Անցնել պարունակությանը

Ձևի ֆունկցիաների տարածական ածանցյալները

Ձևի ֆունկցիաները և վերջավոր տարրերի մոտարկումը բաժնում ներմուծված \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ձևի ֆունկցիաները տրվում են որպես տարրի տեղային՝ բնական \(\boldsymbol{r}\) կոորդինատների ֆունկցիաներ։ Միաժամանակ թույլ ձևի ինտեգրանդում դեֆորմացիա–տեղաշարժ կապի միջոցով առաջանում են ֆիզիկական կոորդինատների (սկզբնական դիրք \(\boldsymbol{X}\) կամ ընթացիկ դիրք \(\boldsymbol{x}\)) նկատմամբ \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) կամ \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) մասնակի ածանցյալները։ Այս գլխում համակարգվում է այդ ձևի ֆունկցիաների տարածական ածանցյալների հաշվարկը տարրի հանգույցների կոորդինատներից և բնական կոորդինատներով ածանցյալներից։

Տարածական ածանցյալների արտահայտումը շղթայական կանոնով

Նախորդ գլխում տրված \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ինտերպոլացիոն արտահայտության նկատմամբ շղթայական կանոնը կիրառելով՝ բնական կոորդինատներից ֆիզիկական կոորդինատների անցման Յակոբիանի մատրիցի \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) միջոցով ստացվում է

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Այստեղ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) և \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)-ը \(n_e \times 3\) մատրիցներ են, որոնց \(\alpha\) տողը ներկայացնում է \(\alpha\) հանգույցի մասնակի ածանցյալների վեկտորը։

Յակոբիանի մատրիցի կառուցումը

Ինտերպոլացիոն արտահայտությունը \(\boldsymbol{r}\)-ի նկատմամբ մասնակի ածանցելով՝

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

ուստի այն կարելի է անմիջապես կազմել տարրի հանգույցների \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) կոորդինատներից և բնական կոորդինատներով \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ածանցյալներից։ Բնական կոորդինատներով ածանցյալները որոշվում են ձևի ֆունկցիաների տեսքով և նախապես իրագործվում են յուրաքանչյուր տարրի տեսակի համար։

Յակոբիանի մատրիցի որոշիչը \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) օգտագործվում է Թվային ինտեգրում բաժնում ծավալային տարրի \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) փոխակերպման համար։ Եթե որոշիչը դառնում է \(0\), տարրը դեգեներացված է, և հաշվարկը խափանվում է։

Հաշվարկային ընթացակարգ

Վերոնշյալ արտածումից տարածական \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ածանցյալների հաշվարկը բաժանվում է հետևյալ չորս փուլերի։

  1. Բնական կոորդինատներով ածանցյալների հաշվարկ՝ որպես մուտք ընդունելով տարրի տեսակը և գնահատման կետի բնական \(\boldsymbol{r}\) կոորդինատները՝ հաշվարկվում է բնական կոորդինատներով ածանցյալների \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) մատրիցը։ Քանի որ ձևի ֆունկցիաների տեսքը տարբեր է յուրաքանչյուր տարրի համար, հաշվարկը ճյուղավորվում է ըստ տարրի տեսակի։
  2. Յակոբիանի մատրիցի հաշվարկ՝ տարրի հանգույցների \(\boldsymbol{X}^e\) կոորդինատներից և \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)-ից նախորդ բաժնի արտահայտությամբ կազմվում է Յակոբիանի \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) մատրիցը։
  3. Հակադարձ մատրիցի և որոշիչի հաշվարկ՝ հաշվարկվում են Յակոբիանի մատրիցի \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) հակադարձ մատրիցը և որոշիչը։ Որոշիչն օգտագործվում է թվային ինտեգրման կշիռներում։
  4. Տարածական ածանցյալների հաշվարկ՝ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) և \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) արտադրյալից ստացվում է տարածական \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ածանցյալը։

Այս չորս փուլերը ճյուղավորվում են ըստ տարրի տեսակի և տարածական չափողականության (2D կամ 3D), սակայն ընդհանուր ընթացքը նույնն է։

Միասնական ընթացակարգ սկզբնական և ընթացիկ դիրքերի համար

Վերոնշյալ ընթացակարգը կիրառելի է նաև ընթացիկ դիրքի տարածական \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) ածանցյալների համար՝ պարզապես \(\boldsymbol{X}^e\)-ն փոխարինելով ընթացիկ դիրքի հանգուցային \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) կոորդինատներով։ Հետևաբար Total Lagrange և Updated Lagrange մեթոդներում կարելի է օգտագործել նույն ընթացակարգը՝ փոխելով միայն մուտքային հանգուցային կոորդինատները։

Առնչվող թեմաներ