacobi-módszert nem alkalmazza; helyette a Lanczos-féle iteratív módszert használja.

Algoritmus és jellemzők¶

A C. Lanczos által az 1950-es években javasolt módszer egy mátrix tridiagonalizálására szolgáló algoritmus, amely a következő jellemzőkkel rendelkezik.

Iteratív módszer, és a számítás a mátrix ritka szerkezetének megőrzésével végezhető.
Műveletei elsősorban mátrix–vektor szorzásokból állnak, ezért jól párhuzamosítható.
Jól illeszkedik a végeselemes hálókhoz kapcsolódó geometriai tartományfelosztáshoz.
Hatékony számítást tesz lehetővé a meghatározandó sajátértékek számának vagy a módustartománynak a korlátozásával.

A Lanczos-módszer egy kezdővektorból indul, egymás után ortogonális vektorokat állít elő, és bázist képez egy Krylov-altérhez.

Véges pontosságú aritmetikában a kerekítési hibák miatt a vektorok elveszíthetik ortogonalitásukat. E hatás csökkentésére a FrontISTR megvalósítása minden vektort újraortogonalizál a már meghatározott Lanczos-bázisvektorokra.

Geometriai értelmezés (Krylov-altér)¶

A következő változótranszformációkat alkalmazva a $\eqref{eq:2.3.8}$ egyenletre,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

a probléma a következő alakban írható át:

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Ebből a fenti egyenlet adódik.

Egy tetszőleges, nem nulla $q_0$ vektor esetén

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

e vektorok által kifeszített teret,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov-altérnek nevezzük.

A Lanczos-módszer egymás után felépíti ennek a Krylov-altérnek egy bázisát.

A FrontISTR az $M$ tömegmátrixhoz társított következő belső szorzatot használja

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

a bázis ortonormalizálásához. A következő ábrákon látható $\langle x,y\rangle$ belső szorzatot és $\|x\|$ normát a FrontISTR számításaiban rendre ezzel az $M$-belső szorzattal és a hozzá tartozó $M$-normával

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

értelmezzük.

Alkalmazzuk az $A$ mátrix által meghatározott lineáris transzformációt egy tetszőleges $q_0$ vektorra, amint azt a 2.3.2. ábra mutatja.

$A $q_0$ vektor lineáris transzformációja az $A$ mátrixszal$

2.3.2. ábra A $q_0$ vektor lineáris transzformációja az $A$ mátrixszal

Az átalakított vektort az általa és az eredeti vektor által kifeszített térben ortogonalizáljuk. Pontosabban a Gram–Schmidt-ortogonalizálást végezzük el, amint azt a 2.3.3. ábra mutatja. A kapott vektor legyen $r_1$; normalizálásával $q_1$-et kapunk.

$A $q_0$-ra ortogonális $q_1$ vektor$

2.3.3. ábra A $q_0$-ra ortogonális $q_1$ vektor

Ugyanezzel az eljárással $q_1$-ből $q_2$-t kapunk. Itt $q_2$ mind $q_1$-re, mind $q_0$-ra ortogonális, amint azt a 2.3.4. ábra mutatja.

$A $q_1$-re és $q_0$-ra ortogonális $q_2$ vektor$

2.3.4. ábra A $q_1$-re és $q_0$-ra ortogonális $q_2$ vektor

Ily módon a Lanczos-módszer egymás után felépíti a Krylov-altér egy ortonormált bázisát. Elméletben a sajátérték-probléma szimmetriája lehetővé teszi, hogy ezt az iterációt a legutóbbi bázisvektorokat tartalmazó háromtagú rekurzióval fejezzük ki.

A FrontISTR megvalósítása azonban minden vektort a már meghatározott Lanczos-bázisvektorokra újraortogonalizál az $M$-belső szorzat használatával, hogy csökkentse a véges pontosságú aritmetika okozta ortogonalitásvesztést.

Tridiagonalizálás¶

A FrontISTR Lanczos-iterációjában a bázisvektorokat az előző szakaszban ismertetett $M$-belső szorzatra nézve ortonormalizáljuk, ezért

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

a fenti összefüggés teljesül.

A $\eqref{eq:2.3.10}$ egyenlet $A$ mátrixát használva az elméleti Lanczos-iteráció:

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

a fenti háromtagú rekurzióval írható le.

Először $\alpha_i$-t a következőképpen definiáljuk.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Ezután az ideiglenes maradékvektort a következőképpen definiáljuk:

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

a fentiek szerint.

A véges pontosságú aritmetika okozta ortogonalitásvesztés csökkentésére a FrontISTR megvalósítása az $M$-belső szorzat használatával újraortogonalizálja $\tilde{r}_{i+1}$-et a már meghatározott Lanczos-bázisvektorokra. Ha $r_{i+1}$ az újraortogonalizálás utáni maradékvektor, akkor

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

a fenti összefüggések teljesülnek.

A Lanczos-iterációval kapott $m$ bázisvektort foglaljuk a következő mátrixba:

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Ekkor véges számú Lanczos-iteráció után

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

a fenti összefüggés teljesül.

Itt $e_m$ az az $m$-dimenziós egységvektor, amelynek $m$-edik komponense 1, a többi komponense pedig nulla, továbbá

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

egy szimmetrikus tridiagonális mátrix.

Így az eredeti nagyméretű sajátérték-probléma sajátértékei a $T_m$ tridiagonális mátrix sajátértékeinek kiszámításával közelíthetők.

Kapcsolódó témák¶

Frekvenciaválasz-analízis — Frekvenciaválasz a modálanalízis eredményeinek felhasználásával
Analízistípusok — A modálanalízis funkcionális áttekintése