Ոչ գծային իտերացիա և ժամանակային ինտեգրում¶

FrontISTR-ի վերլուծությունը քայլերի ինկրեմենտային կառավարման շրջանակում յուրաքանչյուր ենթաքայլում համակցում է ոչ գծային իտերացիան և ժամանակային ինտեգրումը։ Այս էջում նկարագրվում է արտաքին քայլերի կառավարման և ներքին գծային լուծիչի միջև գտնվող իտերացիոն կառուցվածքը՝ Newton-Raphson իտերացիաները, կոնտակտային իտերացիաները, դինամիկ վերլուծության ժամանակային ինտեգրումը և անցողիկ ջերմահաղորդման ժամանակային առաջընթացն ու ոչ գծային իտերացիաները։

Ֆունկցիոնալ հնարավորությունների ընդհանուր պատկերը¶

Քայլի ներսում կատարվող ոչ գծային լուծումն ու ժամանակային ինտեգրումը կազմված են արտաքինից դեպի ներս ներդրված մի քանի ցիկլերից։ Յուրաքանչյուր մակարդակ ունի հետևյալ դերը։

Վերլուծության տեսակից կախված՝ այս մակարդակներից օգտագործվում է միայն համապատասխան մասը։

Կոնտակտի տեսակի և ալգորիթմի ընտրության համար տես Կոնտակտ և ներկառուցում։ Այստեղ նկարագրվում է, թե ընտրված ալգորիթմը ինչպես է կառուցվում որպես իտերացիոն ցիկլ։

Լուծման մեթոդի ընտրություն¶

Իտերացիոն կառուցվածքը ավտոմատ որոշվում է վերլուծության տեսակի ընտրությունից (Վերլուծության տեսակներ), ոչ գծայնության առկայությունից (երկրաչափական ոչ գծայնություն, նյութական ոչ գծայնություն, կոնտակտ) և կոնտակտային ալգորիթմից (SLAGRANGE կամ ALAGRANGE)։ Օգտատերը հիմնականում ուղղակիորեն կարգավորում է իտերացիաների առավելագույն թիվն ու զուգամիտության չափանիշները։

Կարգավորման ուղեցույցը հետևյալն է։

• Ստանդարտ վերլուծությունների համար իտերացիաների առավելագույն թվի լռելյայն արժեքը սովորաբար բավարար է։ Եթե դժվար զուգամիտող խնդիրն ավարտվում է «առավելագույն իտերացիաների հասնելու պատճառով չզուգամիտած» վիճակով, նախ օգտագործեք cutback (Քայլերի կառավարում), և միայն եթե դա չի օգնում՝ մեծացրեք սահմանը։
• Զուգամիտության չափանիշները կարգավորեք կայունության և հաշվարկային ժամանակի հավասարակշռությամբ։ Ավելի խիստ չափանիշը բարձրացնում է հավասարակշռության ճշտությունը, բայց մեծացնում իտերացիաների թիվը։ Կոնտակտ կամ Լագրանժի բազմապատկիչ պարունակող վերլուծություններում կայունությունը կարող է բարելավվել՝ մնացորդի չափանիշին ավելացնելով տեղաշարժի ինկրեմենտի և Լագրանժի չափանիշները։
• Դինամիկ վերլուծության ժամանակային ինտեգրման Newmark-β գործակիցների համար սկսեք ստանդարտ արժեքների համակցությունից և փոխեք դրանք, եթե ցանկանում եք փոխել տատանողական արձագանքի թվային մարման հատկությունները։
• Անցողիկ ջերմահաղորդման համար հարթ ջերմաստիճանային փոփոխությունների դեպքում ընտրեք Crank-Nicolson, իսկ կտրուկ փոփոխությունների կամ երկարատև կայունության կարևորության դեպքում՝ Backward Euler։

Ստատիկ վերլուծության Newton-Raphson իտերացիա¶

Ոչ գծային ստատիկ վերլուծության դեպքում երկրաչափական կամ նյութական ոչ գծայնություն պարունակող հավասարակշռության հավասարումը լուծվում է Newton-Raphson մեթոդով։ Յուրաքանչյուր իտերացիա կատարվում է հետևյալ քայլերով։

1. Ընթացիկ լուծման համար գնահատվում է մնացորդի \(\boldsymbol{R}\) վեկտորը։
2. Հավաքվում է շոշափող կոշտության \(\boldsymbol{K}_T\) մատրիցը։
3. Լուծվում է \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) գծային համակարգը և ստացվում տեղաշարժի \(\Delta \boldsymbol{u}\) ուղղումը։
4. Լուծումը թարմացվում է \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\)։
5. Ստուգվում է զուգամիտության չափանիշը։ Զուգամիտության դեպքում իտերացիան ավարտվում է, հակառակ դեպքում վերադարձ է կատարվում քայլ 1-ին։

