Անցնել պարունակությանը

Արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքը և գլոբալ հավասարումների հավաքումը

Ներքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի դիսկրետացում-ում թույլ ձևի ձախ կողմը բերվեց տարրի ներքին ուժերի \(\boldsymbol{q}^e\) (UL մեթոդ) կամ \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL մեթոդ) վեկտորին։ Այս գլուխը արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքից ներմուծում է տարրի հանգուցային արտաքին ուժերի \(\boldsymbol{F}^e\) վեկտորը, ապա կիրառում հավաքման գործողությունը, որը տարրային հանգուցային մեծությունները վերադասավորում և գումարում է ըստ գլոբալ հանգույցի համարի՝ վերջնականապես ստանալով հանգուցային տեղաշարժերի ոչ գծային հավասարումների համակարգը, որը լուծվում է FrontISTR-ի ոչ գծային կառուցվածքային վերլուծությամբ։

Արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի տարրային տարրալուծում

Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքի աջ կողմը կարելի է տարր առ տարր բաժանել արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի՝ կազմված ծավալային ուժերից և մեխանիկական սահմաններում տրված մակերևութային ձգումներից։ Ձևային ֆունկցիաներ և վերջավոր տարրային մոտարկում-ում ներմուծված տեղաշարժի ինտերպոլյացիան մատրիցային տեսքով գրելու համար օգտագործենք \(d \times d\) բլոկը \(\boldsymbol{N}_\alpha\), որի անկյունագծում դրված է \(\alpha\) հանգույցի \(N_\alpha^e\) ձևային ֆունկցիան, և դրանց հորիզոնական դասավորությամբ կազմենք \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), որպեսզի \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)։ Սա հղման կոնֆիգուրացիայում գրված արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքի մեջ տեղադրելով՝ ստացվում է

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

որտեղ տարրի հանգուցային արտաքին ուժերի վեկտորը դասավորված է որպես \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)։ Այսպիսով արտաքին ուժերի վիրտուալ աշխատանքը բերվում է նույն «տարրի հանգուցային վեկտոր × փորձնական ֆունկցիա» ձևին, ինչ ներքին ուժերի կողմը (ընթացիկ կոնֆիգուրացիայում նույն ձևը ստացվում է \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) և \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) փոխարինումներով)։

Տարրային հանգուցային մեծությունների հավաքում

Յուրաքանչյուր տարրի համար ստացված \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) հանգուցային մեծությունները գումարվում են գլոբալ վեկտորների մեջ՝ դասավորված ըստ գլոբալ հանգույցների համարների։ Թող \(\alpha\) տարրի տեղային \(\Omega^e\) հանգույցի համարին համապատասխան գլոբալ հանգույցի համարը լինի

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Այդ դեպքում տարրի հանգուցային մեծությունը նույնական է գլոբալ հանգուցային մեծության համապատասխան բաղադրիչին (օրինակ՝ \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\))։ Քանի որ \(i_g\) հանգույցը սովորաբար ընդհանուր է մի քանի տարրերի համար, սահմանենք այն \((e, \alpha)\) զույգերի բազմությունը, որոնց գլոբալ հանգույցի համարը \(i_g\) է՝

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Այս բազմությամբ գումարը \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) ձևով վերագրելով՝ բոլոր \(n_g\) հանգույցների համար ստացվում են հանգուցային ներքին ուժը և գլոբալ ներքին ուժերի վեկտորը՝

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Այստեղ \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\)-ն \(i_g\) հանգույցում ազդող տարրային հանգուցային ներքին ուժերի արդյունարարն է և հավասար է \(\boldsymbol{0}\)-ի, երբ արտաքին ուժ չի ազդում և հավասարակշռությունը բավարարված է։ UL մեթոդում նույն ընթացակարգը տալիս է \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\), իսկ քանի որ դրանց թվային արժեքները բավարարում են \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), ստորև օգտագործվում է \(\boldsymbol{Q}\) նշագրումը, բացի տարբերակման անհրաժեշտ դեպքերից։ Գլոբալ արտաքին ուժերի վեկտորը \(\boldsymbol{F}\) ստացվում է նույն կուտակմամբ։

Իրականացման մեջ \(\mathcal{E}(i_g)\) բազմությունը բացահայտ չի կառուցվում․ փոխարենը ներդրումները տարրերի ցիկլի ներսում ավելացվում են համապատասխան բաղադրիչներին։

Ամբողջական ներքին ուժերի Q վեկտորը սկզբնարժեքավորել 0-ով՝ Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (տարրերի քանակ)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Գլոբալ արտաքին ուժերի \(\boldsymbol{F}\) վեկտորը կառուցվում է նույն ընթացակարգով։ Տարրի հանգուցային մեծությունները գլոբալ հանգույցի համարով համարակալված վեկտորների և մատրիցների մեջ ավելացնելու և պահելու այս գործողությունը կոչվում է հավաքում։ Երկու հանգույցի համարների հետ կապված երկրորդ կարգի տենզորների (օրինակ՝ կոշտության մատրիցների) համար նույն տեսակի հավաքումը ստացվում է \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) բազմությամբ (կոնկրետ կառուցման համար տես Շոշափող կոշտության մատրից)։

Լուծվող ոչ գծային հավասարումներ

Հավաքված ներքին և արտաքին ուժերը Վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքի մեջ տեղադրելով և օգտագործելով այն փաստը, որ այն գործում է երկրաչափական սահմանային պայմանները բավարարող ցանկացած \(\delta\boldsymbol{u}^n\) փորձնական ֆունկցիայի համար, ստացվում է

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Քայլային վերլուծության (Քայլային վերլուծության շրջանակ) համատեքստում վերականգնենք \(_{n+1}\) ժամանակային ստորին ինդեքսը և բաց թողնենք գլոբալ հանգուցային վեկտորը նշանակող \(^n\) վերին ինդեքսը։ Այդ դեպքում լուծվող հավասարումն է՝

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Այսպիսով \(t_{n+1}\) պահին \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) հանգուցային տեղաշարժը գտնելու դիսկրետացված սահմանային խնդիրը բերվում է տեղաշարժի այս ոչ գծային հավասարման լուծմանը՝ երկրաչափական սահմանային պայմանների հետ միասին։ Հավասարման գծայնացումը և շոշափող կոշտության մատրիցի կառուցումը նկարագրված են Շոշափող կոշտության մատրից-ում, իսկ իտերացիոն լուծման մեթոդը՝ Newton-Raphson մեթոդ-ում։

Առնչվող թեմաներ