Անցնել պարունակությանը

Գծային առաձգական ստատիկ վերլուծություն (ներածություն)

Այստեղ ներկայացվում է փոքր դեֆորմացիաների տեսության վրա հիմնված առաձգական ստատիկ վերլուծության ձևակերպումը։ Լարում–դեֆորմացիա կապի համար ենթադրվում է գծային առաձգականություն։ Այս գլուխը ներածական ամփոփում է, որը մեկ գլխի շրջանակում տալիս է վերջավոր տարրերի մեթոդով կառուցվածքային վերլուծության ընդհանուր պատկերը։

Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքի ընդհանուր ձևի (ընթացիկ դիրք, սկզբնական դիրք և փոքր դեֆորմացիաների սահմանային դեպք) համար տես Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքը, գծային առաձգական որոշիչ օրենքի մանրամասների համար՝ Գծային առաձգականություն, տենզորային և Voigt գրառումների կանոնների համար՝ Տենզորային նշագրում և մաթեմատիկական հիմքեր, վերջավոր դեֆորմացիաների ընդհանուր ձևակերպման համար՝ Շարժում, դեֆորմացիա և ձևախախտում, իսկ ոչ գծային խնդիրների լուծման համար՝ Շոշափող կոշտության մատրից։

Հիմնական հավասարումներ

Փոքր դեֆորմացիաների և գծային առաձգականության ենթադրությամբ պինդ մարմնի մեխանիկայի սահմանային խնդիրը բաղկացած է հավասարակշռության հավասարումից, մեխանիկական սահմանային պայմանից և երկրաչափական (հիմնական) սահմանային պայմանից (տես նկ. 2.1.1)։

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{ներսում} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{վրա} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{վրա} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Այստեղ \(\boldsymbol{\sigma}\)-ն Cauchy լարումն է, \(\overline{\boldsymbol{b}}\)-ն՝ միավոր ծավալի մարմնային ուժը, \(\overline{\boldsymbol{t}}\)-ն՝ տրված մակերևութային ուժը, \(\overline{\boldsymbol{u}}\)-ն՝ սահմանված տեղաշարժը, իսկ \(S_t, S_u\)-ն՝ մեխանիկական և երկրաչափական սահմանները։

Պինդ մարմնի մեխանիկայի սահմանային խնդիր (փոքր դեֆորմացիաների խնդիր)

Նկ. 2.1.1 Պինդ մարմնի մեխանիկայի սահմանային խնդիր (փոքր դեֆորմացիաների խնդիր)

Դեֆորմացիա–տեղաշարժ կապը սիմետրիկ գրադիենտի օպերատորով գրվում է

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Գծային առաձգական որոշիչ հավասարումն է

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

որտեղ \(\boldsymbol{C}\)-ն չորրորդ կարգի առաձգականության տենզորն է։

Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքը

Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքի ընդհանուր ձևը (ընթացիկ դիրք, սկզբնական դիրք և փոքր դեֆորմացիաների սահմանային դեպք) ներկայացված է Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքը բաժնում։ Փոքր դեֆորմացիաների և գծային առաձգականության ենթադրությամբ թույլ ձևն է

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{վրա} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Որոշիչ \eqref{eq:2.1.5} հավասարումը տեղադրելով և Voigt գրառմամբ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) գրելով՝ ստացվում է դիսկրետացման համար անմիջապես կիրառվող ձևը

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

որտեղ \(D\)-ն Գծային առաձգականություն բաժնի առաձգականության մատրիցն է։ \eqref{eq:2.1.10} և \eqref{eq:2.1.7} հավասարումներն այն վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքն են, որը դիսկրետացվում է ստորև։

Դիսկրետացում և գլոբալ հավասարման հավաքում

Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքի \( \eqref{eq:2.1.10} \) հավասարումը յուրաքանչյուր վերջավոր տարրի համար դիսկրետացնելով՝ ստացվում է

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Յուրաքանչյուր տարրի համար տեղաշարժի դաշտը ինտերպոլացվում է տարրը կազմող հանգույցների տեղաշարժերով՝

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Այս դեպքում դեֆորմացիան \(\eqref{eq:2.1.4}\) հավասարումից տրվում է

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.12}\) և \(\eqref{eq:2.1.13}\) հավասարումները \(\eqref{eq:2.1.11}\)-ում տեղադրելով՝ ստացվում է

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.14}\) հավասարումը կարելի է ամփոփել հետևյալ ձևով։

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Այստեղ \(\eqref{eq:2.1.16}\) և \(\eqref{eq:2.1.17}\) հավասարումներով սահմանված մատրիցի և վեկտորի բաղադրիչները կարելի է հաշվարկել յուրաքանչյուր վերջավոր տարրի համար և գումարել։

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Քանի որ \(\eqref{eq:2.1.15}\) հավասարումը ճիշտ է ցանկացած վիրտուալ \(\delta \boldsymbol{U}\) տեղաշարժի համար, ստացվում է

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Մյուս կողմից, տեղաշարժի սահմանային \(\eqref{eq:2.1.3}\) պայմանը գրվում է

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.18}\) հավասարումը \(\eqref{eq:2.1.19}\) սահմանափակման պայմանով լուծելով՝ կարելի է որոշել հանգուցային \(\boldsymbol{U}\) տեղաշարժերը։

Առնչվող թեմաներ