Գծային համակարգի լուծումը (քայլ 3) կատարում է գծային լուծիչը։ Լուծիչի և նախապայմանավորման ընտրության համար տես Լուծիչ և նախապայմանավորում։

Իտերացիան կառավարվում է !STEP-ի քայլի կառավարման պարամետրերով։

Քայլերի կառավարում-ում ավտոմատ ինկրեմենտի և cutback գործընթացի որոշման համար օգտագործվող Newton-ի իտերացիաների առավելագույն թիվը վերաբերում է այստեղ նկարագրված Newton իտերացիաներին։ Ավտոմատ ինկրեմենտը քիչ իտերացիաներով ավարտված ենթաքայլից հետո մեծացնում է ժամանակային ինկրեմենտը, իսկ բազմաթիվ իտերացիաներ պահանջած ենթաքայլից հետո՝ փոքրացնում։

Ստատիկ վերլուծության կոնտակտային իտերացիաներ¶

Կոնտակտային վերլուծության ժամանակ կպման, անջատման և սահքի պատճառով կոնտակտային վիճակը փոխվում է իտերացիաների ընթացքում, ուստի Newton իտերացիան համակցվում է կոնտակտային վիճակի թարմացման հետ։ Կառուցվածքը կախված է կոնտակտի լուծման ալգորիթմից։

Երկու ալգորիթմների համար էլ ամենաարտաքին մակարդակում գտնվում է կոնտակտային վիճակի որոնման ցիկլը։ Յուրաքանչյուր ցիկլում ներքին Newton իտերացիաների զուգամիտությունից հետո վերագնահատվում է կոնտակտային վիճակը (կպում/անջատում), և եթե վիճակը փոխվել է, թարմացվում է կոշտության մատրիցի կառուցվածքը ու ներքին իտերացիան կրկնվում է։ Ցիկլն ավարտվում է, երբ կոնտակտային վիճակը չի փոխվում նախորդից և բավարարվում է կոնտակտային զուգամիտության չափանիշը (կոնտակտային ուժ/ Լագրանժի բազմապատկիչ)։ Առավելագույն թիվը նշվում է !STEP-ի MAXCONTITER-ով։

SLAGRANGE կոնտակտի դեպքում ստանդարտ Լագրանժի բազմապատկիչի մեթոդով կոնտակտային ազատության աստիճանները ներառվում են գծային համակարգում, և ստացվում է երկմակարդակ կառուցվածք՝ կոնտակտային վիճակի որոնման ցիկլի ներսում անմիջապես Newton իտերացիաներով։ Ընդլայնված Լագրանժի իտերացիա չկա։

ALAGRANGE կոնտակտի դեպքում կոնտակտային վիճակի որոնման ցիկլի ներսում տեղադրվում է նաև ընդլայնված Լագրանժի իտերացիա, իսկ դրա ներսում՝ Newton իտերացիա, այսինքն՝ ստացվում է եռամակարդակ կառուցվածք։ Ընդլայնված Լագրանժի յուրաքանչյուր իտերացիայում կոնտակտային սահմանափակումը վերագնահատվում է տուգանքային անդամի և Լագրանժի բազմապատկիչի համակցությամբ՝ աստիճանաբար բարելավելով սահմանափակման ճշտությունը։ Ընդլայնված Լագրանժի իտերացիաների առավելագույն թիվը նշվում է !CONTACT_ALGO-ի AUGITER-ով։

Կոնտակտային իտերացիաների կառավարման արժեքները հետևյալն են։

Քայլերի կառավարում-ի ավտոմատ ինկրեմենտի որոշման մեջ օգտագործվող կոնտակտային իտերացիաների թիվը վերաբերում է այստեղ նկարագրված՝ կոնտակտային վիճակի թարմացում պարունակող իտերացիաներին։ Այն խնդիրներում, որտեղ կպումն ու անջատումը հաճախ են տեղի ունենում, կոնտակտային իտերացիաների թիվը մեծանում է և ազդում ավտոմատ ինկրեմենտի ու cutback գործընթացի վրա։ Կոնտակտի տեսակի, զույգերի և ալգորիթմի ընտրության համար տես Կոնտակտ և ներկառուցում, իսկ կոնտակտային ազատության աստիճաններ պարունակող գծային համակարգի լուծման համար՝ Լուծիչ և նախապայմանավորում։

