Անցնել պարունակությանը

Ձևի ֆունկցիաներ և վերջավոր տարրային մոտարկում

Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքի թույլ ձևը համակարգչով լուծելու համար մարմնի տիրույթը բաժանվում է վերջավոր թվով տարրերի, իսկ տարրի ներսում նյութական կետի կոորդինատները, տեղաշարժը և փորձարկման ֆունկցիան ինտերպոլացվում են հանգուցային արժեքներով ու ձևի ֆունկցիաներով։ Ձևի ֆունկցիաների տարածական ածանցյալները ներկայացված են ձևի ֆունկցիաների տարածական ածանցյալներում, թույլ ձևի դիսկրետացումը՝ ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի դիսկրետացման մեջ, իսկ տարրերի տարբեր տիպերի համար ձևի ֆունկցիաների կոնկրետ արտահայտությունները՝ տարրերի համարակալման համակարգ և ձևի ֆունկցիաների գրադարան բաժնից սկսած։

Տիրույթի բաժանում և ինտեգրալների տարրային գումարում

Հղումային կոնֆիգուրացիայի տիրույթը \(\Omega_0\) և ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի տիրույթը \(\Omega\) մոտարկվում են համապատասխանաբար \(\Omega^e_0\) և \(\Omega^e\) տարրերի միավորումներով՝

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\)-ն տարրի համարն է, իսկ տարրերի սահմանները կիսվում են հարակից տարրերի միջև)։ Դրանով վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքի ծավալային և մակերեսային ինտեգրալները բաժանվում են տարրային ինտեգրալների գումարի՝

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(ընթացիկ կոնֆիգուրացիայի համար նույն կերպ՝ \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) փոխարինումներով)։ Այսուհետ թույլ ձևի գնահատումը հանգեցվում է տարրային ինտեգրալների կառուցմանը։

Հանգուցային արժեքներով և ձևի ֆունկցիաներով ինտերպոլացում (իզոպարամետրական տարր)

Յուրաքանչյուր \(\Omega^e_0\) տարրին հատկացվում է \(n_e\) հանգույց։ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) տարրային հանգույցի հղումային կոնֆիգուրացիայի կոորդինատներն ու հանգուցային տեղաշարժը նշանակենք \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\)։ Դրանցից կազմված տարրային հանգուցային վեկտորները \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) և \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ստացվում են ամբողջական հանգուցային վեկտորներից \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\)-ը հանգույցների ընդհանուր քանակն է)՝ վերցնելով միայն \(e\) տարրը կազմող հանգույցների բաղադրիչները։

Տարրի ներսում նյութական կոորդինատները, տեղաշարժը և փորձարկման ֆունկցիան ինտերպոլացվում են ընդհանուր ձևի ֆունկցիաներով \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), որոնց պարամետրն է տարրի տեղային կոորդինատ հանդիսացող բնական կոորդինատը \(\boldsymbol{r}\) (իզոպարամետրական տարր, Galerkin-ի մեթոդ)՝

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Ձևի ֆունկցիաները կառուցվում են այնպես, որ բավարարեն հետևյալ երկու հատկություններին, իսկ բնական կոորդինատներից նյութական կոորդինատներ անցումը \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) տարրի ներսում լինի մեկ-մեկ համապատասխանություն՝

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\)-ն \(\alpha\) հանգույցին համապատասխան բնական կոորդինատային կետն է, իսկ \(\delta_{\alpha\beta}\)-ն՝ Kronecker-ի դելտան)։ Առաջին հավասարումն ապահովում է կոշտ մարմնի տեղափոխության վերարտադրումը, երկրորդը՝ որ ինտերպոլացված արժեքը հանգույցում համընկնի հանգուցային արժեքին։ Տարրերի տարբեր տիպերի համար \(n_e\)-ի և \(N_\alpha^e\)-ի կոնկրետ ձևերը ներկայացված են տարրերի համարակալման համակարգ և ձևի ֆունկցիաների գրադարան բաժնից սկսած։ Նշանակումները չծանրացնելու համար տարրի տիպից կախվածությունը ներկայացվում է տարրային վերնագիր \(e\)-ով։

Այս ինտերպոլացման կանոններով թույլ ձևի ինտեգրանդը կարելի է արտահայտել միայն տարրային հանգուցային արժեքներով \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) և \(N_\alpha^e\)-ով։ Մյուս կողմից, դեֆորմացիան ստացվում է ինտերպոլացված տեղաշարժից և դեֆորմացիա-տեղաշարժ հարաբերությունից, իսկ լարումը՝ այդ դեֆորմացիայից և նյութական օրենքից։ Դրանք ուղղակիորեն չեն ինտերպոլացվում հանգուցային արժեքներից և գնահատվում են տարրի ինտեգրման կետերում (թվային ինտեգրում)։

Ընդհանուր հանգուցային վեկտորի դասավորման կանոն

Հանգույցներին հատկացված ֆիզիկական մեծությունները ընդհանուր հանգուցային վեկտորի մեջ դասավորվում են աճման կարգով՝ հանգույցի համար → ազատության աստիճան։ Եթե \(\alpha\) հանգույցի \(i\) ազատության աստիճանի բաղադրիչը նշանակենք \(u_{i\alpha}\), ապա 3D (\(i=1,2,3\)) և 2D (\(i=1,2\)) դեպքերում համապատասխանաբար

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

է։ Կոորդինատները \(\boldsymbol{X}^n\) և փորձարկման ֆունկցիան \(\delta\boldsymbol{u}^n\) նույնպես հետևում են նույն դասավորմանը։ Այսուհետ մատրիցային և վեկտորային ձևափոխումները ներկայացվում են 3D դեպքով։

Առնչվող թեմաներ