Kihagyás

Tranziens hővezetési analízis

Ez a fejezet a szilárd testek végeselemes módszerrel (Finite Element Method) végzett hővezetési analízisének idődiszkretizációját és iteratív megoldási módszerét ismerteti. A kontinuum szintű alapegyenleteket és peremfeltételeket lásd a Hővezetési egyenlet fejezetben.

Diszkretizált egyenlet (kiindulópont)

A hővezetési egyenlet (a hővezetési egyenlet (gov_he_main)) Galerkin-módszerrel történő diszkretizálásával

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

ahol

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Itt \(K\), \(M\), \(F\) és \(N\) rendre a hővezetési mátrix (beleértve a konvekciós és sugárzási peremhozzájárulásokat), a tömegmátrix, a hőterhelési vektor és az alakfüggvény-mátrix. Az anyagjellemzők jelöléseinek (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) stb.) definíciói a Hővezetési egyenlet fejezetet követik.

Idődiszkretizáció és iteratív megoldás

A \(\eqref{eq:2.4.8}\) egyenlet nemlineáris és tranziens egyenlet. Az idő szerinti diszkretizálást visszalépő Euler-módszerrel végezve, ha a \(t=t_0\) időpontbeli hőmérséklet ismert, a \(t=t_0+\Delta t\) időpontbeli hőmérsékletet a következő egyenlettel számítjuk ki.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Tekintsük a \(\eqref{eq:2.4.13}\) egyenletet közelítőleg kielégítő \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) hőmérsékletvektor javítását úgy, hogy pontosabb \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) megoldást kapjunk.

Ehhez először a hőmérsékletvektort a következő alakban írjuk fel.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

A hővezetési mátrix és a hőmérsékletvektor szorzatát, a tömegmátrixot és a kapcsolódó tagokat a következőképpen közelítjük.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

A \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) és \(\eqref{eq:2.4.16}\) egyenleteket a \(\eqref{eq:2.4.13}\) egyenletbe helyettesítve, majd a másod- és magasabb rendű tagokat elhagyva a következő egyenletet kapjuk.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

A bal oldali együtthatómátrixot továbbá a következő egyenlettel közelítjük.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Itt \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) az érintőmerevségi mátrix.

Végül a \(t=t_0+\Delta t\) időpontbeli hőmérséklet a következő egyenlet szerinti iteratív számítással határozható meg.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Állandósult analízis esetén különösen a következő egyenlet szerint végezzük az iterációt.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Tranziens analízisben, mivel az idődiszkretizáció implicit módszert alkalmaz, a \(\Delta t\) időlépés megválasztását általában nem korlátozza annak nagysága. Ha azonban a \(\Delta t\) időlépés túl nagy, nő a konvergenciához szükséges iterációk száma. Általában a túl nagy \(\Delta t\) időlépés növeli az iterációk számát. A megvalósítás automatikus lépésköz-szabályozást használ: figyeli a maradékvektor nagyságát, lassú konvergencia esetén csökkenti \(\Delta t\)-t, kevés iteráció esetén pedig növeli \(\Delta t\)-t (→ részletekért lásd a Lépésvezérlés fejezetet).

Kapcsolódó témák