Դինամիկ վերլուծության ժամանակային ինտեգրում (անուղղակի մեթոդ)¶

Դինամիկ վերլուծության անուղղակի մեթոդը Newmark-β մեթոդով յուրաքանչյուր ժամանակային քայլում կապում է հաջորդ պահի տեղաշարժը, արագությունն ու արագացումը և շարժման հավասարման հետ համատեղ որոշում \(t + \Delta t\) պահի վիճակը։ \(\Delta t\) ժամանակային քայլի կայունության սահմանափակումները մեղմ են, ուստի այն արդյունավետ է ցածր հաճախականության բաղադրիչներով գերակշռող կառուցվածքային արձագանքի համար։

Ժամանակային ինտեգրման պարամետրերը երկուսն են։

\(\beta = 1/4\), \(\gamma = 1/2\) համակցությունը կոչվում է միջին արագացման մեթոդ և ստանդարտ ընտրություն է՝ առանց պայմանականության կայուն ու առանց թվային մարման։ Թվային մարում ներմուծելու համար \(\gamma\)-ն ընտրեք \(1/2\)-ից մեծ։ Պարամետրերի համակցությունների կայունության ու սխալի մաթեմատիկական մանրամասների համար տես տեսության ձեռնարկը։

Ոչ գծայնության (երկրաչափական, նյութական կամ կոնտակտային) դեպքում յուրաքանչյուր ժամանակային քայլի ներսում կատարվում են Newton իտերացիաներ՝ դրանց ներսում լուծելով գծային համակարգը և թարմացնելով վիճակը։ Զուգամիտության համար օգտագործվում են ստատիկ վերլուծության հետ ընդհանուր CONVERG և այլ պարամետրերը։ Կոնտակտով դինամիկ վերլուծության դեպքում ստատիկ վերլուծության կոնտակտային իտերացիաներում նկարագրված կառուցվածքը ներառվում է ժամանակային քայլի ներսում։

Դինամիկ վերլուծության ժամանակային քայլը հիմնականում կառավարվում է !STEP-ի ժամանակային պայմաններով։ Հաստատուն ինկրեմենտի դեպքում !STEP-ի DTIME-ը ժամանակային քայլն է, իսկ ETIME-ը՝ քայլի ժամանակային լայնությունը։ !DYNAMIC-ի n_step և t_delta պարամետրերը լռելյայն արժեքներ են, երբ !STEP-ը բացակայում է կամ հետադարձ համատեղելիության համար։ Ոչ գծային անուղղակի մեթոդում !STEP-ի INC_TYPE=AUTO-ով կարելի է միացնել ավտոմատ ինկրեմենտն ու cutback գործողությունը՝ ժամանակային քայլը մեծացնելով կամ փոքրացնելով ըստ Newton-ի և կոնտակտային իտերացիաների ընթացքի։ Երկու ռեժիմներում էլ ժամանակային քայլը պետք է ընտրվի՝ հաշվի առնելով և՛ զուգամիտությունը, և՛ պահանջվող ճշտությունը։

Դինամիկ վերլուծության ժամանակային ինտեգրում (ուղղակի մեթոդ)¶

Դինամիկ վերլուծության ուղղակի մեթոդը կենտրոնական տարբերությունների եղանակով հաջորդ պահի վիճակը հաշվարկում է անմիջապես նախորդ պահի տեղաշարժի, արագության և արագացման տվյալներից։ Քանի որ գծային հավասարումների համակարգ չի լուծվում, մեկ քայլի հաշվարկային ծախսը փոքր է։ Նույնիսկ ոչ գծայնության դեպքում յուրաքանչյուր ժամանակային քայլում թարմացումը միաստիճան է և Newton իտերացիաներ չեն կատարվում։

Ժամանակային քայլի համար կա համակարգի նվազագույն սեփական պարբերությունից բխող կայունության վերին սահման (CFL պայման)։ Այդ սահմանից մեծ քայլի դեպքում թվային լուծումը տարամիտում է, ուստի անուղղակի մեթոդի նման մեծ ժամանակային քայլ հնարավոր չէ կիրառել։ Ուղղակի մեթոդը շահավետ է հարվածի, ալիքների տարածման և արագ կոնտակտի նման երևույթների համար, որոնք ինքնին փոքր ժամանակային քայլ են պահանջում։

Կոնտակտի դեպքում սահմանափակումը մշակվում է Forward Increment Lagrange մեթոդով՝ կոնտակտային ուժը գնահատելով ուղղակի մեթոդի միաստիճան թարմացմանը համապատասխան ձևով։

