Անցնել պարունակությանը

Ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի դիսկրետացումը

Ինկրեմենտալ վերլուծության շրջանակը բաժնում ներկայացված \(t + \Delta t\) պահի վիրտուալ աշխատանքի հավասարումը, ըստ հղման դիրքի ընտրության, բաժանվում է Updated Lagrange և Total Lagrange մեթոդների։ Այս գլխում Ձևի ֆունկցիաները և վերջավոր տարրերի մոտարկումը ու Ձևի ֆունկցիաների տարածական ածանցյալները բաժիններում ներմուծված վերջավոր տարրերի մոտարկմամբ տարածականորեն դիսկրետացվում է երկու ձևակերպումների ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքը և ստացվում են տարրային ներքին ուժերի \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) և \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL) վեկտորները։

Տարր \(e\)-ի \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) հանգույցների տեղաշարժերը նշանակենք \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), իսկ տարրի հանգուցային տեղաշարժերի վեկտորը դասավորենք որպես \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\)։ Վիրտուալ տեղաշարժ \(\delta \boldsymbol{u}^e\)-ն սահմանվում է նույն դասավորությամբ։ Տարրի ներսի տեղաշարժը ձևի ֆունկցիաներով ինտերպոլացվում է որպես \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\)։

Ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքը Updated Lagrange մեթոդում

Updated Lagrange մեթոդում որպես հղման դիրք ընդունվում է \(t\) պահի ընթացիկ \({}^{t}\Omega\) դիրքը, և Cauchy լարում \(\boldsymbol{\sigma}\)-ով ու Almansi դեֆորմացիայի գծային \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) մասով ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքը գրվում է

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

տեսքով։ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)-ի յուրաքանչյուր բաղադրիչը կարելի է արտահայտել որպես ձևի ֆունկցիաների՝ ընթացիկ \(\boldsymbol{x}\) կոորդինատների նկատմամբ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ածանցյալների և հանգուցային վիրտուալ տեղաշարժերի \(\delta u^e_{i\alpha}\) գծային համակցություն, իսկ Voigt գրառմամբ՝

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

որտեղ հանգուցային \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) բլոկը \(6 \times 3\) մատրից է, որում \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-ները դասավորված են Voigt կանոնով, իսկ \(\boldsymbol{B}_L\)-ը UL մեթոդի դեֆորմացիա–տեղաշարժ կապի մատրիցն է։ Սա տեղադրելով ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի մեջ և առանձնացնելով \(\delta \boldsymbol{u}^e\)-ն՝ ստացվում է

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Այստեղ \(\boldsymbol{q}^e\)-ի հանգուցային \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) բլոկը տարր \(\Omega^e\)-ի \(\alpha\) հանգույցի վրա ազդող ներքին ուժն է։

Ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքը Total Lagrange մեթոդում

Total Lagrange մեթոդում որպես հղման դիրք ընդունվում է սկզբնական \(\Omega_0\) դիրքը, և երկրորդ Piola-Kirchhoff լարում \(\boldsymbol{S}\)-ով ու Green-Lagrange դեֆորմացիա \(\boldsymbol{E}\)-ով

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

գրվում է ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքը։ \(\delta \boldsymbol{E}\)-ն բաժանվում է վիրտուալ տեղաշարժի նկատմամբ գծային անդամի և ընթացիկ տեղաշարժի \(\partial u_k/\partial X_j\) գրադիենտի հետ արտադրյալ պարունակող ոչ գծային անդամի՝

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Գծային անդամը, \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ների նկատմամբ կիրառելով UL մեթոդի նույն դասավորման կանոնը, հանգուցային \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) բլոկով գրվում է

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

տեսքով (հղման դիրքի տարբերության պատճառով բաղադրիչները պարզապես \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-ից փոխարինվում են \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ով, իսկ նշագրումը նույնն է, ինչ UL մեթոդում)։ Ոչ գծային անդամը ներկայացվում է հանգուցային \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) բլոկով, որտեղ ընթացիկ տեղաշարժի գրադիենտ \(\partial u_k/\partial X_j\)-ի և \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ի արտադրյալները դասավորված են Voigt կանոնով՝

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Այսպիսով \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), և \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\)-ը TL մեթոդի դեֆորմացիա–տեղաշարժ կապի մատրիցն է։ Սա տեղադրելով ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի մեջ՝ ստացվում է

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Այստեղ հանգուցային \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) բլոկը տարր \(\Omega^e_0\)-ի \(\alpha\) հանգույցի վրա ազդող ներքին ուժն է։

UL/TL համապատասխանությունը և հաշվարկային ընթացակարգը

Updated Lagrange և Total Lagrange մեթոդների տարրային ներքին ուժերի վեկտորները համապատասխանում են հետևյալ կերպ։

Կետ Updated Lagrange մեթոդ Total Lagrange մեթոդ
Հղման դիրք Ընթացիկ դիրք \({}^{t}\Omega^e\) Սկզբնական դիրք \(\Omega^e_0\)
Լարման տենզոր Cauchy լարում \(\boldsymbol{\sigma}\) Երկրորդ PK լարում \(\boldsymbol{S}\)
Դեֆորմացիայի վարիացիա \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B մատրից \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Տարրային ներքին ուժ \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Երկու մեթոդներն էլ մշակվում են նույն ընթացակարգով՝ «ձևի ֆունկցիաների տարածական ածանցյալներից կազմել \(\boldsymbol{B}_L\)-ը», «TL մեթոդում ընթացիկ տեղաշարժի գրադիենտից կազմել և գումարել \(\boldsymbol{B}_{NL}\)-ը», «որոշիչ օրենքին համապատասխան թարմացնել լարումը (\(\boldsymbol{\sigma}\) կամ \(\boldsymbol{S}\))», և «ինտեգրման կետերում տարրի տիրույթով թվային ինտեգրել \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) կամ \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) (Թվային ինտեգրում)»։ Քանի որ, բացի հղման դիրքի փոխարկումից (հանգուցային կոորդինատները և \(\boldsymbol{B}\) մատրիցի կառուցումը) ու լարման տենզորի փոխարինումից, ընթացակարգը ընդհանուր է, FrontISTR-ում երկու մեթոդների ներքին ուժերի հաշվարկը իրագործված է ընդհանուր ենթածրագրով։ Տարրային ներքին ուժերի \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) վեկտորներից գլոբալ ներքին ուժերի վեկտորի հավաքումը քննարկվում է Արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքը և գլոբալ հավասարումների հավաքումը բաժնում։

Առնչվող թեմաներ