Առաձգապլաստիկություն¶

Այս գլխում ներկայացվում է FrontISTR-ում կիրառվող առաձգապլաստիկ որոշիչ օրենքի կառուցվածքը։ Ընտրության և մուտքային տվյալների մանրամասների համար տե՛ս ֆունկցիաների բաժնի 03_material-ը։

Երևույթ (պլաստիկ դեֆորմացիա)¶

TBD (կգրվի հաջորդ փուլում)։

Որոշիչ օրենքի կառուցվածքը¶

FrontISTR-ում կիրառվում է առաձգապլաստիկ որոշիչ հավասարում՝ կապված հոսքի կանոնին համապատասխան։ Բացի այդ, այս որոշիչ հավասարումը նկարագրում է Kirchhoff լարման Jaumann արագության և դեֆորմացիայի արագության թենզորի կապը, իսկ դեֆորմացիոն վերլուծությունում կիրառվում է updated Lagrange մեթոդը։

Ենթադրենք, որ առաձգապլաստիկ մարմնի հոսունության պայմանը տրված է հետևյալ կերպ։

Սկզբնական հոսունության պայման՝

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Հաջորդող հոսունության պայման՝

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

որտեղ՝

\(F\)՝ հոսունության ֆունկցիա
\(\sigma_{y_0}\)՝ սկզբնական հոսունության լարում
\(\sigma_y\)՝ հաջորդող հոսունության լարում
\(\sigma\)՝ լարման թենզոր
\(e\)՝ փոքր դեֆորմացիաների թենզոր
\(e^p\)՝ պլաստիկ դեֆորմացիաների թենզոր
\(\overline{e}^p\)՝ համարժեք պլաստիկ դեֆորմացիա

Ենթադրվում է, որ հոսունության լարում–համարժեք պլաստիկ դեֆորմացիա կապը միառանցք վիճակում համընկնում է լարում–պլաստիկ դեֆորմացիա կապին։

Միառանցք վիճակում լարում–պլաստիկ դեֆորմացիա կապը

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

որտեղ \(H'\)-ը դեֆորմացիոն կարծրացման մոդուլն է։

Համարժեք լարում–համարժեք պլաստիկ դեֆորմացիա կապը

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Ընդհանուր դեպքում հաջորդող հոսունության ֆունկցիան ջերմաստիճանի և պլաստիկ դեֆորմացիայի աշխատանքի ֆունկցիա է, սակայն այստեղ պարզության համար ենթադրվում է, որ այն միայն համարժեք պլաստիկ դեֆորմացիայի \(\overline{e}^p\) ֆունկցիա է։ Պլաստիկ դեֆորմացիայի ընթացքի ժամանակ \(F = 0\) պայմանը պետք է շարունակաբար բավարարվի, ուստի պետք է բավարարվի հետևյալ հավասարումը։

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Այստեղ \(\dot{F}\)-ը նշանակում է \(F\)-ի ժամանակային ածանցյալը։ Հետագայում որևէ \(A\) մեծության ժամանակային ածանցյալը կնշանակենք \(\dot{A}\)-ով։

Ենթադրենք պլաստիկ պոտենցիալի \(\Theta\) գոյությունը և պլաստիկ դեֆորմացիայի արագությունը ներկայացնենք հետևյալ հավասարմամբ։

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

որտեղ \(\dot{\lambda}\)-ն գործակից է։

Այնուհետև, ենթադրելով, որ պլաստիկ պոտենցիալը \(\Theta\) հավասար է հոսունության ֆունկցիային \(F\), ընդունվում է հետևյալ կապված հոսքի կանոնը։

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Այս հավասարումը ներդնելով համատեղելիության պայմանի մեջ՝ ստացվում է հետևյալը։

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Այստեղ \(D\)-ն առաձգականության մատրիցն է, և՝

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Առաձգապլաստիկ լարում–դեֆորմացիա կապը կարելի է գրել հետևյալ կերպ։

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Եթե հայտնի է առաձգապլաստիկ նյութի հոսունության ֆունկցիան \(F\), ապա այս արտահայտությունից ստացվում է դրա որոշիչ հավասարումը։

Հոսունության ֆունկցիաներ¶

Ստորև թվարկված են FrontISTR-ում կիրառվող առաձգապլաստիկ հոսունության ֆունկցիաները։

Von Mises հոսունության ֆունկցիա¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Այստեղ \(J_2\)-ը դևիատորային լարման թենզորի երկրորդ ինվարիանտն է։

Mohr-Coulomb հոսունության ֆունկցիա¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Այստեղ \(\sigma_1, \sigma_3\)-ը համապատասխանաբար առավելագույն և նվազագույն գլխավոր լարումներն են, \(c\)-ն կպչունությունն է, իսկ \(\phi\)-ն՝ ներքին շփման անկյունը։

Drucker-Prager հոսունության ֆունկցիա¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Այստեղ նյութական հաստատունները \(\alpha\) և \(\sigma_y\) հաշվարկվում են նյութի կպչունությունից և շփման անկյունից հետևյալ կերպ։

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Առնչվող թեմաներ¶

Գծային առաձգականություն — Առաձգական արձագանքը (առաձգապլաստիկության առաձգական մասը)
Շոշափող կոշտության մատրից — Նյութական ոչ գծայնություն պարունակող ինկրեմենտային վերլուծության շոշափող կոշտություն
Նյութական տվյալներ (ֆունկցիաներ) — Հոսունության ֆունկցիաների և կարծրացման օրենքների ընտրանքներն ու դրանց ընտրությունը