Հաճախականային արձագանքի վերլուծության լուծման մեթոդ¶

Հաճախականային արձագանքի վերլուծությունը մոդալ սուպերպոզիցիայի մեթոդով պարբերական կայուն արձագանքը որոշում է անմիջապես հաճախականային տիրույթում։ Արձագանքը գնահատվում է գրգռման հաճախականությունը փոխելով, և ժամանակային պատմությանը իտերացիոն հետևում անհրաժեշտ չէ։ Ոչ գծային իտերացիա կամ ժամանակային ինտեգրում չի կատարվում։

Վերլուծությունից առաջ նույն համակարգի համար անհրաժեշտ է կատարել մոդալ վերլուծություն և ստանալ պահանջվող թվով սեփական ձևեր։ Աջակցվում են միայն գծային մոդելները, և երկրաչափական կամ նյութական ոչ գծայնության միացման դեպքում վերլուծությունը հնարավոր չէ կատարել։ Տես Վերլուծության տեսակներ։

Անցողիկ ջերմահաղորդման ժամանակային առաջընթաց և ոչ գծային իտերացիա¶

Անցողիկ ջերմահաղորդումն ունի !HEAT-ի ներսում ամբողջությամբ իրականացվող սեփական ժամանակային ցիկլ։ Ժամանակային քայլը կառավարվում է կառուցվածքային վերլուծության !STEP և !AUTOINC_PARAM ուղուց անկախ, իսկ նյութական հատկությունները ջերմաստիճանից կախված լինելու դեպքում յուրաքանչյուր ժամանակային քայլի ներսում կատարվում են ոչ գծային իտերացիաներ։

Ժամանակային ինտեգրման սխեման ընտրվում է !HEAT-ի \(\beta\) պարամետրով։

Ժամանակային քայլը հարմարվողականորեն կառավարվում է սկզբնական ժամանակային քայլի, նվազագույն ժամանակային քայլի և մեկ քայլում առավելագույն ջերմաստիճանային փոփոխության համակցությամբ։ Եթե յուրաքանչյուր ժամանակային քայլի հաշվարկից հետո ջերմաստիճանային փոփոխությունը գերազանցում է DELTMX-ը, ժամանակային քայլը փոքրացվում է և հաշվարկը կրկնվում։ Եթե այն փոքրանում է DTMIN նվազագույն քայլից, վերլուծությունը դադարեցվում է։

Նյութական հատկությունները ջերմաստիճանից կախված լինելու դեպքում յուրաքանչյուր ժամանակային քայլի ներսում կատարվում է ոչ գծային իտերացիա։

Ստացիոնար ջերմահաղորդման դեպքում ժամանակային քայլ չի օգտագործվում, և նյութի հատկությունները ջերմաստիճանից կախված լինելու դեպքում կատարվում է միայն ոչ գծային իտերացիա։ Ջերմահաղորդման ժամանակային կառավարումը կառուցվածքային !STEP-ից անկախ է, ուստի ժամանակային քայլը կարգավորելիս ստուգեք !HEAT-ի պարամետրերը։

Առնչվող թեմաներ¶

• Վերլուծության տեսակներ — վերլուծության տեսակների դիրքավորումը։
• Կոնտակտ և ներկառուցում — կոնտակտի տեսակը, զույգերի սահմանումը և լուծման ալգորիթմի ընտրությունը։
• Լուծիչ և նախապայմանավորում — Newton իտերացիաների ներսում կանչվող գծային համակարգի լուծումը։
• Քայլերի կառավարում — արտաքին քայլերի/ենթաքայլերի կառավարում և ավտոմատ ինկրեմենտ/cutback։
• Newton-Raphson մեթոդ (տեսություն) — իտերացիոն լուծման ձևակերպումը։
• Զուգամիտության չափանիշներ (տեսություն) — զուգամիտության ցուցիչների մաթեմատիկական սահմանումները։
• Դինամիկ վերլուծության մեթոդներ (տեսություն) — Newmark-β և կենտրոնական տարբերությունների մեթոդների ձևակերպումները։
• Անցողիկ ջերմահաղորդման վերլուծություն (տեսություն) — ջերմահաղորդման ժամանակային ինտեգրման ձևակերպումը։
• Կոնտակտային վերլուծություն (տեսություն) — Լագրանժի բազմապատկիչի մեթոդի ձևակերպումը։
• Բանալի բառերի տեղեկատու՝ !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT։