Անցնել պարունակությանը

Գծային առաձգականություն

Այս գլուխը ներկայացնում է գծային առաձգական նյութերի որոշիչ օրենքը (Hooke-ի օրենքը)։ Մոդելի ընտրության և մուտքային սահմանումների մանրամասների համար տես գործառույթների 03_material բաժինը։

Երևույթ (գծային առաձգական արձագանք)

Գծային առաձգական մարմինը նյութ է, որը բեռի տակ բավական փոքր դեֆորմացիաների տիրույթում ցուցաբերում է լարման և դեֆորմացիայի գծային կապ և հետադարձելի, պատմությունից անկախ արձագանք, որի դեպքում բեռնաթափման ժամանակ ամբողջ դեֆորմացիան վերադառնում է սկզբնական վիճակին։ Ի տարբերություն պլաստիկության կամ սողքի՝ այն չունի վիճակը ներկայացնող ներքին փոփոխականներ (օրինակ՝ պլաստիկ կամ մածուցիկ դեֆորմացիա), և լարումը միարժեք որոշվում է միայն ընթացիկ դեֆորմացիայով։

Փոքր դեֆորմացիաների տիրույթում օգտագործվում են Cauchy լարումը \(\boldsymbol{\sigma}\) և անվերջ փոքր դեֆորմացիան \(\boldsymbol{\varepsilon}\), իսկ վերջավոր դեֆորմացիաների տիրույթում (մեծ պտույտներ պարունակող, բայց փոքր դեֆորմացիաներով խնդիրներ)՝ երկրորդ Piola-Kirchhoff լարումը \(\boldsymbol{S}\) և Green-Lagrange դեֆորմացիան \(\boldsymbol{E}\) (St.Venant-Kirchhoff նյութ)։

Որոշիչ օրենք

Իզոտրոպ գծային առաձգական նյութ

Փոքր դեֆորմացիաների տիրույթում իզոտրոպ Hooke-ի օրենքը Lamé-ի \(\lambda, \mu\) հաստատուններով արտահայտվում է՝

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Բաղադրիչային տեսքով՝

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

իսկ դեֆորմացիայի հետ կրկնակի կոնտրակցիան տալիս է \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\)։ Lamé-ի հաստատունները Young-ի մոդուլի \(E\) և Poisson-ի գործակցի \(\nu\) հետ կապված են հետևյալ կերպ՝

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt-ի նշագրությամբ դեֆորմացիայի \(\hat{\varepsilon}\) վեկտորի և լարման \(\hat{\sigma}\) վեկտորի կապը գրվում է \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), իսկ եռաչափ նյութական \(D\) մատրիցը՝

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Իրականացման մեջ օգտագործվում է այս մատրիցային ներկայացումը։

Օրթոտրոպ գծային առաձգական նյութ

Այն նյութերի համար, որոնց առաձգական հաստատունները տարբերվում են գլխավոր առանցքների ուղղություններով, կիրառվում է ինը անկախ հաստատուններով օրթոտրոպ մոդել՝ գլխավոր առանցքների ուղղություններով Young-ի մոդուլներ \(E_1, E_2, E_3\), գլխավոր առանցքների միջև Poisson-ի գործակիցներ \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) և սահքի մոդուլներ \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)։ \(D\) մատրիցի բացահայտ տեսքի համար դիմեք ստանդարտ աղբյուրներին։

Վերջավոր դեֆորմացիաների տիրույթ՝ St.Venant-Kirchhoff նյութ

Մեծ պտույտներ պարունակող, բայց փոքր դեֆորմացիաներով խնդիրների համար St.Venant-Kirchhoff նյութն օգտագործվում է որպես գծային առաձգական օրենք, որը կապում է երկրորդ Piola-Kirchhoff լարումը \(\boldsymbol{S}\) և Green-Lagrange դեֆորմացիան \(\boldsymbol{E}\)՝

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé-ի \(\lambda, \mu\) հաստատունների սահմանումները նույնն են, ինչ փոքր դեֆորմացիաների դեպքում։ Սակայն քանի որ լարում-դեֆորմացիա զույգի սահմանումները տարբեր են, սա տարբերվում է փոքր դեֆորմացիաների Hooke-ի օրենքից։

Հիպոառաձգական նյութ

Թարմացված Lagrange մեթոդում օգտագործվում է հիպոառաձգական նյութ, որը հարաբերական Kirchhoff լարման տենզորի Jaumann արագության \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) և դեֆորմացիայի արագության տենզորի \(\boldsymbol{D}\) միջև ընդունում է գծային առաձգական օրենք՝

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Այստեղ ևս \(\boldsymbol{C}\)-ի սահմանումը Lamé-ի հաստատուններով նույնն է, ինչ վերևում, սակայն լարում-դեֆորմացիա զույգի տարբերության պատճառով որոշիչ օրենքը տարբեր է։ Ժամանակային ինտեգրման ընթացակարգով (առաջընթաց Euler ինտեգրում և կենտրոնական տարբերության մոտարկում) \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\)-ի թարմացման մանրամասների համար տես tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex։

Կրճատում երկչափ վերլուծության և թաղանթային տարրերի համար

Հարթ լարում (\(\sigma_{33} = 0\))

Բարակ թիթեղների և թաղանթների բեռնավորումը ներկայացնող հարթ լարման դեպքում ընդունվում է \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), և օգտագործվում է \(D\) մատրիցը, որտեղ հարթությունից դուրս \(\varepsilon_{33}\) դեֆորմացիայի բաղադրիչը հանրահաշվորեն վերացված է՝

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Հարթ դեֆորմացիա (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Երկար կառուցվածքի հաստության ուղղությամբ սահմանափակված հատույթը ներկայացնող հարթ դեֆորմացիայի դեպքում ընդունվում է \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\)՝

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Առանցքահամաչափ

Առանցքահամաչափ վերլուծության դեպքում, որը գլանային \((r, \theta, z)\) կոորդինատներում դիտարկում է \(\theta\) ուղղությամբ միատարր խնդիրներ, պահպանվում են \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) և \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) չորս բաղադրիչները, և

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ստացվում է։

Թաղանթային տարրեր (հարթ լարում + լայնական սահք)

Թաղանթային տարրերի համար հարթության ներսում լարումը դիտարկվում է որպես հարթ լարում, իսկ լայնական սահքի դեֆորմացիայի \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) բաղադրիչների համար օգտագործվում է \(\kappa\, G\)՝ սահքի ուղղման \(\kappa\) գործակցով (սովորաբար \(\kappa = 5/6\))։ Յուրաքանչյուր տարրի մանրամասն ձևակերպման համար տես Ընդլայնված տարրային ձևակերպումներ։ Գործառույթների 03_material բաժնի «թաղանթային տարրերն աջակցում են միայն գծային առաձգականությանը» սահմանումը հիմնված է հարթության ներսի վիճակը որպես հարթ լարում դիտարկելու այս պարզեցման վրա։

Ջերմաստիճանային կախվածություն

Young-ի մոդուլը \(E\), Poisson-ի գործակիցը \(\nu\) և գծային ընդարձակման գործակիցը \(\alpha\) սովորաբար տրվում են որպես \(T\) ջերմաստիճանի ֆունկցիաներ։ FrontISTR-ում արժեքները մուտքագրվում են \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) ջերմաստիճանային կետերի վերջավոր հաջորդականության համար, իսկ հաշվարկի ժամանակ \(T\) ջերմաստիճանի արժեքը գնահատվում է հարակից կետերի միջև գծային ինտերպոլյացիայով։ Տիրույթից դուրս ջերմաստիճանների համար (\(T < T_1\) կամ \(T > T_n\)) արտարկման համար օգտագործվում է մոտակա եզրակետի՝ \(T_1\) կամ \(T_n\) արժեքը (հաստատուն արտարկում)։

Ջերմային և ջերմահաղորդականության հատկությունների (խտություն, տեսակարար ջերմություն և ջերմահաղորդականություն) ջերմաստիճանային կախվածության համար տես Ջերմային հատկություններ։ Այս հատկությունների համար ինտերպոլյացիայի կանոնները նույնն են։

Առնչվող թեմաներ